Argomenti Analisi 3 e schemi riassuntivi e formulario. Prof. Corrado Marastoni

Schemi Analisi 3 - Ateneo Padova

1. Teorema del Dini

   • Esplicitare una funzione pur una delle sue variabile, in un intorno di un pt.
   • Esempio: vedere un volume come una superficie e una superficie come una curva (come miglior approssimazione).

   è più se:

   • f(t, x, y, t) = 0 e ∂f / ∂g ≠ 0 (ξ = la coodrinata da esplicitare)
   • f = f(x, y, z(x, y)) nell'intorno: z = z_o + ∇z(x_o)(x-x_o) + (1/2)H(x-x_o)
   1. Procedere con ∇f per vedere cosa posso esplicitare
   2. Tg f su il calolo dei polinomi di Taylor ed Hessiano

   f = 0. f = (x, y, z(x, y)) ⇒ df/dx = fx + fy ∂z/∂x ⇔ f_ξ = 0 ⇒ f⁻¹ o

   F(a, b(a)) : Rⁿ → R^m → F = 0 ⇒ J_F = 0

   J_Fa + S_FbJ_b(a) = 0

   J_b(a) = J_Fb⁻¹(-)J_Fa

   • Jacobiano di F rispeto alle coord. esplicite m x (m-m)
   • Jacobo di F respeito alle coord. da esplicare mxm
   • Jacob. delle coord. da adattare respecto a quelle esplicte

2. Diffomorfismi

   • Funzioni iniettive, suriettive e bifferenziabile;
   • Un diff. locale in un intorno a una funzione che porta punti nel Dominio e nuovamente in punti del Codominio

   in 3 dimensione x^ƒ⁻¹ è diffemorf. locate ∀x ∈ Dominio ⇒ ƒ⁻¹ = DIFFOMORFISMO GLOBALE

   una ⋋ è diff. locale in x_o se e solo se (det ƒg (x_o) ≠ 0.

   ƒ(x, y) → (u, v) ⇒ g(u, v) → (x, y) ⇒ g ∘ g = 1_I

   ad ƒ sirie una g inversa t.c.

   J_g(x_o) = J_ƒ(x_o)⁻¹

1) Teorema del Dini

Esplicitare una funzione f(x) una delle sue variabili, in un intorno di un pt.

es: vedere un volume come una superficie, o una superficie come una curva (come migliore approssimazione)

È può se:

1. f (x,y,t) = 0 e df/dg ≠ 0 (ξ + la coordinata da esplicitare)
2. f = f (x,y,z(x,y)) nell'intorno Γ = z₀ = z₀ + ∇z(x₀) (x-x₀) + ¹/₂ H (x-x₀)²

1) Procedere con ∇Γ per vedere cosa posso esplicitare

2) ∇Γ sui il calcolo del polinomio di Taylor ed Hessiano

=>

f = 0 = f (x,y, z(x,y)) → df/dx = fx + f_z dz/dx |*H f = 0 → f ^-1 = 0

d2/dx = -fx/f_z

Se voglio esplicitare da z(x,y) devo quindi zero una d f = 0, determinare ed enunciatore da 'produbi'

F (a, b(a)) : Rⁿ → R^m&sum(F=0 &Rightarrow J_F = 0

| J_b(a) = J^-1_b(a)

• Jacobino di f rispetto alle coordinate esplicite
• Jacob. di F rispetto alle coord. da esplicare
• Jacob. alle coord. da utilizzare rispetto a quelle esplicite
• J_b(a) = J_F - J_b(a) = 0

2) DIffeomorfismi

Funzioni iniettive, suriettive e bidifferenziabili

per diffeomorf. Localle in un intorno da una funzione che porta punti del Dominio de oro viceamente in punti del Codominio

in 3 dimensione se f¹è diffeomorf. Locale V_x ∩ Dominio

=>^F è naive omorfismo globale

da un f è diff- locale in x₀ se e solo se (det Jf (x) ≠ 0)

ad existe uno G inverse t.t.:

• g(x,y) => (u,v)
• (g(iv)): identita
• g (u,v) => (x,y)
• g∘g = n
• J_G(x) = J^-1_g (x)

6)

una f è detta IMMERSIONE in un intorno del Dominio se:

1. n = m (R^m → R^m)
2. f è diff. locale su quell’intorno

es.: una curva parametrica è IMMERSIONE se ha velocità mai nulla, cioè se è REGOLARE

quindi: J_f(x0) = f' ≠ J = 0

una f è detta SOMMERSIONE in un intorno del Dominio se:

1. n > m
2. f è diff. locale su quell’intorno

es.: proiezione di un volume in un piano è somm. se ∇f≠0

nota: J = ∇f

3) Curve

piane regolari

• FORMA PARAMETRICA → γ(t) = (x(t), y(t)) se definito (t parametro d.t)
• FORMA GRAFICA → γ(x) = (x, f(x))
• FORMA CARTESIANA → g(x, y) ... → dx/dy

cioè si esprime vicino a (x₀, y₀)

come una g(x, y) = x, con g funzione somm.

con Dini esplicita una y(x)

VARIETÀ DIFFERENZIABILI

siano deformazioni da spazi affini di dimensione mⁿ in R

• presentate nelle 3 forme sopra citate
• M L(varietà) sarcsof di una funzione

• M^n-m insieme di livelli di una parametrizzazione di una funzione immersa → Rⁿ → R^m-n

nell’immagine della realtà parametrica → es: S = L'altezza tg alla M nel punto P

S: P + Im (dJ)

S: Jg (η) (x-x₀) - (y - y₀) = 0

4) PUNTI STAZIONARI

→ da Analysker 1 e 2 i minimi e stazionamento di funzioni è a punti fissi sulle varietà

1. caso semplice: M in forma parametrica → MAX e MIN di f_g(dJ) → l dim J_f, g_nⁿ
2. 2 dim - ∂f ∈ H

b) M in forma cartesiana → A e pt. stazionari ↔ det [ Df(a) μ g ] ≠ 0 se μ ≠ (a)

le derivate di f e vincoli, Dipendono da:

L₂ e il metodo dei moltiplicatori di lagrange a cui va aggiunta la condizione del pt.

di appartenere alla H = g(x₁, x₂, ..., x_n) = 0 se [Df(a)] non è matrice quadrata e la condizione che tutti i minori siano singolari.

L₃ se si trovano i punti per studiarli la natura si cerca una z(x, y) = g(x) e si riconda

di v. cono peso congiunzione e nel ricordino allo studio di Amaldi 2 / 2.

Determinazione di estremi assoluti di una f e C