Riassunto esame Topografia e Cartografia, prof. Vittuari, libro consigliato Topografia

Funzione

f(x) = ¹/_σ√2π e^{-1/₂ ( x-μ/_σ )2}

Momento iniziale di ordine K di una variabile aleatoria rispetto a un polo c.

m_K,c = ^m∑ _i=1 ( x_i - c )^K p_i

Momento centrale di ordine 1 (K=1, c=μ(x))

m_1,µ(x) = ∑^m _i=1 ( x_i - µ(x) ) p_i = 0

µ(x) = ∫_-∞^∞ x_i f(x) dx

Momento centrale di ordine 2 (K=2, c=µ(x))

m_2,µ(x) = ∑^m _i=1 ( x_i - µ(x) )² p_i

V(x) = ∫_-∞^∞ ( x_i - µ(x) )² f(x) dx

σ(x) = s.o.n.

Variabile standardizzata

U_i = x - µ_x / D_x

µ_Ui = 0

V_Ui = 1

Varianza

v(x_c) = E { ( x_c - μ_c )² }

Covarianza

cov( x_c x_d ) = E { ( x_c - μ_c ) ( x_d - μ_d ) }

Matrice di varianza - covarianza

∑_xx = V₁V₁₂V₂₁V₂

Funzione

_{Densità di probabilitàe distribuzione}

normale o gaussiana monodimensionale

f(x) = ¹/_σ√(2π) e^-½((x−μ)²/_σ²)

Momento iniziale

di ordine k di una variabile aleatoria rispetto a un polo c.

m_k,c = ^m∑_i=1 (x_i - c)^k p_i

Momento centrale di ordine 1

(K = 1, c = 0) ⇒ nuova μ(x)

m_1,0 = μ(x) = ^m∑_i=1 (x_i - x) p_i

μ(x) = ∫_−∞^+∞ x_i f(x) dx

Momento centrale di ordine 2

(K = 2, μ(x)) ⇒ nuova σ²(x)

σ(x) = s.q.m.

Variabile standardizzata

U_x = x − μ_x / D_x

μ_ux = 0

σ_ux = 1

Varianza

var(x_c) = E{(x_c−μ_y)²}

Covarianza

cov(x_c, x_k) = E {(x_c−μ_x)(x_k−μ_x)}

Matrice di varianza e covarianza

∑_xx = [v₁c₁₂v₂...]

Definisce la dispersione della variabile

Distribuzione binomiale o gaussiana bidimensionale

(x_a, x_b) ~ N(μ_a, μ_b, σ_a², σ_b², _ab)

Relazione densità di probabilità x gaussiana bidimensionale

f(x_a, x_b) = (1 / 2_ab √(1-_ab²)) e^{-1 / (2 (1-_ab2)) (x_a - μ_a)} (x_b - μ_b) + x_ax_bab/σ_aσ_b)

Ellisse d'errore

Punto su un piano descritto da v.a. bidimensionale (x_a, x_b) la posizione p_i; proprietà: c) |σ_ab²||

Convenzionalmente si assegna un intervallo di confidenza bidimensionale intorno alla posizione media

Sferica e orientamento asse principale secondo b

b_x² = σ_{xab² + σxb + √(σxab + σxb² + 4σxabσxay}

b_z² = σ_{xb² + σxb² - √(σxa² + xy²)}

Grandezze con precisioni differenti

Una misura influisce nei calcoli con peso differente in funzione della propria precisione

σⁱ_yi ; candeva peso P_j = 1 / σ^j

3 misure indipendenti ciascuna con una propria varianza

P = [_{σ¹² 0 0} [_σ^j2

[σ_iui] ; l ; sum

Campionamento

^x=m_x=¹/_m^mΣ_i=1x_i;

s²=¹/_m-1Σ(x_i-^x)²

s_xy=¹/_m-1Σ(x_i-^x)(y_i-^y)

Media Campionaria

Varianza Campionaria

Covarianza Campionaria

Propagazione delle Propr. Statistiche V.A.

x~N(μ_x,σ_x²) se y=ax+b→y~N(μ_y,σ_y²)

Propagazione della Media di una Variabile Aleatoria

y=g(x)

y=_i=a₀+a₁x_i

μ_y=E{a₀}+a₁E{x}

μ_y=a₀+a₁μ_x ≡ g(μ_x)

Propagazione della Varianza

y=g(x)

∫xdy=g(x)=a₀+a₁x a.s.o numerate

σ_y²=a₁²σ_x²

σ_y²=^(dy/_dx)²σ_x²

Propagazione della Covarianza

y=g(x)

σ_xy=^(dy/_dx^dz/_dg)ρ_x

RILIEVO

NOZIONE TRIANGOLI PIANI

T. BUIGGS

b² = √(P - AC) (P - AB)

P(P - c) =

P=AB + BC + ca

INTERSEZIONE

IN PIANINI

θ_AP = arctg

(x_c - x_a)

θ_BA = arctg

(y_c - y_a)

D_AP = √

((x_B - x_C)² + (y_B - y_A)²)

D_AP = D_AB senβ

D_AP

senɣ

x_P = x_A + D_AP cosθ_AP

INTERSEZIONE INVERSA

ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO =

(m lati - 2) Π

QUADRILATERO → 2Π

φ + ψ

(φ + ψ + α + β + φ + β) = 2Π

φ + ψ

Π - (δ + α + β)

Π

δ

L

ψ

φ

θ_A = Π

β =

θ_BA - θ_BC

BP = AB

_{sen φ  sen α}

BP = BC

_{sen ψ  sen β}

⎧

BP - AB sen φ = BC sen ψ

_{sen φ  sen α   sen ψ}

_{sen φ  BC sen α} = K

_{sen ψ  AB sen β}

_{sen φ + sen ψ} = _{K + 1}

_{sen φ - sen ψ  K - 1}

sen φ + sen ψ = _{sen φ + ψ  cos φ - ψ}

     2

     2

_{sen φ - sen ψ = 2 cos φ + ψ sen φ - ψ}

      2

     2

_{(φ + ψ)}

  ⎛⎜⎜ _{(φ - ψ)}⎞⎟⎟

 cos ⎜⎝ ⎠⎟ = _{K + 1}

       N  _{K - 1}

tg N = tg _{(φ - ψ) K + 1}

        _{K - 1}

_{φ - ψ} = arcφ _{(K - 1 tg N)} = ʯ

    2   _{K + 1}  

    M

⎧

_{φ + ψ} = N

 2

_{φ - ψ} = M

 2

⎨       φ = N + M

⎩       ψ = N - M

NOTO φ  →

θ_AP   θ_AB + φ

AP = _{AB sen (Π - α - β)}

   _{sen α}

⎧ x_P = x_A + AP sen θ_AP

⎩ y_P = y_A + AP cos θ_AP

METODO DELLE OSSERVAZIONI INDIRETTE

DATO IL SISTEMA DI EQUAZIONI LINEARI

y_o = A x + a_o → Σ_yy = A Σ_xx A^T

LA SOLUZIONE DEL SISTEMA, NEL CASO DELLA COMPENSAZIONE AI MINIMI QUADRATI CON IL METODO DELLE OSSERVAZIONI INDIRETTE, PRENDE LA FORMA:

δ_x = (A^TPA)^-1 A^TP l

P CONTIENE LE MISURE VERE QUANDI CONOSCIAMO LA MATRICE DI VARIANZA E COVARIANZA Σ_σξ

l = y_o - Σ_σξ ξ

P = l_o^T - Σ_σξ

Σ_yy = A Σ_xx A^T

Σ_xx = [ (A^TPA)^-1 A^TP ] Σ_P [ (A^TPA)^-1 A^TP ]^T

Σ_xx = [ (A^TPA)^-1 A^TP ] l_o^T [ (A^TPA)^-1 A^TP ]^T

Σ_xx = (A^TPA)^-1 A^TP l_o l_o^T P A (A^TPA)^-1

Σ_xx = (A^TPA)^-1 A^TP l_o l_o^T PA (A^TPA)^-1

Σ_xx = l_o^TP (A^TPA)^-1

σ_x ≅ S_ο² = N_χP_nr^T / r

← 2 1 →

GPS - USCITE DI PSEUDORANGE

r₂^j = Δt₂^jc = [r - R^j] = [(x^j - x_i)² + (y^j - y_i)² + (z^j - z_i)²]^1/2 - cΔt_i

LE INCOGNITE SONO (x_i y_i z_i δt_i)

OSSERVABILE FASE

Φ_i^j(t) = Φ_i^j(t