Argomenti analisi 2 e schemi riassuntivi, prof. Roberto Monti

Argomenti analisi 21 - serie numeriche

1. Condizione necessaria convergenza
2. Serie ad a_n ≥ 0
3. Serie a segno alterno
• Criterio radice
• Criterio rapporto
• Criterio confronto
• Criterio di Leibnitz
4. a_n → 0 per n → +∞ (a_n)ⁿ < 0 (decrescente)
5. Convergenza assoluta → convergenza semplice

Integrali generalizzati

1. Confronto serie/integrali
2. ∫ f in f non limitata ma D limitato
3. ∫ f in f limitato e D non limitato
4. Criterio confronto asintotico
5. Criterio convergenza assoluta
6. Criterio di Rabel - Criterio Diabolinite
7. Funzione "fattore interro" ∫ e^-θt

Curve in ℝⁿ

1. Definizione
2. δ'(t) = velocità d'incrocio
3. Campo unitario tangente
4. Curve elementari (cicloidi, spirali, …)
5. Lunghezza curve rettificabili, L = ∫ δ'(γ(t))

Serie numeriche

1. Condizione necessaria convergenza
2. Serie ad a_n ≥ 0
3. Serie a segno alterno
• Criterio di Leibnitz
• a_n → 0 per n → ∞
• (a_n)^- (decrescente)
4. Convergenza assoluta

Integrali generalizzati

1. Confronto serie / integrali
2. ∫ non limitata non D limitata
3. Criterio confronto asintotico
4. Criterio convergenza assoluta

Curve in ℝⁿ

1. Definizione - supporto parametrizzazione
2. δ(t) = velocità / tangente della curva
3. Curve elementari (cicloide, spirale, ...)
4. Lunghezza curve rettificabili, L = ∫ |δ'(t)| dt

Spazi metrici

1. Definizione (X, d) con d: X X [0, +∞] che verifica proprietà:
• Positività
• Simmmetria
• Verifica disuguaglianza triangolare
2. Norma spazio normato
• Positività
• Omogeneità
• Sottoadditività
• Esempi di norme
• ||f||₁ = ∫ |f(x)| dx
• ||f||_∞ = sup |f_n| = max |f_n|

Successioni funzioni

Teorema di continuità, test delle rette, test delle parabole

Sono equivalenti:

1. f continua in x₀
2. (x_n)_n lim x_n ^n→∞ x₀
3. lim f(x_n) f(x₀)

Definizione di funzione continua

lim x x f(x, y_n) f(x, y) ||f(x, y) - f(x, y)_n|| n

Convergenza uniforme

1. # da quelle puntuale lim sup f_n(x) - f_n(x) x = 0
2. Insieme di convenienza puntuale, studiare derive in x₀, ottenere un D funzione
3. Convergenza uniforme
4. Differenziabilità = d/dx (lim f_n) = lim^n→∞ d/dx (f_n)
5. Integrabilità: Se f_n converge puntualmente e f_n uniformemente a g ⇒ f_n → f allora ∫ lim f_n = lim ∫ f_n

Serie di funzioni e di potenze

1. Definizione: ∑ f_n = successione - Serie
2. Convergenza uniforme se lim sup |f_n(x)| = ∑f_n(x) ^x = 0
3. Le somme parziali torneranno convergendo uniformemente al valore della serie
4. Criterio di Weierstrass
• sup_x_A |f_n(x)| ≤ a_n
• ∑ a_n
5. Convergenza totale → ∑ sup |f_n(x)|
6. Serie di potenze
• Criterio di Cauchy-Adamar: detta ∑_An zⁿ sia R = 1/limsup n√|a_n|
• S.P. converge assolutamente ∀|z|
• " Uniformemente ∀|z| ≤ S; S ⊂ R
• " Non converge ∀|z| > R
7. Funzioni olomorfe
• A = fie d'inco di convergenza di una S.P. ∑ a_n zⁿ = f_n(z); A ⊂ C
• f è continua in A fm c.u. su As; S ⊂ A; {δn/|z|}
• ∀z₀ ∈ A ∃ ξ ∈ c_{df}(z₀) = f'(z₀) = lim_(z→z₀) (f(z) - f(z₀)) / (z - z₀)
• Una f tale pe cui ∀z₀ ∈ A ∃ df/dz è OLOMORFA
• Le serie di potenze definiscono ƒ OLOMORFE nei loro A di convergenza
8. Funzione esponenziale
• lim n→∞ (1 + x/n)ⁿ = eˣ
• eⁿ⁺ᵏ = eⁿ eᵏ
• eˣ⁺ⁱ = eˣ eⁱ
• |e ˣⁿ| = 1 ∀ x ∈ ℝ
• eⁿ = cos x + i sin x; s = eˣ (x = x ∈ ℝ)
• eˣ = ∑ n=0 ∞ xⁿ/n!
9. h(x) = ∑ n=0 ∞ (-1)ⁿ z²ⁿ / (2n)!
10. sin(x) = ∑_(n=0)ⁿ⁺⁵ (-1)ⁿ ²ⁿ⁺¹ / (2n+1)!
11. Logaritmo complesso
• w = zʷ ⁿ = rˣ ¹ⁿ e°^ⁿ; w ≠ 1; z = |z| e^(i arg(z))
• w_z = ln(|z|) + tn(i arg(z))ⁿˣⁿ⁹
• ⇒ w_z = log₅ |z| + i arg(z)

Topologia

Insieme ...