Basi di spazi e sottospazi, Teorema del completamento - Algebra e geometria lineare

Tosetti Luca 08/10/2020

Dipendenza e indipendenza

DIPENDENZA E INDIPENDENZA

Fissati v , ……, vk vettori di V.

1

Per ottenere il vettore nullo di tale spazio vettoriale (ovvero la combinazione lineare

banale), occorre avere tutti i coefficienti della combinazione lineare pari a 0.

⃗

0 v + …. + 0 v = 0

1 k

A questo punto possiamo andare a definire il significato di dipendenza e indipendenza.

Un insieme di vettori sono linearmente DIPENDENTI, se e solo se esistono altre

combinazioni lineari, DIVERSE da quella banale (ovvero con tutti i coefficienti pari a 0),

che permetto di ottenere il vettore nullo. In caso contrario i vettori sono linearmente

INDIPENDENTI.

i (1, 0, 0) j = (0, 1, 0)

α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = (0, 0, 0)

(α, 0, 0) + (0, β, 0) = (0, 0, 0)

(α, β, 0) = (0, 0, 0)

α = 0 L’unica combinazione lineare che dà come risultato il

vettore nullo è

β = 0 quella banale. Questo porta quindi a definire i due

vettori come 0 = 0 linearmente INDIPENDENTI.

Riguardo al concetto di dipendenza e indipendenza vi sono alcune osservazione

fondamentali:

I vettori v , ……, vk sono linearmente dipendenti se e solo se (almeno) uno di

 1

questi si scrive come combinazione lineare degli altri.

Se uno dei vettori v , …, vk è nullo, allora questi sono linearmente dipendenti

 1

⃗ ⃗ ⃗

⃗ V V V

, , , …. ,

0 2 3 k

⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗

V V V

1* + 0 + 0 + …. + 0 = 

0 0

2 3 k

Combinazione lineare NON banale perché non

tutti i coefficienti sono = 0

Se i vettori v , ……, vk sono linearmente dipendenti, allora v , ……, vk, v

 1 1 k + 1

sono linearmente dipendenti (Allungando un insieme di vettori linearmente

dipendenti questi rimangono dipendenti ma non è detto il contrario).

Se invece i vettori v , ……, vk, v sono linearmente indipendenti, allora i

1 k + 1

vettori v , ……, vk sono linearmente indipendenti (Accorciando un insieme di

1

vettori linearmente indipendenti, questi rimangono indipendenti, ma non è

detto il contrario).

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

V V V

α + α + …. + α = con α ≠ 0

0

1 2 k 1

1 2 k

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

V V V V

Allora α + α + …. + α + 0 = α

0

1 2 k 1

+1

1 2 k k

≠ 0

Tosetti Luca 08/10/2020

Dipendenza e indipendenza

⃗

⃗ 0

0

Tosetti Luca 08/10/2020

Dipendenza e indipendenza – Base –

Coordinate

Due vettori non nulli sono linearmen