Appunti Analisi 1

GEOMETRIA EUCLIDEA

Studia figure geometriche i cui proprieà si conservano

1. Per movimenti rigidi (rotazione)
2. Per ribaltamento

2 figure sono uguali se coincidono in movimenti rigidi, ribaltamento o sviluppo

ABC = A'B'C' se per un movimento rigido e/o in un ribaltamento che

posiziono ABC in A'B'C'

CRITERI DI UGUALIANZA

I° criterio:

2 triangoli con 2 lati uguali e l'angolo tra loro

compreso uguale sono uguali.

1. AB = A'B'

2. AC = A'C'

3. BAC = ^BA'C'

4. --> ABC = A'B'C'

II° criterio:

2 triangoli con 2 angoli uguali e il lato tra loro compreso

uguali sono uguali.

III° criterio:

2 triangoli con 3 lati uguali sono uguali.

Un triangolo è isoscele se gli angoli alla base uguali.

Logica

La matematica si occupa delle proposizioni cioè frasi di senso compiuto che indicano valori di verità indipendentemente dal contesto

Ex x²    frase non proposizione ∀x∈R x>2 proposizione

Date p e q due proposizioni:

• non p  valore di verità contrario a p (non vera = falsa)
• p ∧ q  valore di verità vero solo se p e q entrambe vere
• p ∨ q  valore di verità vero se k op o q è vero
• non (p ∧ q) valore di verità vero se almeno una tra p e q è falsa
• non (p ∨ q)  valore di verità vero se entrambe p e q sono false

-Implication: A ipotesi vera corrisponde tesi vera, ma a ipotesi falsa la tesi può essere sia vera che falsa → p ⇒ q: non p ∨ q

- Dimostrazione per assurdo: (p ⇒ q) ≡ NON (p ∧ non q) i; non q; non pqz: non (u = q) ⇒ (u ∨ non q ≔ u ∨ q)

-Negazione dell'implicazione: vero (p ⇒ q); ≡ p vera e non q

Assioma di Continuità

Maggiore di un insieme - Estremi di un insieme

Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), \(A \neq \emptyset\) si dice che \(M \in \mathbb{R}\) è un maggiorante per \(A\)

Se \(\forall x \in A \; x \le M\)

Assioma

Ogni sottoinsieme \(A\) non vuoto \(( \in \mathbb{R} )\) con un maggiorante ammette il minimo maggiorante \(L \in \mathbb{R}\) tc

1. \(L\) è un maggiorante per \(A\) \(\forall x \in A \; x \le L\)
2. Ogni numero minore di \(L\) non è un maggiorante per \(A\)

\(\exists x_\epsilon \in A \; tc \; x_\epsilon > L - \epsilon\)

Def

\(A \subseteq \mathbb{R}\) si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante

Def

Si chiama estremo superiore di \(A\) il minimo dei maggioranti SupA

Analogamente il Minorante

Def

\(A \subseteq \mathbb{R}\) si dice limitato inferiormente se \(A\) ha almeno un minorante

Assioma di Continuità

Proposizione

Sup\(A\) è l'unico \(L \in \mathbb{R}\)

1. \(\forall x \in A \; x \le L\) \( ( L \, è \, un \, maggiorante ) \)
2. \(\exists \) \( x_\epsilon \in A \; tc \; x_\epsilon > L - \epsilon\) \((L - \epsilon \, non \, è \, un \, maggiorante )\)

Sintesi assioma:

1. Sia \(A \subseteq \mathbb{R}\), \(A \neq \emptyset\)
2. \(A\) è limitato superiormente

Allora \(\exists supA \in \mathbb{R}\)

L'assioma è un buon riferimento per la retta

Biettività

f: A ➝ B si dice biettiva se: se è iniettiva e suriettiva.

Immagine

Se f: A ➝ B si chiama immagine di f, f(A) = f(x): {y ∈ B | ∃x ∈ A t.c. f(x)=y}. Ogni funzione è sempre iniettiva nella sua immagine.

Inversa

Se f: A ➝ B è biettiva, e f: A ➝ P(A) biettiva, ∃ la funzione inversa f^-1: P(A) ➝ A

• y = f(x)
• y = f(A)
• x ∈ A
• y ∈ P(A)
• x = f^-1(y)

f: [a, b] ➝ _R è crescente se ∀x₁, x₂ ∈ [a, b], con x₁ ≤ x₂ si ha f(x₁) ≤ f(x₂).

Strettamente crescente se

Decrescente se ∀x₁, x₂ ∈ [a, b], se x₁ < x₂ ➝ f(x₁) ≥ f(x₂)

Strettamente decr. se ∀x₁, x₂ ∈ [a, b], x₁ < x₂ ➝ f(x₁) > f(x₂)

Monotona è crescente o decrescente se ∀x₁, x₂, x₃ ∈ [a, b], con x₁ < x₂ < x₃ ➝ f(x₁) ≤ f(x₂) ≤ f(x₃)

Limitata

f: [a, b] ➝ _R è limitata superiormente se f([a, b]) è limitata superiormente.

sup f(x) ∈ [a, b] = sup f([a, b]) se aumenta e quindi sup f(x) ∈ [a, b].

