Basi di spazi e sottospazi, Teorema del completamento - Algebra e geometria lineare

Dipendenza e indipendenza - Base

V V V1* + 0 + 0 + …. + 0 = 0 02 3 k

Combinazione lineare NON banale perché nontutti i coefficienti sono = 0

Se i vettori v , ……, vk sono linearmente dipendenti, allora v , ……, vk, v 1 1 k + 1sono linearmente dipendenti (Allungando un insieme di vettori linearmentedipendenti questi rimangono dipendenti ma non è detto il contrario).

Se invece i vettori v , ……, vk, v sono linearmente indipendenti, allora i1 k + 1vettori v , ……, vk sono linearmente indipendenti (Accorciando un insieme di1vettori linearmente indipendenti, questi rimangono indipendenti, ma non èdetto il contrario).

⃗ ⃗ ⃗ ⃗V V Vα + α + …. + α = con α ≠ 001 2 k 11 2 k

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗V V V VAllora α + α + …. + α + 0 = α01 2 k 1+11 2 k k≠ 0

Tosetti Luca 08/10/2020

Dipendenza e indipendenza⃗⃗ 00Tosetti Luca 08/10/2020

Dipendenza e indipendenza - Base

–Coordinate

Due vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali (Essendo proporzionali se si va a parlare di vettori geometrici significa che sono anche paralleli).

BASE

Ogni base è un insieme di generatori, tuttavia non tutti gli insiemi di generatori sono anche basi.

Una base è sostanzialmente un insieme ordinato di vettori di uno spazio vettoriale, questo SOLO quando i vettori sono tra loro linearmente INDIPENDENTI (il vettore nullo si ottiene solo con la combinazione lineare banale), e quando questo insieme di vettori genera il sottospazio V.

Inoltre un sottospazio vettoriale V, può possedere più basi.

Una delle basi maggiormente utilizzate per via della sua semplicità è la base canonica di R, tale base è composta da vettori che possiedono un solo loro componente pari a 1 e i restanti pari a 0, andando a "scalare" nelle varie "posizioni".

R_e = (1, 0, 0, ..., 0), e₁ = (0, 1, 0, ..., 0), ...

1. e = (0, 0, 1, …, 0)
2. e = (0,n 1 2 3 n0, 0, …, 1)
3. COORDINATE
4. Sia B = (v , ……, vk) un insieme ordinato di vettori dello spazio V, questa è una base di1V se e solo se ogni vettore di V, si può scrivere in modo UNICO come combinazione⃗lineare di v , ……, vk. Ovvero se e solo se per ogni di V esiste una n-upla ordinataV1di numeri reali (x , …, xk) tale che:1 ⃗ ⃗v = x + · · · · · · + x .V V1 1 n n
5. Questo significa che l’insieme ordinato (x , …, xk) è l’insieme dei coefficienti reali della1combinazione lineare che dà come risultato un vettore UNICO. Tale insieme è anche⃗chiamato n-upla delle coordinate di rispetto alla base B.
6. Per indicare l’n-upla delle coordinate si usa la notazione:
7. [ ]⃗ =(x )V ,… . , xB 1 n
8. P(α, β)⃗W ⃗ ⃗ ⃗V ( , ) Base dello spazioU Wdei vettori⃗UTosetti Luca

Dipendenza e indipendenza – Base –Coordinate geometrici nel piano (R )₂

Tosetti Luca 08/10/2020

Coordinate - Dimensione⃗ ⃗ ⃗ (α e β sono coordinate ∈ R )₂=α +V U β W 1 1 −xx +e eCh(Coseno Iperbolico)x = 2 2

B = (e , e ), è una base di U, perché insieme di generatori linearmentex -xindipendenti, invece ( )12 12,

Le coordinate di Ch rispetto alla base B sono .−xx −ee 1 1 −xxSh(Seno iperbolico)x = = −e e2 2 2

B = (e , e ), è una base di U, perché insieme di generatori linearmentex -xindipendenti, invece ( )12 12,−

Le coordinate di Sh rispetto alla base B sono .

DIMENSIONE

Uno spazio vettoriale V, ha dimensione finita quando esiste un insieme finito digeneratori di V.

Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale V, hanno la stessa cardinalità.

La dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato è il numero di elementi diuna sua qualsiasi base.

Base di R 1

delle sue basi è la base canonica:

e = (1, 0, 0, ..., 0), e = (0, 1, 0, ....), e = (0, 0, 1, ....), ...., e = (0, 0, 1, 2, 3, ..., n, 0, ..., 1)

La sua dimensione è dimR = n

Un altro caso potrebbe essere quello in cui abbiamo una base di M(2x2, R), la cui base canonica è:

1 0

0 1

0 0

0 0

E =

1 1

1 1

0 0

0 0

a b

a 0

0 b

0 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 1

= a + b

= a + b

= c + d

= c + d

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

0 1