Appunti Analisi 1: Calcolo integrale

Aree e misure

Dato l'insieme generico R², possiamo combinarlo in diverse tipologie di insiemi:

Intervalli e plurintervalli

1. Dato I = [b₁, z₁] x [b₂, z₂], l'intervallo chiuso, chiamato anche rettangolo chiuso, di R². Le sue misure, m(I), sono calcolate come m(I) = (b₁ - z₁)(b₂ - z₂) = b x h.

2. L'intervallo in figura si chiama plurintervallo, cioè è un'unione finita di intervalli chiusi, e l'intersezione dei punti interni all'intervallo è come insieme l'insieme vuoto (con i ≠ j). m(P) =

Insieme limitato in R²

Un insieme si dice limitato quando è contenuto in un disco oppure in un rettangolo.

Misure di un insieme

Dato l'insieme X ∈ R², limitato e dotato di punti interni. Un insieme si misura approssimando le aree dei plurintervalli che lo compongono, e possono essere di due tipi di misura:

• Misure esterne, quando i plurintervalli coprono totalmente o sovrastano l'insieme, m^*(X) = sup{m(P), X ⊆ P}.
• Misure interne, quando i plurintervalli sono inseriti nell'insieme X: m_*(X) = sup {m(P), P ⊆ X}.

Intervalli geometrici

1. Dato: [a₁, b₁ x a₂, b₂], l'intervallo e l'insieme finito di unioni diverse. m(P) = ∑_k=1 m(I_k).

Proprietà di misura

Detto l'insieme X limitato e dotato di punti interni. Un insieme si misura approssimando l'area dei plurintervalli che lo compongono. Possono essere due i tipi di misura:

• Misure esterne, quando ... X.
• Misure interne, quando si sono inserite nell'insieme: m*(X) = sup { m(P), P X }.

NB = È sempre valida la seguente differenzazione: Peano - Jordan.

Se ᵉ(X) = ʲ(X), ovvero le classi numeriche sono equipollenti, l'insieme X è detto misurabile secondo Peano - Jordan e

Insieme privo di punti isolati: (X) = 0, cioè X è limitato e privo di punti isolati, pertanto è misurabile se e solo se ᵉ(X) = 0.

Proprietà di misura

Dati due insiemi X e Y che sono sottinsiemi di IR², Σ ⊆ IR² ed avverano misurabili, allora valgono le seguenti proprietà:

• X ∪ Y, X ∩ Y e X \ Y sono misurabili.
• Se X ⊆ Y ⇒ allora (X) ≤ (Y).
• (X) ≥ 0, () = 0 ⇒ (X) =.
• (X) = 0 (⇒) X =.
• (X ∪ Y) ≤ (X) + (Y); (X ∪ Y) = (X) + (Y) (⇒) X ∩ Y = φ.

Integrale definito

Dati una funzione f definita nell'intervallo [c, b] chiuso e limitato. Dato D = {x₀, ..., xₙ} le partizioni di [c,b], x₀ = c.

• Somma inferiore: S(f,D); = 1Σⱼ μⱼ (f(xⱼ * : xⱼ₋₁).
• Somma superiore: S(f, D) = ⁿΣ_i=1 sup f (x; x_i-1).

Abbiamo così due ussioni:

• A: = { S(f, D); D partizione di [a, b]}.
• B: = { Σ sup_a,bf}; D partizione di [a, b]}.

Gli ussioni A e B sono sempre separati, ovvero S(f, D₁) ≤ S(f, D₂)V D₁, D₂ partizioni di [a, b]. Se prendiamo una partizione D₀ = D₁ ∪ D₂ allora asserciamo che: S(f, D₀) ≤ S(f, D₁ ∪ D₂) ≤ S(f, D₁) ∪ S(f, D₂).

Integrale di Riemann

Se gli ussioni sopracitate A e B sono nelle conclusioni, allora la funzione si dice integrabile secondo Riemann. ∫_a^bf(x)dx è l'elemento separatore tra A e B. ∫_a^bf(x)dx = sup A piace B.

Una funzione è integrabile secondo Riemann se e solo se: ∀E > 0 ∃D_E (partizione di [a, b]) : S(f, D_E) - S(f, D_E) ∈ E.

Funzione di Dirichlet

Esistono funzioni non integrabili secondo Riemann ed un esempio è la funzione di Dirichlet:

1. x ∈ [0, 1] ⇒ { 0 se x ∈ [0, 1]∩Q, 1 se x ∈ [0, 1]∩Q}.

s(f, D) = 0.5 (f, D) : V D sup S(f, D) = 0, inf s(f, D) = 1. È pochi sup e inf la funzione non è integrabile secondo Riemann.

Rettangoloide

Dette le funzioni f : [a, b] ⇒ [0, +∞[, limitezEsse è integrabile secondo Riemann in [a, b] se e solo se. Il rettangolo è misurabile secondo Peano-Jordan.