Appunti Analisi 1

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Appunti corso di Analisi 1Argomenti:-Logica insiemistica-Funzioni-Limiti-Derivate-Calcolo Integrale-Logaritmi ed esponenziali-Trigonometria-Taylor-DifferenzialiUniversità degli Studi di …

Esame Analisi I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Fabbri Roberta

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2017-2018

74 pagine

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Estratto del documento

Analisi I

Geometria Euclidea

Studia figure geometriche piane le cui proprietà si conservano

Per movimenti rigidi (rotazione)
Per ribaltamento

2 figure sono uguali se coincidono per movimenti rigidi, rotolamento o ribaltamento.

ABC = A'B'C' se è un movimento rigido e/o un ribaltamento cheposiziona ABC in A'B'C'

Criteri di Uguaglianza

^I° criterio:

2 triangoli con 2 lati uguali e l'angolo tra lorocompreso uguale, sono uguali

AB = A'B'

AC = A'C'

BAC = B'A'C'

=> ABC = A'B'C'

^II° criterio:

2 triangoli con 2 angoli uguali e il lato tra loro compresouguale, sono uguali.

^III° criterio:

2 triangoli con 3 lati uguali, sono uguali.

Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali.

ANALISI I

GEOMETRIA EUCLIDEA

Studia figure geometriche piane la cui proprieta' si conservanoi) Per movimenti rigidi (rotazione)ii) Per ribaltamento

2 figure sono uguali se coincidono per movimenti rigidi, ribaltamentoo sviluppo

ABC = A'B'C' se θ un movimento rigido e/o un ribaltamento cheposiziona ABC in A'B'C'

CRITERI DI UGUAGLIANZA

1^o criterio:2 triangoli con 2 lati uguali e l'angolo tra lorocompreso uguale, sono uguali.

2^o criterio:2 triangoli con 2 angoli uguali e il lato tra loro compresouguale, sono uguali.

3^o criterio:2 triangoli con 3 lati uguali, sono uguali.

Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base uguali.

Logica

La matematica si occupa delle proposizioni, cioè frasi di tipo completo che indicano valori di verità indipendentemente dal contesto.

Ex: x < 2 frase non proposizione∀x ∈ R x ≤ 1 proposizione

Date p e q due proposizioni:

non p: valore di verità contrario a p (non vera ↔ p falsa)
- p ⟶ non p
p ∧ q: valore di verità vero solo se p e q entrambe vere
- p ∧ q
p ∨ q: valore di verità vero se o p o q è vera
- p ∨ q
non (p ∧ q): valore di verità vero se almeno una fra p e q è falsa
- non (p ∧ q)
non (p ∨ q): valore di verità vero se entrambe p e q sono false

p q non p p ∧ q p ∨ q non (p ∧ q) non (p ∨ q) V V 0 1 1 0 0 V F 0 0 1 1 0 F V 1 0 1 1 0 F F 1 0 0 1 1

Implicazione: A ipotesi vera corrisponde tesi vera, ma a ipotesi falsa la tesi può essere sia vera che falsa
- p ⊃ q: non p ∨ q
Dimostrazione per assurdo: (p ⊃ q) ≡ non q ⊃ non p: non q ⟶ non p
- z non (quq) ⟶ non p (non q ⟶ non p)
Negazione dell’implicazione: vero (p ⊃ q) ⟺ p vera e non q

INSIEMI

La matematica si esprime con quantificatori (∀, ∃) che esprimono proprietà per le variabili (x) e costanti (d) mediante la teoria degli insiemi.

Un insieme è una collezione di oggetti distinti chiamati elementi dell'insieme.

Se tutti gli elementi di A sono elementi di B e viceversa:

A = B

Complementare

Se B ⊆ A A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}

Unione

Siano B₁, B₂ ⊆ A

B₁ ∪ B₂ := {x ∈ A | x ∈ B₁ o x ∈ B₂}

Intersezione

Siano B₁, B₂ ⊆ A

B₁ ∩ B₂ := {x ∈ A | x ∈ B₁ e x ∈ B₂}

Formule di DeMorgan

Siano B₁, B₂ ⊆ A

A \ (B₁ ∪ B₂) = (A \ B₁) ∩ (A \ B₂)
A \ (B₁ ∩ B₂) = (A \ B₁) ∪ (A \ B₂)

In generale

∪_αA_α := {x | x ∈ A_α per qualche α}

∩_αA_α := {x | x ∈ A_α ∀α}

∪_α∪_βA_αβ = ∪_α(∪_βA_αβ)

∩_α∩_βA_αβ = ∩_α(∩_βA_αβ)

Negazione di frasi con quanti

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