Algebra e geometria - basi e sottospazi di uno spazio vettoriale

Basi di uno spazio vettoriale

Definizione

Un insieme B è una base per uno spazio vettoriale V se:

• B è formato da elementi linearmente indipendenti
• V è lo spazio generato da B (B genera V)

Esempio

B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} in ℝ³ è una base, detta base canonica.

Proprietà

• Se V ha una base con n elementi, allora ogni base di V ha n elementi. n = dim V. Es. dim = 3 in ℝ³
• Ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare degli elementi della base in modo unico.
• In ℝⁿ, n vettori linearmente indipendenti formano sempre una base.

Proprietà aggiuntive

Se dim V = n e se V₁, ..., V_h sono elementi di V linearmente indipendenti, allora h ≤ n. L'insieme {v₁, ..., v_h, v_h+1, ..., v_n} è una base di V (ogni insieme di elementi linearmente indipendenti si può completare a una base).

Esempio di dim = 3

Mostrare che {(0,1,1), (1,0,2), (1,2,0)} in ℝ³ è una base.

Bisogna provare che sono linearmente indipendenti:

0 1 1
1 0 2 = -1 + 1 = 2 + 2 ≠ 0
1 2 0

Esempio in ℝ

Sia (5,-1,4). Scriviamo (5,-1,4) come combinazione lineare degli elementi di B = {(0,1,1), (1,0,2), (1,2,0)}.

Dobbiamo trovare a, b, c tali che:

(5,-1,4) = a * (0,1,1) + b * (1,0,2) + c * (1,2,0)

Il sistema è:

• 5 = b + c
• -1 = a + 2c
• 4 = a + 2b

Calcoliamo il determinante:

A = 1 0 2
1 2 0

Determinante di A ≠ 0 implica che il rango di A è 3. Quindi, c'è una sola soluzione.

Metodo di Gauss

Applichiamo il metodo di Gauss:

1 0 2 -1
0 1 1 5
0 -4 -5

Da qui si deduce che c = 5/4, b = 15/4 e a = -14/4.

Quindi, (5,-1,4) = -14/4 (0,1,1) + 15/4 (1,0,2) + 5/4 (1,2,0).

Esempio di indipendenza lineare

Provare che (1,0,0) e (0,2,2) sono linearmente indipendenti e trovare v tale che (1,0,0), (0,2,2), v è una base di ℝ³.

Calcoliamo il rango:

1 0 0
0 2 2

Determinante ≠ 0 implica che ci sono 2 vettori linearmente indipendenti.

Troviamo v = (x,y,z) tale che:

Determinante di 1 0 0
0 2 2
x y z ≠ 0

Quindi, il vettore v = (0,0,1) forma una base con (1,0,0) e (0,2,2).

Dimensione di sottospazi

Definizione: Un sottospazio di V è un insieme U tale che se u₃ + u₂ ∈ U, allora u₁, u₂ ∈ U e r * u₃ ∈ U.

I sottospazi sono spazi vettoriali e quindi hanno una dimensione.