Argomenti analisi 2 e schemi riassuntivi, prof. Roberto Monti

ARGOMENTI ANALISI 2 CORSO ASTRONOMIA PADOVA

1. SERIE NUMERICHE
   1. CONDIZIONE NECESSARIA CONVERGENZA (lim n→∞ a_n = 0)
   2. Serie ad a_n ≥ 0
   3. Serie a segno alterno
      • CRITERIO RADICE
      • CRITERIO RAPPORTO
      • CRITERIO CONFRONTO con serie che so che convergono
      • CRITERIO DI LEIBNITZ
        • a_n = ϕ(n) m = ∞
          • Se L < 1 converge
          • Se L > 1 non converge, vedere a_n → 0
          • Se L ≈ 1 non posso dire nulla
        • (a_n)^' < 0 (decrescente)
   4. CONVERGENZA ASSOLUTA ∑ a_n converge ⇔ ∑ xⁿ a_n² converge ⇒ CONVERG. SEMPLICE
2. INTEGRALI GENERALIZZATI
   1. confronto serie / integrali lim n→∞ ∫_n^b f(x) dx
   2. ∫ f non limitata, ma D limitata (uso una sostituzione e mi ricordo che ...)
   3. Se f in è limitata e D non limitata ⇒ direzionate
   4. CRITERIO CONFRONTO ASINTOTICO
   5. CRITERIO CONVERGENZA ASSOLUTA
   6. CRITERIO DI HABEL m criterio fabbricato per le serie ∫_a^∞ g(x) dx = ∞ ⇔
      • 1) g^-1(x) < ∞ ∀ x ≥ a
      • 2) lim x→a⁺ S(x) = ∞
   7. FUNZIONE INTERO
      • ∫_n^∞ e^-x dt = (⌊x + 1⌋ * x! )
3. CURVE IN Aⁿ
   1. definizione SUPPORTO PARAMETRIZZAZIONE
   2. δ(t) = VELOCITÀ di incremento tangente della curva δ(t) = lim t→t (δ(t + t) - δ(t)) / t
   3. CAMPO UNITARIO TANGENTE T = δ(t) / ‖δ‖
   4. CURVE ELEMENTARI (circolare, spirale, δ(t) = un VERSORE) - ciclidi
   5. LUNGHEZZA CURVE RETTIFICABILI L = ∫_a^b ‖δ′(t)‖ dt
   6. INTEGRALI LINEARI ∫ B δf o δ(g) (x(t)) γ_(x) dt

4. SPAZI METRICI

1. definizione (X,d) con d : X × X → [0, +∞] che verifica tre proprietà
2. esempi di norme
   • NORMA (V, || ||)
     • positiva
     • omogeneità
     • subadditività
   • CONVERGENZA
     • puntuale
     • integrale
3. successioni
   • definizione di funzione continua

5. CONVERGENZA UNIFORME

1. da quella puntuale
2. UNIFORME ⇒ PUNTUALE
3. • DIFFERENZIABILITA'
   • INTEGRALE

6. SERIE DI FUNZIONI e DI POTENZE

1. definizione: fn e successione
2. convergenza uniforme se ...

Teorema formule della caratterizzazione di differenziabilità

• sono equivalenti le 2 affermazioni

• se è differenziabile in x₀, il resto, qualcosa che va a 0, più veloce di (x-x₀)

operativamente

f(x) = f(x₀) + H(x-x₀)

j(x) = f(x₀) + H(x-x₀) + E_x0(x)

in ℝ² ➝ ℝ

• f(x, y) + f_x(x₀, y₀) (x-x₀) + f_y(x₀, y₀) (y-y₀)

è il piano tangente

alla funzione f(x, y) nel punto di R³

in ℝⁿ ➝ ℝ^^m

• x_n+1 = f(x_n) = ∇f(x_n, x-x₀) è l'iperpiano tangente a superficie di f in uno spazio m+n nel punto (x₀, j(x₀))

Teorema della funzione composta

(g∘f) è differenziabile in x₀, se g è diff. f è diff. A:

• d(g∘f)(x₀) = dg(f(x₀)) ∘ df(x₀)
• J_g∘f = J_g(g_n) ∘ J_f(x₀)

corollario curve

dF(t,x₀)

Teorema valor medio

• estensione del teorema di Lagrange per n + 1

∃ f(b) - f(a)

b-a J*{[x,y]}: {tx + (1-t)y ∈ Rⁿ, t ∈ [0,1]}

⇒ ∃z ∈ [x,y]: f(a)-f(g)(f(x), x-z)

teorema 2

• ∃z ∈ [x,y] ∛(f(x, y), r = , f

corollario ➝ f diff. in A ⇔ ∃z ∈ [x,y] ∫