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DEFINIZIONE DI PROCESSO ALEATORIO GAUSSIANO

La definizione è abbastanza restrittiva. Cosa significa che queste variabili aleatorie sono congiuntamente gaussiane? Risenti 53 min.

In realtà il modello di processo gaussiano non è valido con basi teoriche e sperimentali per il segnale rumore termico, ma anche in altri modelli ad esempio segnali sismici, segnali radio.

Inoltre hanno anche un altro vantaggio, sono facilmente caratterizzabili da un punto di vista statistico, nel senso che nel caso di processi aleatori gaussiani abbiamo una completa caratterizzazione statistica quando ne conosciamo il valore medio e l'autocorrelazione. Abbiamo detto sempre il contrario, ma nel caso dei processi gaussiani se conosciamo media e autocorrelazione X(t) è completamente caratterizzato dal punto di vista statistico.

Quando n variabili aleatorie si dicono congiuntamente gaussiane? Quando la loro pdf congiunta ha questa forma: Se conosco funzione valore medio e auto-correlazione.

O auto-covarianza, posso calcolarmi gli elementi della matrice di covarianza e gli elementi del vettore dei valori medi e posso scrivere la pdf congiunta per ogni n e per ogni n-upla di istanti e posso quindi scrivere la caratteristica completa. Vale quindi un'altra proprietà importante: un processo aleatorio gaussiano stazionario in senso lato è anche stazionario in senso stretto. Un'altra proprietà importante è che i processi aleatori gaussiani sono chiusi rispetto a trasformazioni lineari: cioè dopo la trasformazione il processo in uscita è sempre gaussiano. Se poi questa trasformazione oltre ad essere lineare è stazionaria, allora anche l'uscita è stazionaria. Adesso facciamo qualche esempio. Abbiamo un segnale aleatorio N(t) stazionario in senso lato, bianco, quindi con densità spettrale di potenza costante, in ingresso a questo dispositivo: Un filtro a media mobile che calcola il valore medio.

corrente.Produce il segnale aleatorio X(t) che viene moltiplicato per il segnale aleatorio 2cos(…), con TETA variabile aleatoriauniformemente distribuita in [-pi,pi). Il prodotto viene posto in ingresso ad un filtro, la cui uscita è Y(t).In particolare, H(f) è un filtro reale così fatto :

Dobbiamo determinare e rappresentare la densità di potenza Y, nell’ipotesi che f0 sia molto maggiore di 1/T.

Iniziamo con l’osservare che il processo aleatorio X è prodotto dal processo N mediante questo dispositivo che è unsistema lineare e stazionario, in quanto tale è completamente caratterizzato dalla sua risposta all’impulso.

Parliamo di sistema lineare perché l’integrale è lineare, per la stazionarietà : se entra il segnale ritardatoesce il segnale ritardato.

Quindi, questo sistema è completamente caratterizzato dalla sua risposta all’impulso : quando in ingresso metto la deltadi Dirac,

l'uscita è la risposta all'impulso: la primitiva della delta è il gradino e quindi quando vado a fare l'integrale ho una differenza di gradini: Quanto vale la funzione valor medio e autocorrelazione? La media del processo in uscita è 0 perché lo è la media del processo in ingresso. La funzione di autocorrelazione è data dall'autocorrelazione in ingresso, convoluto la h, convoluto la h di -tau. Quanto vale l'autocorrelazione della h? Se voglio l'autocorrelazione, calcolo H(f) modulo quadro => Ora Z(t) è il prodotto tra il processo X e il coseno. La media di X è nulla, quindi anche la media di Z è nulla. Calcoliamo l'autocorrelazione: Ora questo segnale va in ingresso ad un filtro passa-banda (disegnato prima). Per trovare la densità spettrale di potenza in uscita, calcoliamo quella in ingresso e la moltiplichiamo per H(f) moduloquadro. Il fatto che f0T è molto maggiore di 1

X(cappello).Adesso andiamo a studiare le componenti in fase e quadratura e vogliamo vedere cosa succede, quali sono le proprietà che hanno se il processo passa-banda X è un processo aleatorio a media nulla e stazionario in senso lato (potrebbe essere ad esempio il rumore bianco filtrato). Per fare quanto detto, dovremmo utilizzare delle proprietà di mutua correlazione di versioni filtrate di processi, allora ci torna utile lo schema :

Questo è lo schema generale, possiamo poi considerare casi particolari in relazione a quanto serve a noi. Ci chiediamo, qual è l'autocorrelazione della trasformata di Hilbert? Quando calcola la mutua correlazione tra questi due segnali in realtà si calcola l'autocorrelazione :

L'autocorrelazione di X e l'autocorrelazione della trasformata di Hilbert coincidono. Adesso, sempre con riferimento allo schema generale, vogliamo calcolare la mutua correlazione tra la trasformata di Hilbert e il processo X.

