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Base di un sottospazio di V
Sia e una base di un sia una base di L(S).
Esempio
A:
Im Altr. al
Esempio
Sia
A:
volendo il determinante
Quindi cadere con
Quindi una base di L(S) sono costruite da 2 vettori: colonne della matrice A.
<6∣><6∣
La base cartes
< V + W > = < (4, 4, 0, 1), (4, 0, 4, 1), (4, 0, 0, 1) >
V ∩ W = {x, y, z, t, 1} ∈ R4, x - y = 2, t = 0
x - y = 0 z - t = 0 x - y + z - t = 0
( A - 4 0 0 -1 ) = > V(A) = 3 = > dim(V ∩ W) = 4 - 3 = 1
( 0 4 -4 4 )
( 4 4 -4 -1 )
P(x) + d = x - y = 2
La base cercata :
< V ∩ W > = < (4, 1, 1, 4), 1 >
d) Per la formula di Grassmann
dim(V + W) = dimW + dimV - dim (V ∩ W) = >
dim(V + W) = 2 + 3 - 1 = 4 = dimR4
Line bon i se bon contenue de R4
< (V + U) > = < (1, 2, 0, 1), (0, 4, 2, 2), (0, 0, 4, 1), (0, 0, 0, 1) >
a) Sottospazio ortogonale
⟨(4,3,4,4), (2,3,2,4), (2,0,−1,−1)⟩
Determinare una base dello spazio ⊥ di 4 ortogonale a
Il sottospazio è l’insieme delle soluzioni del sistema:
- x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 0
- 3x1 + 2x2 + 6x3 + 4x4 = 0
- 2x1 + x2 − x3 − x4 = 0
Consideriamo la matrice
= ⟨⟩
ρ() = = 2
Le variabili libere sono due ed ecco le equazioni:
- x1 = 4, x4 = 0 ⇒ x1 = −1/2, x2 = −4/2
- x3 = 2
I 2 vettori della base sono (−1/2,−1/2, 4, 0) , (4/1,−3/2,0,4)
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