Argomenti Analisi 3 e schemi riassuntivi e formulario. Prof. Corrado Marastoni

1) Teorema del Dini

Esplicitare una funzione con una delle sue variabili, in un intorno di un pt.

• es. vedere un volume come una superficie, o una superficie come una retta (come migliore approssimazione)
• si può se,
  • f(x,y,z)=0 ∧ ∂f/∂z ≠ 0 (ξ = la coordinata da esplicitare)
  • • b) f(x,y,z(x,y)) nell'intorno di z = z₀ = ξ + ∇z(x₀) + 1/2 H (x-x₀)²

1. procedere con ∇f per vedere cosa posso esplicitare
2. g fuu il calcolo del polinomio di Taylor ed Hessiano

x = inteso come ^x/_y

f = 0 ⇒ f₀ = f₀(x,y,z(x,y)) ⇒ ∂zf/∂x + ∂ζ/∂x ∂z/∂x ⇒ ∇H = ∂f₀ = f₁ = 0

• se vuoi esplicitare la ∂z/∂x = - ∂ξ_x/f_z z(x,y) dev'essere anche una df ξ = 0, derivata le ∂z denominate da ‘provabili’

• F(a, b( a ))
  • J_m^n-m -> F = 0 ⇔ J_F = 0

J_Fa + J_Fb J_b(a) = 0

J_b(a) = J_Fb^-1 (-1) J_Fa

• Jacobiano di F rispetto alle coord. esplicite
• Jacob. di F rispetto alle coord. da esplicare e di complemento
• Jacob. delle coord. da adjuntare rispetto a quelle esplicite

2) Diffeomorfismi

-> funzioni iniettive, suriettive e bidifferenziabili

• è un diffeom. locale in un intorno...
• ...una funzione che porta punti del Dominio univocamente in punti del Codominio

in λ dimensione se f λ diffeomorf. locale ∀x ε Dominio

• f è diff. locale in x₀ se e solo se det J_f (x₀) = 0

1. f diffeomorfismo globale

g(x,y) -> (u,v) -> identità

g(u,v)->(x,y) ⇒ g ○ g = 1

1. ad f arriva una g immersa c.c.
2. J_g(x,y) = J_f(x)^-1

una \( f \) è detta immersione in

un intorno del Dominio se:

• 1) n = m
• 2) f diff. locale in quell’intorno

una \( f \) è detta sommersione in un

intorno del Dominio se:

• 1) m < n
• 2) f diff. locale in quell’intorno

es.: proiezione di un volume in un piano, è somm. se \( det J \not= 0 \)

nulle: \( J = \nabla f \)

es.: una parametra immagine delle verlocità

formule matematiche

curva piano perpendicol. \( y \, (t) = ( x \, (t) \, , \, y \, (t) ) \) si elimina il parametro ->

FORMA GRAFICA

\( y (x) \) \((x, f (x) ) \) g(x) -> ^{[ \, \frac{dy}{dy} \right ] > 0}

FORMA CARTESIANA

\( S = \left (x_0, y_0 \right ) \)

d^{u \in R^m > n} M_cart (m > n) h =

su una CARTA LOCALE che da piccolo e grande intorno ha una inat INTERNALE LOCALE

VARIETA DIFFERENZIABILI

TxM_ = {u \in R_n dg(u)=0}

• -> \( M \) (varieta) -> grafo di
  • una funzione
• 1) \[ M \] = insieme di varieta di un in ^{parametrizzazione di \left \lbrace R^n-R^{n-m}}
• c) \[ M \] = una \( nel \) modo di una funzione

per un funzione

\( \partial g(f_x^0) [x' - x_0] ]\= fx_0 + J \) è compactibile \( dg -> \)

spazio Im (dg) xj funzione delle verlocità parentetrica -> es.: \( s \vec \curve_{y} alla curv \)

con \( y'(x')\) j con il punto p

5d)

Formula di Green

la circolazione di un campo

∮_C (P dx + Q dy) = ∬_A (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx dy

Teorema del gradiente

Area di S y dc

-= ∮_C y dx

∂

∂x i

= 0

5f) Teorema del rotore di Kelvin-Stokes

∮_S F • dx

Φ_S (rot F)

6) EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Teorema di Cauchy/Lipschitz

assicurano l’esistenza e l’unicità della soluzione di un’e.d.o. se:

1. f(t, y(t)) è CONTINUA in t
2. f(t, y(t)) è Lipschitz in y(t)

Il problema di Cauchy si riconduce ad un’iterazione dell'operatore di Volterra

{ y' = f(t, y)

{ y(t₀) = y₀