Scopriamo che la mutua correlazione tra la trasformata di Hilbert e il processo, coincide con la correlazione del processo stesso.

Adesso cambiamo l'ordine dei pedici: correlazione tra X e la sua trasformata di Hilbert.

La mutua correlazione tra X e la sua trasformata di Hilbert è uguale all'opposto della trasformata di Hilbert dell'autocorrelazione del processo (37 min?).

Ricapitolando tutto:

Adesso andiamo a studiare le proprietà della componenti in fase e in quadratura: vogliamo dimostrare un teorema che ci dice che, se questo processo aleatorio X è a media nulla e stazionario in senso lato, allora le componenti in fase e quadratura sono a media nulla e congiuntamente stazionarie in senso lato.

Se X è a media nulla, X cappello è a media nulla, perché se in ingresso abbiamo una media nulla in uscita avremo anche Xc e Xs a media nulla.

Valutiamo l'autocorrelazione della componente in fase: dobbiamo dimostrare che questa

funzione dipende solo dal ritardo

Possiamo utilizzare i risultati ricavati prima per sistemare questo prodotto:

Nell'ultimo passaggio non facciamo altro che mettere vicino termini simili:

Definite le componenti in fase e quadratura possiamo anche definire inviluppo e fase istantanea:

OSS: per il momento non ce ne occupiamo

Dobbiamo ragionare sulla distribuzione di potenza, per dire che Xs e Xc sono processi passa-basso.

Per calcolare la densità spettrale di potenza dobbiamo fare la Trasformata di Fourier:

Quindi abbiamo scoperto che: si prende la parte a frequenze negative della (..)(1.29)

Vediamo cosa succede con lo spettro mutuo: dobbiamo fare la trasformata di Fourier della mutua correlazione

Allora possiamo fare passaggi analoghi ai precedenti: (1.47)…

Esempio

Abbiamo una situazione di questo genere:

Questo per f0=fc

Adesso vediamo f0=fc-W:

RISENTI QUESTA LEZIONE PERCHE' E' STATA UNA TRAGEDIA SEGUIRLA

Lezione 13 (09.11.2020)

Lezione di esercizi sui segnali

L'autocorrelazione del processo in ingresso è impulsiva; il valor medio è nullo. Il processo è gaussiano estazionario in senso lato e quindi è stazionario anche in senso stretto. Conserva anche la stazionarietà. La media dell'uscita è pari alla media dell'ingresso * H(0). Il processo in uscita ha media nulla.

Vogliamo trovare l'autocorrelazione dell'uscita e in particolare la potenza. Il fatto che il processo è gaussiano e il sistema lineare, allora il processo in uscita è gaussiano: comunque scegliamo un istante di tempo, la variabile aleatoria che estraiamo è gaussiana. Quindi dobbiamo trovare la media e la varianza della generica variabile aleatoria estratta in uscita. La densità di probabilità non dipenderà dal tempo.

Per trovare l'autocorrelazione dell'uscita, abbiamo fatto la trasformata inversa della Py. A noi interesserebbe la varianza, che

coincide con il valor quadratico medio, che coincide con la potenza :

Noi abbiamo definito anche la banda equivalente di rumore : nel caso di filtro passa-basso (Caso del filtro RC),la banda equivalente di rumore, si ottiene come :

La frequenza considerata è quella in zero perché, essendo il filtro passa-basso abbiamo il massimo valore proprio in zero.

Quindi La varianza in ogni istante è costante e pari a :

Allora :

Abbiamo la definizione della pdf.- Esercizio 2

OSS: Quella notazione (1-..) sta ad indicare una lambda.

Questo processo viene elaborato come riportato, e l'uscita viene campionata negli istanti tk.

Questo sistema è costituito da derivatori, amplificatori, sommatori.. tutti elementi che danno luogo globalmente ad un sistema di tipo LTI. Andiamo a vedere di trovare la risposta in frequenza del filtro : l'uscita y(t) è data dalla somma di N più il percorso che passa per il derivatore e per -alfa.

Poi, X(t) lo possiamo vedere come la

somma di y e quello che viene dall'altro ramo (derivata per -alfa). Quindi la nostra