Azionamenti Elettrici - Esercizi esame risolti

Appello 15/07/2019

Esercizio n 1 [PUNTI 8]

Considerare un motore DC con statore a magneti permanenti con le seguenti caratteristiche:

• Resistenza di armatura: _{Ra = 1Ω}
• Induttanza di armatura: _{La = 10mH}
• Inerzia del motore DC comprensivo del carico meccanico: _{J = 0.02 kgm²}
• Costante di macchina: _{km= 1.2Nm/A}
• Coefficiente di attrito viscoso trascurabile

1. a) Disegnare lo schema a blocchi e calcolare la funzione di trasferimento del motore I_q(s)/V_q(s).
2. b) Dimensionare il regolatore PI per ottenere una banda passante dell’anello di corrente pari a B_i=1000 rad/s. Con il regolatore così dimensionato, l’anello di corrente presenta errore a regime?
3. c) Una volta definito il regolatore PI come al punto b, dimensionare il regolatore dell’anello di velocità per ottenere errore nullo e una banda passante pari a B_ω=100 rad/s.
4. d) Con il sistema così dimensionato, immaginiamo di applicare un set-point di velocità di 100 rad/s e di lasciare sufficiente tempo alla velocità di rotazione per completare il transitorio. Cosa accade alla velocità se viene applicata una variazione a gradino della Coppia resistente di 10Nm?

a)

_{Gf =}

G(s) = I_q(s)/V_q(s) = ^G_f/ _{1 + Gf·H}, dove

G_f= ¹/_{Ra + sLa}

H= ^k_e2/_{s J e}

= ^Je/_ke² · s · ¹/_{s²/ω0² + 2ξ/ω0 · s + 1}

con ω₀ = ^K_e / √(_JeLa)

ξ = ^R_a / ^{2 K_e √(Je}/L_a)

* Sostituisco i valori numerici

OK √ ω₀ = ^1.2/√_{0.02 · 10^-3} = 84.85 _rad/^s

OK √ ξ = ¹/2·1.2 √_0.02/10^-3 = 0.589 (ADIMENS)

A questo punto calcolo G(s)

G(s) = _0,02/^1,22 ⋅ s ⋅ ₁/^{s2/84,852 + 2 ⋅ 0,589/84,85 ⋅ s + 1}

= s/72 ⋅ ₁/^{1,389 ⋅ 10-4 s2 + 1,389 ⋅ 10-2 ⋅ s + 1}

G(s) = _s/^{0,015 s2 + s + 72}

b) Traccio diagrammi Bode di G(jω)

NB Devo spostare il diagramma con l'ausilio di Kp in modo che esso tagli l'asse delle ω in B_I = 1000 rad/s.

↳ Kp ⋅ |G(j B_I)| = 1

* Dimensioniamo K_pw per avere errore a regime nullo e BW = 100 rad/s

1) Scriviamo T(s) come funzione 1^o ordine tenendo in considerazione il guadagno statico T_o

T(s) = T_{o BI}/^{S + BI} = 0,9217 * ₁₀₀₀/^{S + 1000}

T(s) = _921,7/^{S + 1000}

2) Cerchiamo la Gf_w(s) -> funzione anello aperto dell’anello velocità

Se K_pw = 1 => Gf_w(s) = T(s) * k_e * ₁/^SJ_e

= _921,7/^{S + 1000} * 1,2 * ₁/^{0,02 * S}

Gf_w(s) = _{55 * 302}/^{S (S + 1000)}

3) Calcoliamo frequenza di taglio di Gf_w(s)

|Gf_w(jω)| = 1 => Inverto la formula e ricavo

ω^t

Frequenza di taglio di Gf_w(s)

Esercizio

Motore DC eccitazione separata

Dati: P_{mec R} (nominale) = 400 W

I_qR = 8 A

U_qR = 60 V

W_{mec R} = 62,5 rad/s

R_d = 20 Ω

V_dR = 10 V

1. Calcolare valore: coppia spunto T_o,
2. velocità a vuoto W₀,
3. disegnare caratteristica meccanica T-W.

• 1) U_q = R_qi_q + E
• 2) E = K Φ W
• 3) T = K Φ i_q
• 4) V_d = R_d i_d

N.B. A regime, L_d e L_q possono essere considerate in cortocircuito

T = ^{K Φ}/_Rq . U_q - ^{(K Φ)2}/_Rq . W

T₀ = ^{K Φ}/_Rq . U_q

W₀ = ^U_q/_{K Φ}

ESERCIZIO

Motore DC ad eccitazione indipendente (SEPARATA)

Dati:

• Potenza nominale meccanica → P_N = 10 kW
• Tensione nominale di alimentazione di armatura (ROTORE) → V_gN = 80 V
• Velocità nominale meccanica → W_N = 40 rad/s
• Corrente nominale armatura → i_gN = 150 A
• Tensione nominale circuito eccitazione (STATORE) → V_gN = 20 V
• Resistenza circuito eccitazione (STATORE) → Rd = 10 V

* Disegniamo i circuiti di ECCITAZIONE e ARMATURA

ECCITAZIONE

ARMATURA

Esercizio

Motore DC con eccitazione SERIE

Dati:

• Potenza nominale meccanica → P_mN = 2 kW
• Coppia nominale → T_N = 30 Nm
• Tensione nominale → U_N = 240 V
• Corrente nominale → i_N = 10 A

Eccitazione Serie

• R_T = R_d + R_q
• U_N = U_d + U_q
• i_N = i_q = i_d

* Riporto le eq. caratteristiche (eccitaz. SERIE)

1. U_N = R_T ⋅ i_N + E
2. E = k ⋅ φ ⋅ ω = K ⋅ (K' ⋅ i) ⋅ ω
3. T = K ⋅ φ ⋅ i = K (K'⋅ i) ⋅ i

La tensione di alimentazione diventa V₂ = 100 V.

Il carico meccanico impone una coppia resistente

T_L = T₂ = 20 N·m

Determinare la W₂ e motivare se questa condizione operativa può essere mantenuta nel tempo senza causare danni.

T = ^V2/_{(^w/K^" + K^" RT)²} ⇝ W = ^{Kn V}/_√T - (K^")² R_T

W₂ = ^{10/_√30 · 100}/_√20 - ¹⁰⁰/₃₀ · 4

= 27,4915 rad/_s

i₂ = K^" √T₂ = 8,16496 A

i₂ < i_N ? Sì ⇒ OK ✓

Il valore di B al traforo tabellato si riferisce al VALOR MASSIMO (B_m che compare nell'espressione della coppia).

* Ipottizziamo ora di rettificare ROTORE e STATORE rappresentando solo 1 PAIA POLI

Ipottizziamo di aver magnetizzato i PM in modo da creare un polo magnetico NORD e uno SUD

* Ipottizziamo quindi che la differenza tra B_m e il campo magnetico nel traforo sia pressoché NULLA

* Considero S_m SUPERFICIE MEDIA MAGNETI = direzione tangenziale . lunghezza PM

* Ipottizzando che le linee di campo NON varino passando dal PM allo statore, possiamo considerare che l'area investita dal flusso sia = S_m.

* La Ba è un'ONDA QUADRA di questo tipo

NB Avendo disegnato la Ba in questo modo, stiamo ipotizzando che i PM occupino TUTTO il passo polare

↳ che siano attaccati l'un l'altro

NB Questa configurazione in realtà NON si verifica quasi mai principalmente per 2 motivi:

1. L'obiettivo della progettazione della macchina elettrica è quello di MINIMIZZARE il VOLUME
2. Se i PM sono troppo vicini, possono nascere dei FLUSSI DISPERSI che possono richiudersi tra il PM NORD e quello SUD