Vettori (spazi e sottospazi vettoriali, insiemi di generatori, basi e spazi finitamente generati) + esercizi

Spazi Vettoriali

Molti concetti in fisica vengono misurati usando quantità scalari, grandezze che possono essere espresse con un singolo numero. Ci sono però quantità fisiche che non possono essere descritte da un singolo numero. Ad esempio, quando vogliamo descrivere il movimento di un corpo, non basta conoscerne la velocità, ma è necessario anche conoscere in che direzione e verso si sta muovendo.

Per definire un vettore dobbiamo specificare 3 componenti:

• lunghezza
• direzione
• verso

Poiché questi oggetti vengono usati per descrivere, ad esempio, degli spostamenti, delle velocità o le forze esercitate su un corpo, abbiamo bisogno di poter svolgere alcune operazioni.

Definizioni

1. Gruppo (G, +)

   Insieme non vuoto munito di un'operazione binaria +: G x G -> G che ad ogni coppia di elementi a, b di G associa un elemento di G, per cui valgono le seguenti proprietà:

   • Proprietà associativa: dati 3 elementi a, b, c ∈ G, vale la seguente identità: (a+b)+c = a+(b+c)
   • Esistenza dell'elemento neutro: esiste un elemento e ∈ G tale per cui a+e = e+a = a per ogni elemento a di G.
   • Esistenza dell'elemento inverso: per ogni elemento a di G, esiste un elemento a^-1 di G, detto inverso di a, tale per cui a+a^-1 = a^-1+a = e.

2. Gruppo Abeliano

   Un gruppo (G, +) si dice abeliano quando l'operazione + soddisfa la proprietà commutativa: per ogni coppia di elementi a, b di G, a+b = b+a. Una generalizzazione del concetto di gruppo è quello di anello.

3. Anello (R, +, ·)

   Insieme non vuoto munito di 2 operazioni binarie + e ·, tale per cui:

   • (R, +) è un gruppo abeliano con e_{+ = 0.}
   • (R, ·) è un monodie: l'operazione è associativa.
   • Esiste e_· e ∈ R per com. δ.
   • La · è distributiva rispetto alla +, per ogni terna di elementi di R, valgono le seguenti identità:
   • a·(b+c) = a·b+a·c
   • (a+b)·c= a·c+b·c

   Un anello si dice commutativo quando la · soddisfa la proprietà commutativa: a·b = b·a per ogni a, b ∈ R.

* Deve soddisfare il commutativo, perché altrimenti esprime non esisterebbe.

4. Campo

Un anello commutativo _{(R, +, *)} viene detto campo quando lo * ammette un elemento inverso per ogni elemento di R diverso dall'elemento neutro della +:

∀a ∈ R ∃ b ∈ R : a * b = b * a = e.

e₊ = 0, e_* = 1

5. Spazio Vettoriale (V)

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme non vuoto dotato di 2 operazioni binarie: _{(V, +, *)} chiamate somma e moltiplicazione per uno scalare che soddisfano le seguenti proprietà:

• _{(V, +)} è un gruppo abeliano con e₊ = 0;
• vale la proprietà distributiva della + per scalare rispetto alla +:
• val la pseudo-distributività della + per scalare rispetto alla * tra scalari:
• vale la compatibilità del * tra scalari e del * per scalari;
• l'elemento neutro della * tra scalari è anche l'elemento neutro della * per scalari;

Gli elementi del campo K vengono chiamati scalari, mentre gli elementi dell'insieme V vengono chiamati vettori.

Nonostante usiamo lo stesso simbolo per indicare le + tra scalari e tra vettori, così come usiamo lo stesso simbolo per indicare la * scalare-vettore e la * scalare-scalare, queste sono operazioni diverse. Le proprietà che soddisfano sono le stesse.

Semplifichiamo la notazione ignorando il simbolo della . (sia tra scalari che per scalari)

Un sottoinsieme non vuoto W di uno spazio vettoriale V su un campo K è un sottospazio vettoriale di V se e solo se

Esempio

Usando gli insiemi dobbiamo dimostrare che l’elemento λ₁ λ₁λ₂ sia in per ogni scelta dei coefficienti λ₁ di vettori =[, 2] , = , con , ∈ ℝ.

Consideriamo la combinazione lineare:

λ₁ + λ₂ = λ₁ , λ₂ , _{1 2}, _{1 2} ∈ ℝ, quindi λ₁ + λ₂ ∈ .

Si ha che l’intersezione di sottospazi vettoriali è a sua volta un sottospazio vettoriale.

Sia {1,2,...,} un insieme di sottospazi vettoriali di , allora anche l’intersezione = ] = 1, , ∈ ô.

Siano λ₁, λ₂ ∈ 2 scalari, e _{1 2} 2 vettori.

Allora, V per ogni {1,2,1},, Poiché è uno spazio vettoriale per ogni , allora anche è un v per ogni indice.

Quindi, ₁, λ₁ ∈grazie s anche è un sottospazio di .

Esempio

Sia e siano W₂ {{ , ∃} ∈ ℝ} e ₃ {{, , , 0}{ℝ} _{3 3} e l’intersezione è l’insieme ₂ {,0,0}{∈ℝ}, che forma uno spazio vettoriale.

Geometricamente, ₂ è il piano ori2ontale nello spazio in cui = 0, mentre ₃ è il piano verticale in cui y = 0. L’intersezione è l’asse orizzontale , che forma uno spazio vettoriale.

Senza perdita di generalità, assumiamo che il vettore V_n si possa scrivere come combinazione lineare degli altri n-1 vettori di S:

V_n = λ₁ V₁ + λ₂ V₂ + ... + λ_n-1 V_n-1

Di conseguenza, l'insieme

S' = S \ {V_n} = {V₁, V₂, ..., V_n-1}

è un insieme di generatori.

Altrimenti, si scrive uno degli elementi di S' come combinazione lineare degli altri, e si considera l'insieme di generatori S'', definito come S' privato dell'elemento linearmente dipendente dagli altri.

Devo estrarre un insieme di vettori linearmente indipendente dall’insieme di vettori linearmente dipendente.

v₁, v₂, v₃

Controllo se questo nuovo insieme è linearmente dip. o indip. Se è dip. tolgo un altro vettore, altrimenti ho concluso.

Considero una loro combinazione lineare, la pongo al vettore nullo. Se ottengo che tutti i coefficienti sono nulli → è linearmente indipendente.

a v₁ + b v₂ = 0 → 0

• a + 2b = 0
• b = 0

↔

• a = 0
• b = 0

a v₁ + b v₂ = → a = 0; b = 0

L’insieme v_i è linearmente indipendente.

V = {1, 2, 3, 4}

λ_i; v_i = 0

b + 2c + 3d = 0

a + b + c + d = 0

a = 0

• b + 2c + 3d = 0
• a + b + c + d = 0
• a = 0

↔

• b = 0; a - 3d = 0
• c = 2₁ a
• a = 0

→ quindi pr. esempio classico

α v₁ + β v₂ - 2 α v₃ + α v₄ = 0

Ogni combinazione di questo tipo è il vettore nullo.