Funzione Composta

f: A ➝ B e g: B ➝ C

g ∘ f: A ➝ C t.c. x ➝ g(f(x))

(g ∘ f) ∘ p = p ∘ f

Le funzioni composte hanno le stesse proprietà delle funzioni.

Esempio: se f(x), g(x) biettiva anche g ∘ f biettiva

• b) Ogni funzione continua del tipo f: [0,1] → [0,1] ha un punto fisso, cioè ∃ x₀ t.c. f(x₀) = x₀

Intervallo Generalizzato

punto: (a,b] [a,b) [a,b] (a,b) (-∞,a) (-∞,a] (-∞,a] ∪ [b,+∞) (-∞,a) ∪ (b,+∞)

IMPORTANTE CONSEGUENZA DEL TEOREMA DEGLI ZERI

Proposizione: Sia f: (a,b) → ℝ continua. Se ∀ y₁, y₂ ∈ (a,b) e ∀ z y₁ ≤ z ≤ y₂. Allora ∃ x ∈ (a,b) t.c. f(x) = z

In altre parole:

• Se f: A⊂ℝ → ℝ = continua in A, allora (per il teorema degli zeri) di ogni intervallo generalizzato contenuto in A ∃ un intervallo generalizzato

• Conseguenza:

  • ∫^b_a g(x) dx se f = ∈
  • x ∈ (a,b) ∫^b_a
  • ∫^u(P(t))_x(g(x)) se f = ⊆ ∫^b_a
  • x ∈ (a,b) ∫^b_a
  • x

Proposizione: Sia f: (a,b)→ℝ continua in (a,b), allora (quadrato = ...)

Quindi, possiamo definire i valori tra sup(t) e inf(P(x)): y = inf(u,f(x),f(P(x)): ‧ inf(P(x)) < y < sup(f(x))

CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSA

Teorema: Sia f: [a,b] → ℝ continua e invertibile, se f: [a,b] → ℝ è monotona allora f^-1 è monotona. (Per il teorema degli zeri)

Dim: Per assurdo assuma che f non sia monotona, cioè ∃ x₁, x₂, x₃ con ┼ x₁ = x2 = x₃ e f(x₂) ∉ f(x₁), f(x₃)

Supponiamo che f(x₂) < f(x₁) < f(x₃). Per il teorema degli zeri, ∃ x ∈ x₁x₂x₃ dove f(x) ≠ f(x₃) < f(x₃). Giuda essendo f(x₃) ∉ x₃ (per l’iniettiva) e f(x) > f(x₃) si ha un ASSURDO

Teorema: Sia f: [a,b] → ℝ e continua ed invertibile e l'inversa f^-1: (c,d) → [a,b] è continua

Limiti

Il concetto di limite serve per recuperare un valore nel caso la funzione non sia continua.

Def

Sia \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) \(x_0 \in (a,b)\) l \(\in \mathbb{R}\)

Dico che \(f(x)\) tende a l per \(x \rightarrow x_0\) e si scrive \(f(x) \rightarrow l\)

se \(\forall \epsilon > 0\, \exists \delta > 0: \) se \(|x-x_0| < \delta \) e \(x \in (a,b)\),

allora \(|f(x)-l| < \epsilon\)

(rispetto alla continuità differisce che \(x \neq x_0\))

Proposizione 1:

Se \(f\) è continua in \(x_0\) allora \(f(x) \rightarrow f(x_0)\) per \(x \rightarrow x_0\), con \(x \in (a,b)\).

Proposizione 2:

\(f(x) \rightarrow l\) per \(x \rightarrow x_0\) \(x \in (a,b) \Rightarrow g(x) : = \begin{cases} f(x) \, x \neq x_0 \\ l \, x = x_0 \end{cases}\)

Importante osservare come nella definizione di limite non sia

importante che \(f\) sia definita in \(x_0\) e neanche il valore della

funzione in \(x_0\).

Osservazioni:

1. I limiti non si calcolano ma si verifica che un numero l sia il limite oppure no.
2. Un limite può non esistere.
3. Quando \(x_0 = a\) ci interessano solo i punti di destra \(f(x) \rightarrow l\) per \(x \rightarrow x_0\).

Analogamente quando \(x_0 = b\)

Quindi la nozione di limite dipende molto dal dominio

Teorema della permanenza del segno (di un cantre)

Sia \(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\), \(x_0 \in [a,b] \cdot l \in \mathbb{R}\)

Se \(f(x) \rightarrow l \, \epsilon > 0\) allora \(\exists \delta > 0 \, \forall x\) con \(|x-x_0 | < \delta, x \in (a,b)\) e \(x \neq x_0\) si ha \(f(x) > 0\)

Inverso

\((a,b) \rightarrow \mathbb{R}\), \(x_0 \in (a,b)\) l \(\in \mathbb{R}\)

\(\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in [a,b]\) con \(|x-x_0| < \delta\) e \(f(x) \in \mathbb{R}\) si ha: