Calcolo Differenziale
f definita in un intorno di x0 e R
f è derivabile in x0 se
∃ limx→x0 f(x)-f(x0) / x-x0 = limΔx→0 f(x0+Δx) - f(x0) / Δx = f'(x0)
( Se f è derivabile in x0 ) => ( è continua in x0 )
Algebra Derivate
- (f + g)'(x0) = f'(x0) ± g'(x0)
- (f·g)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)
- (f/g)'(x0) = [f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)] / [g(x0)]²
- (g o f)'(x0) = g'(y0)f'(x0) = g'(f(x0))f'(x0)
- (f⁻¹)'(x0) = 1 / f'(f⁻¹(y0))
( Sia f funzione pari ) => ( f' funzione dispari )
( Sia f funzione dispari ) => ( f' funzione pari )
Derivate Fondamentali
- D(xn) = d xn-1
- D(|x|) = x0 / |x|
- D(sin x) = cos x
- D(cos x) = -sin x
- D(tan x) = 1 / cos2 x = 1 + tan2 x
- D(cotg x) = -1 / sin2 x = -1 - cot2 x
- D(f(x)g(x)) = f(x)g(x) [g(x) log(f(x)) + f'(x)/f(x)]
- D(arc sin x) = 1 / √(1 - x2)
- D(arc cos x) = -1 / √(1 - x2)
- D(arc tan x) = 1 / 1 + x2
- D(arc cotan x) = -1 / 1 + x2
- D(ex) = ex
- D(log(x)) = 1 / |x|
- D(ax) = ax log a
CALCOLO DIFFERENZIALE
f definita in un intorno di x0∈ℝ. f è DERIVABILE in x0 se
- ∃ limx→x0 f(x)-f(x0)/x-x0
- limΔx→0 f(x0+Δx)-f(x0)/Δx = f'(x0)
- Se f è derivabile in x0 => (f è continua in x0)
ALGEBRA DERIVATE
- (f+g)'(x0) = f'(x0) ± g'(x0)
- (fg)'(x0) = f'(x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)
- (f/g)'(x0) = f'(x0)g(x0) - f(x0)g'(x0)/[g(x0)]²
- (g∘f)'(x0) = g'(y0)f'(x0) = g'(f(x0))f'(x0)
- (f-1)'(y0) = 1/f'(f-1(y0))
Sia f FUNZIONE PARI => (f' FUNZIONE DISPARI)
Sia f FUNZIONE DISPARI => (f' FUNZIONE PARI)
DERIVATE FONDAMENTALI
- D(xn) = d xn-1
- D(|x|) = x/|x|
- D(sin x) = cos x
- D(cos x) = -sin x
- D(tan x) = 1/cos²x = 1+tan²x
- D(cot x) = -1/sin²x = -1-cot²x
- D(f(x)g(x)) = f(x)g(x) [g(x)log(f(x)) + g(x)/f(x) f'(x)]
- D(sin-1x) = 1/√1-x²
- D(arcos x) = -1/√1-x²
- D(arctan x) = 1/1+x²
- D(arctan 1/x) = -1/1+x²
- D(ex) = ex
- D(log(x)) = 1/|x|
- D(ax) = ax log a
(f definita in I(x0), x0∈ℝ)
e derivabile in x0
(=)
f' (x0) = f' (x0) = f' (x0)
(sia f continua in x0
e derivabile in I(x0){x0}
se ∃ lim f' (x) = f' (x0)
x→x0
⇒
f è derivabile
anche in x0
Punti di non derivabilità
1) Punto angoloso → se f' (x+0) ≠ f' (x-0)
f(x) = |x|
2) Punto a tangente verticale → se f' (x+0) = f' (x-0) = ±∞
f(x) = √x
3) Punto di Cuspide → se f' (x+0) = f' (x-0) = ∞ (segno discorde)
f(x) = √|x|
TEOREMA DI FERMAT
Sia f definita in I(x0) e derivabile in x0.
- Se x0 PUNTO DI ESTREMO per f
- x0 PUNTO CRITICO per f o STAZIONARIO
Sia x0 e dati f
- x0 → PUNTO DI MASSIMO RELATIVO per f se ∃ I ⊂ I(x0) : ∀ x ∈ I⊂I(x0) ⧁dαuf, f(x) ≤ f(x0)
f(x0) MASSIMO RELATIVO di f
- PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO per f se ∀ x dαuf, f(x) ≤ f(x0)
f(x0) MASSIMO ASSOLUTO di f
I punti di estremo di una funzione vanno ricercati tra i punti del dominio di f che sono:
- PUNTI CRITICI
- PUNTI DI NON DERIVABILITÀ
- ESTREMI IN ∀ dei dαuf
Sia I un intervallo ed f una funzione derivabile su I. Valgono
- (se f' è crescente su I) ⇒ (f''(x) > 0 ∀ x ∈ I)
- (se f'(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I) ⇒ (f è crescente su I)
TEOREMA DI ROLLE
- f continua su [a, b]
- f derivabile su (a, b)
- f(a) = f(b)
⇒ (∃ c ∈ (a, b) : f'(c) = 0)
Teorema di Lagrange
- f continua su [a,b]- f derivabile su (a,b)
⇒ &Exist; c ∈ (a,b) : f(b) - f(a) ⁄ b-a = f'(c)
il coeff. angolare della retta passante per a e b.&Exist; un punto c in cui la tg al grafico di f è tale retta
Teorema di Cauchy
- f e g continue su [a,b]- f e g derivabili su (a,b)- g(x) ≠ 0
⇒ &Exist; c ∈ (a,b): f(b)-f(a) ⁄ g(b)-g(a) = f'(c) ⁄ g'(c)
Concavità, Convessità, Flessi
Convessaf(x) ≥ tg (tangente) x
Concavaf(x) ≤ tg x
Punto di flesso
p.to in cui f'' cambia di segno
f''(x0) = 0f'' deve essere di segno diverso a destra e a sinistra di x0
- Flesso aTangente Orizzontalef' = 0
- Flesso aTangente Obliquaf' = k
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