Appunti Analisi 1: Calcolo integrale

Aree e misure

Dato l'insieme generico Rⁿ possiamo combattere in diverse tipologie di insiemi:

1. Dato I = [a₁, b₁] x [z₁, z₂], l'intervallo ellisso, chiamando anche intervallo ellisso, di Rⁿ, le sue misure, m(I), m(I) = (b₁-z₁)(b₂-z₂)=bxh
2. l'insieme in figure è insieme pluriintervalli, cioè è unione finita di intervalli ellisso

insieme limitato in IR² l'intersezione di punti interni all'intervallo è come rimosso il insieme vuoto

insieme in figure

m(I) =_k=1 Σⁿ m(I_k)

Insieme limitato in IR²

Un insieme si dice limitato quando è contenuto in un disco oppure in un rettangolo.

Misure di un insieme (curvilineo)

Dato l'insieme X⊆IR² limitato e dotato di punti interni.

Un insieme si misura approssimando l'area dei pluriintervalli che lo compongono, possono essere due i tipi di misure:

• misure esterne, quando i pluriintervalli racchiudono il insieme X, m^e(X)=υ{m(P)⊆P}
• misure interne, quando i pluriintervalli sono inseriti nell'insieme X;
• mⁱ(X)=sup{m(P),P⊆X}

Perno - Sordetn

Se m^e(X) = mⁱ(X) ovvero le classi numeriche sono coincidenti, l'insieme X è detto misurabile secondo perno - Sordetn e mⁱ(X) = m^e(X) = m^o(X), in altre parole possiamo scrivere che: X_n è misurabile secondo Perno - Sordetn (=>) ∀ε>0 ∃P_ε⊆X⊆P_ε^e: m(P_e') = m(P_e^e) allora m(X)≤m(Y);

Integrale definito

Dete le funzione f definita nell'intervallo [a, b] chiuso e limitato. Deta D: x₀, x₁,...,x_n la partizione di [a, b], cioè la suddivisione dell'intervallo [a, b] in tante parti.

a = x₀ ≤ x₁ ≤ x₂ ≤ ... < x_n = b ⇒ [a, b] = ∪ⁿ_i=1 [x_i-1, x_i]

Sommatoria inferiore: s(f, D) = Σⁿ_i=1 inf^{x_i-1≤x≤x_i} f(x) * (x_i - x_i-1)

Dimostrazione della 5ª proprietà: ∫_a^b|f(x)|dx| = ∫_a^bf(x)dx|

(=) - ∫_a^b|f(x)|dx̂±∫_a^bf(x)dx̂=∫_bf(x)dx

La seguente proprietà è dimostrata attraverso la seguente relazione:

|∫_a^bf(x)| ≤ ∫_a^b|f(x)| (∀x ∈ [c,z], b) Se e solo se questa (uguaglianza) è vera dev'essere se stessa in un triangolo H.

Dimostrazione 6ª proprietà: ∫_a^bK ∈ℝ⇒∫_a^b(kx)dx = K(b-a)

A = b x h | se K: 1 =∫ K(b-a) Dimostrazione della 7ª proprietà:

m ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a,b] | Hp. ∫_a^b(b-a) ≤∫_a^bfdx ≤ M(b-a) - ∫_c^b|x|√dx∫_mn (f) = ∫_blfdx Funzione primitiva Assegnare una funzione f:I→ℝ con I⊆ℝ, si dice che F:I→ℝ è primitiva di f se la derivata di F coincide con la funzione f.

Definizione Primitiva ⇔ F(x) = ∫_bf(x) ∀x ∈ I

1ª Osservazione Se F(x) è primitiva di f(x) in I⊆ℝ ⇒ allore F(x)±c è nuova primitiva di f. ∀c ∈ ℝ:

(F(x)+c) = F(x) =≤ f(x) ∀x ∈ I

i relativi integrali:

Δ < 0

In questo caso attraverso somme e sottrazioni, il polinomio il denominatore deve diventare il quadrato di un polinomio.

Δ = 0

In questo caso il polinomio è, avendo due radici coincidenti, la si fa diventare un quadrato di un polinomio.

• Polinomio di 1^o grado al numeratore e di 2^o grado al denominatore:

Si scompone il polinomio del denominatore in modo tale che risolve il è integrale essame ... primitive scomposte, mentre per il secondo integrale, che sarà di tipo, si utilizzarà le mediche del polinomio di 2^o grado esso Δ < 0.

• Polinomio al denominatore di grado n:

Si riesce sempre di scomporre il numeratore per scompieffieia con il denominatore, ottuendo cosi due integrali.

Decomposizione in fratti semplici.

Dato l’integrale

• N.B.: La decomposizione in fratti può avvenire solo se m è minore di n.

NB: Nei due casi prossimi non è possibile estendere il dominio normale.

Serie numeriche

Assegnata una successione numerica _cn una serie numerica _Sn non è altro che la successione della somme parziali di _cn cioè:

• _Sn = ∑_h=1ⁿ _cn = _Sn = _c1 + _c2 + _c3 + ... + _cn.

Termine generale di una serie numerica

Il termine generale di una serie numerica non è altro che la successione di cui la serie deriva.

Ad esempio: _an = _cn il termine generale.

Estremi di una serie numerica

Si definisce estremo di una serie le proprietà di quest'ultima ed esse:

• convergente, cioè se lim _Sn = lim ∑_h=1^∞ = l ∈ ℝ
• divergente positivamente o negativamente, se lim _Sn = ±∞
• indeterminatamente, o oscillante, se ∄ lim _Sn

Serie geometrica

• ∑_n=0^∞ (_hⁿ) = 1 + h + h²... h ∈ ℝ

Il numero h si dice ragione della serie geometrica.

Estremo delle serie geometriche dipende da h, infatti:

• lim _Sn = _hⁿ se |_h|>1
• = _l-h |h|=1
• oscilla se h = -1

Per x<1 la somma parziale di S_n sono: 1 - hⁿ⁺¹ / 1-h

per |x|<1e e per x<-1: lim _Sn