Azionamenti elettrici - parte 2 esame

A

= 1 Repeated/double real roots

<1 Complex conjugated roots

gg/mm/aaaa Nome insegnamento

Electric Drive control: a brief review

Interconnected Systems: parallel

Y’(s)

U(s) + Y(s)

Y’’(s) +

-

= - --

= + = +

--

= Y(s)

U(s)

= = +

gg/mm/aaaa Nome insegnamento

Electric Drive control: a brief review

Interconnected Systems: feedback

E(s) Y(s)

U(s) +

-

= = − = −

= −

=

1+ Numerator: the forward gain

Y(s)

U(s)

= =

.

. 1+ the loop gain

gg/mm/aaaa Nome insegnamento

Electric Drive control: a brief review

Interconnected Systems: unity feedback

Y(s)

U(s) +

- =1

Y(s)

U(s)

= = =

. . 1+ 1+

The unity feedback is a particular case in which forward gain and loop gain

coincides

gg/mm/aaaa Nome insegnamento

Parametri caratteristici della dinamica

Specifiche statiche: relative al massimo errore a regime tollerato.

Sono indipendenti dal comportamento dinamico del sistema.

Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento

dinamico della risposta, cioè il suo transitorio prima di

raggiungere il valore a regime.

Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di

massima sovraelongazione percentuale, tempo di risposta e di

tempo di assestamento.

Parametri caratteristici della

dinamica

1.6 S

1.4 Step Response

1.2

Ampiezza 1

0.8

0.6 T

Tr a

0.4

0.2 Ts

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Time (sec)

T : Tempo di assestamento. Tempo necessario affinché l’uscita sia sempre

a contenuta all’interno del 5% del valore finale.

T : Tempo di ritardo. Tempo necessario per raggiungere il 50% del valore finale.

r

Ts: Tempo di salita. Tempo necessario per passare dal 10% al 90% del valore finale.

T : Istante di massima sovraelongazione.

m

S : Massima Sovraelongazione. 28

Electric Drive control: a brief review

First Order System

u(t) y(t)

1

1 +

U(s) Y(s) 1

=

A first order system is a system with a simple pole #

=1000 [rad/s]

! = 1

gg/mm/aaaa Nome insegnamento

Sistema del primo ordine

1

DE

= ℒ 1 +

t

- t

= -

y (

t ) X (1 e )

0

Al variare di τ varia la

velocità di risposta

del sistema. τ piccoli

corrispondono a

risposte più veloci

Esempio: Risposta del sistema

(poli reali) Step Response

1 1

µ

=

G ( s

) t t 0.9

+ +

(1 s

)(1 s

)

1 2 0.8

0.7

t t

=

p ,

1 2 0.6

Amplitude 0.5

t t t

> ; polo dominante

1 2 1 0.4

0.3

<

p p ; p banda passante

1 2 1 0.2

t = ® =

1/20 p 20 rad/s 0.1

1 1 0

t ® =

=1/1000 p 1000 rad/s 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

2 2 Time (sec)

Sistema del secondo ordine

w 2

µ

=

G ( s

) n δ coefficiente di smorzamento

dw w

+ +

2 2

s 2 s ω pulsazione naturale

n n n

dw w d

= - ± - 2

p j 1

n n

Sovraelongazione pd

-

(percentuale) = 2

d

-

S 100e 1

Tempo di 3

@

T

assestamento dw

a n

1.8

@

T

Tempo di salita w

s n Luogo delle radici

Effetto sulla risposta

Per δ =1 i poli diventano reali coincidenti e non si ha sovraelongazione

Per δ >1 i poli divengono reali distinti (con un polo dominante)

Posizione dei poli desiderata

w 2

µ

= dw w d

G ( s

) n = - ± - 2

p j 1

dw w

+ +

2 2 n n

s 2 s

n n

pd

- 2

= d

S 100e -

1 Im

S<S*

Limita la posizione dei poli δ>δ*

entro un angolo a sinistra w w d

- 2

1

dell’origine n n

φ Re

3

= dw

F n

G

Limita la posizione dei poli a sinistra di

una retta verticale T <T

a a*

Electric Drive control: a brief review

Closed Loop Control

Y*(s) e(s) Y(s)

m(s)

+ - Proportional, Integral, Derivative CONTROLLER

∗

:

:

: PLANT (to be controlled)

:

The forward gain is: =

<

<

= = =

= ∗

1 + 1+

<

Electric Drive control: a brief review

Closed Loop Control

: J

5

m(s)

e(s) e(t) m(t)

+

: J

7

e(t)

m(t) M

: J

6

6 6

= + + = + +

5 7 5 7

e(s) m(s)

!

