Cambiamento di sistemi di riferimento

Cambiamenti di sistemi di riferimento

S.R. fisso K

S.R. mobile L

k = (O; ê₁, ê₂, ê₃)

l = (O; m̂₁, m̂₂, m̂₃)

ÔP = ÔO' + O'ÔP

O'ÔP = q₁ê₁ + q₂ê₂ + q₃ê₃

O'ÔP = Q₁m̂₁ + Q₂m̂₂ + Q₃m̂₃

O'Ô = r₁ê₁ + r₂ê₂ + r₃ê₃

q₁ê₁ + q₂ê₂ + q₃ê₃ = Q₁m̂₁ + Q₂m̂₂ + Q₃m̂₃ + r₁ê₁ + r₂ê₂ + r₃ê₃ =

• = (r₁ + Q₁(m̂₁•ê₁) + Q₂(m̂₂•ê₁) + Q₃(m̂₃•ê₁))

Posso riscrivere questa rel. in modo compatto in forma matriciale:

q = r + BQ

dove (B)_ij = (m̂_j • ê_i), ovvero B ha per colonne i vettori m̂₁, m̂₂, m̂₃ nella base ê

• B = (_m̂1 m̂₂ m̂₃)

NOTA:

B^T = (Î m̂₁ m̂₂ m̂₃)

=> B^T•B = Î => B^-1 = B^T

ovvero B è una matrice ortogonale

Legge di trasformazione delle posizioni

In generale r e B sono leggi del tempo:

r = r(t) e B = B(t)

=> q(t) = r(t) + B(t) Q(t)

Derivando rispetto al tempo ottengo la legge di trasformazione per le velocità:

_q(t) = _r(t) + B(t)_Q(t) + B(t)Q(t)

BQ = B^T B_Q = A(B_Q)

Poiché B è ortogonale, A è anti-simmetrica:

A = BB^T = BB^T = 0

A^T = -A A^T = -A => A = A^T => A anti simm.

È possibile assegnare a ogni matrice 3-D

A = ( 0 -a₁₂ a₁₃ ) = ( 0 -ω₃ -ω₂ )

( -a₁₂ 0 a₂₃ ) ( ω₃ 0 -ω₁ )

( -a₁₃ -a₂₃ 0 ) ( ω₂ ω₁ 0 )

In questa formula si capisce che l’associare di A a un vettore generico di R³ equivalente all’azione di prodotto vettoriale con ω

AU = ( 0 -ω₃ ω₂ ) ( U₁ ) = ( -ω₃U₂ + ω₂U₃ ) = ω ∧ U

( ω₃ 0 -ω₁ ) ( U₂ ) ( ω₃U₁ - ω₁U₃ )

( -ω₂ ω₁ 0 ) ( U₃ ) ( -ω₂U₁ + ω₁U₂ )

= ω ∧ U

=> _q(t) = _r(t) + A(B_Q) + B^T _r + ω ∧ (BQ) + B^T _{Q r}

= _r + ω ∧ (q-r) + B_Q

legge di trasformazione delle velocità

_q(t) = _r(t) + ω∧(q(t) - r(t)) + B^T _Q(t)

_r(t) e ω∧(q-r) sono i termini di trasporto

rispettivamente dovuti al moto traslatorio e rotatorio di q o l

Ω₁ = 0 perché ω e M̅₃ sono paralleli;

Ω₂ = ω senΘ

Ω₃ = ω cosΘ

NOTA: χ₀ = 0

^M̅₃⁄_M'̅3

r̅ = μg⁽⁰⁾⁽¹⁾ g ≈ 9.8 m/s²

⊃f̅=G^M_TμM'̅₃⁄_R0

μQ̅ = -μg(0)^{(1) =2 μ∧ Q̅- μ∧ ‹μ∢(∧∧Q̅),μ(V̅+2∧V̅)}

r̅=R₀ M̅₃, B(o,o,R₀) = BR₀

a = B(O∧R₀) accellerazione

terrinic delle μonde