+ +

"

+ +

7 5 6

6 ' 2 3

= = + + =

5 7

Electric Drive control: a brief review

Closed Loop Control

La scelta dei parametri del PID è fatta in modo da incrementare il Guadagno di anello in un certo

intervallo di frequenze

≫ = ≪

< < <

− 3

8 8

≅1 ≅

8

1 + 1 +

8 8

Se l’intervallo di frequenze in cui aumenta, la banda passante del Sistema aumenta.

≫

• <

Comportamento dinamico ? @

9

Maggiore è il valore del Guadagno di anello minore è l’errore di approssimazione : ≅1

• 9A? @

9

Comportamento a regime

Electric Drive control: a brief review

Proportional Controller Y(s)

U(s) 10000

2 + 100

+ - K =10

p

K =10

p

K =1

p K =1

p

Electric Drive control: a brief review

PI Controller Y(s)

U(s) 10000

+

2 3 + 100

+

-

K =1

p

K =100

i K =1

p

K =100

i

Electric Drive control: a brief review

PI Controller Y(s)

U(s) 10000

+

2 3 + 100

+

-

Valore finale: =

/→1 $→!

Utile per calcolare il valore a regime

() 1 Valore a regime del sistema in

O

()

$→! risposta ad un gradino unitario

Electric Drive control: a brief review

Stability ì 0 dB

- Þ

( 1

,

0

) í - 0

180

î

K Se il sistema non è un del

primo ordine,

aumentando K il margine

di stabilità si reduce.

Stabilità robusta

Un sistema lineare tempo-invariante si dice stabile

semplicemente se risponde ad un ingresso limitato con una

uscita limitata, invece se risponde con una uscita che tende a

zero il sistema si dice stabile asintoticamente.

Un sistema lineare tempo-invariante si dice instabile se risponde

ad un ingresso limitato con una uscita non limitata (divergente).

Electric Drive control: a brief review

1

U(s) Y(s)

"

560

2 + +1

+ 160000 160000

-

K =10

p K =100

p

K =1

p

Electric Drive control: a brief review

1

U(s) Y(s)

"

560

2 + + 1

+ 160000 160000

-

K =100 K =100

p p

K =10

p K =10

p

K =1

p K =1

p

PMDC Motor

Torque Control: Example

Let:

C

= = 253

= 1[Ω] #

B C B

= 5 mH

B

!

= 2E − 3[ ] B C

C = ≅ 0.4

2

C B

= 0.8

C

; L’ampiezza è <1 a tutte le

= 3.25 − 3 = 50

;"

frequenze.

Un controllo deve essere

realizzato in modo da

ottenere il comportamento

desiderato

PMDC Motor

Torque Control PLANT

PI

:∗ 3

+ : :

+ , 3)

)

+ +

2 3 3 2

Lo scopo è quello di progettare il controllore in modo che sia garantita una determinate banda passante

sufficiente ad ottenere una costante di tempo opportuna

.

# 9

Ovviamente , maggiore la frequenza di taglio più veloce è la risposta del sistema.

= "

! +

+ , 3

=

7 3)

)

+ +

2 3 3 2

Il guadano proporzionale K aiuta ad incrementare la banda passante e la frequenza di taglio ad alte

p

frequenze

Il termine integrale (K ) aiuta a migliorare il comportamento a bassa frequenza, in particolare in

i

condizioni stazionarie. 56

PMDC Motor

Torque Control: K choice

p

PLANT

PI

:∗

: :

; C

=

2 < 5

;"

"

+ + C!

!

+ +

: ; ; : B C C B

L’effetto di K è quello di alzare il diagramma incrementando la frequenza di taglio ad alte. esempio

p K =34dB (K =50)

p p

PMDC Motor

Torque Control: K choice

p

PI PLANT

:∗

: :

# C

= 50 = 50

" #&

&

+ + < C!

' # # ' !

+ +

B C C B

Open Loop, Forward G