Appunti teorici ed esercizi guidati ANALISI 2 - 9 CFU -

CORSO DI ANALISI 2 – 9 CFU

TRATTATZIONE TEORICA

Università Federico II di Napoli

Laurea in Ing. Elettronica

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II – 9 CFU

Topologia in Rⁿ: funzioni scalari, funzioni vettoriali di una variabile reale, funzioni vettoriali di più variabili reali. Norma e modulo di un vettore in Rⁿ. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Dim*). Definizioni di punto interno, di frontiera, esterno, di accumulazione, isolato. Insieme aperto, chiuso, perfetto, connesso, connesso per poligonali. Definizione di poligonale in R², di insieme connesso per poligonali, di insieme compatto e limitato.

Funzioni in più variabili: insiemi di definizione, funzione composta. Concetto di limite e verifica dei limiti. Teoremi sul limite (unicità, confronto e algebra dei limiti). Funzioni continue. Teorema sulla funzione composta. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri (Dim). Teorema di Bolzano. Teorema di Bolzano-Weierstrass (Dim). Definizione di funzione uniformemente continua. Teorema di Cantor.

Calcolo differenziale: definizioni di derivabilità parziale (rispetto a x e y). Definizione di gradiente. Legame tra derivabilità e continuità. Definizione di derivata direzionale. Definizione di funzione differenziabile. Definizione di differenziale. Condizione necessaria per la differenziabilità (Dim). Condizione sufficiente per la differenziabilità (Dim). Teorema sulla differenziabilità delle funzioni composte. Teorema del gradiente (Dim) e significato geometrico. Teorema del piano tangente (Dim). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Definizione di Hessiano di una funzione. Teorema sulle funzioni a gradiente nullo (Dim). Formula di Taylor dell’ordine n con il resto di Lagrange (Dim*). Estremi relativi (massimo e minimo). Teorema di Fermat [C.N. sugli estremi relativi] (Dim). Condizione necessaria 2 sugli estremi relativi (Dim). Condizione sufficiente sugli estremi relativi. Punti di massimo e minimo assoluti.

Funzioni implicite. Teorema del Dini (Esistenza Dim – Continuità Dim*). // Teorema del Dini. Teorema del Dini per un’equazione in n incognite.

Equazioni differenziali: Problema di Cauchy e significato geometrico. Teorema di Peano. Definizione di funzione Lipschitziana. Condizione sufficiente per la Lipschitzianetà (Dim). Condizione sufficiente 2. Teorema di esistenza e unicità “in grande” (n=1). Definizione di integrale generale e di integrale particolare in un’equazione differenziale di ordine n a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari. Metodo di Lagrange. Equazioni differenziali del II ordine. Definizione di funzioni linearmente indipendenti e di Wronskiano. Teorema del Wronskian (Dim*). Teorema sull’integrale generale dell’equazione omogenea (Dim*). Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Metodo della somiglianza. Metodo di Lagrange (Dim*). Sistemi di equazioni differenziali del I ordine. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità 1. Equazioni differenziali di ordine n. Teorema di esistenza e unicità 2. Equazioni differenziali di ordine n lineari. Equivalenza di un’equazione differenziale di ordine n con un sistema di n equazioni differenziali del I ordine. Esistenza di n soluzioni linearmente indipendenti.

Curve in Rⁿ. Curve semplici, chiuse, aperte. Lunghezza di una curva. Curve rettificabili. Curve regolari. Retta tangente ad una curva. Teorema sulla rettificabilità della curva regolare. Coordinate polari ed esempi di curve. Verso di percorrenza e ascissa curvilinea. Cenno al teorema fondamentale di una curva. Integrali curvilinei di f specie, sulle proprietà (Dim* dell’indipendenza dal verso) ed il suo significato geometrico. Baricentro di un corpo filiforme. Integrali curvilinei di II specie. Forme differenziali lineari in R³, proprietà di un integrale curvilineo di II specie (Dim della dipendenza dal verso). Forme differenziali esatte. Caratterizzazione delle forme differenziali esatte (Dim). Forme differenziali chiuse. Condizione necessaria per le forme differenziali esatte. Insiemi semplicemente connessi. Chiusura di una forma differenziale in R³. Teorema di Poincaré. Insieme stellato rispetto a un punto.

Integrali doppi e loro proprietà. Integrabilità di funzioni continue (Dim*). // Teorema della Media (Dim*) e significato geometrico. Insiemi normali rispetto ad un asse. Teorema di Fubini. Trasformazioni regolari in R³. Teorema sulla regolarità della trasformazione inversa. Teorema sulla regolarità della trasformata in R² di una curva regolare (Dim*). Baricentro di un corpo piano. Teorema di Pappo. Dominio regolare. Formule di Gauss-Green (Dim). Teorema della divergenza in R² (Dim). Teorema di Stokes in R² (Dim). Condizione sufficiente per le forme differenziali esatte (Dim). Cenno agli integrali tripli. Dominio normale rispetto ai piani cartesiani. Teorema di Fubini per integrali tripli. Baricentro di un corpo solido. Trasformazioni regolari di R³. Teorema di cambiamento di variabile negli integrali tripli: Coordinate cilindriche, sferiche.

Superfici. Condizione necessaria per curve regolari (Dim*). Esistenza piano tangente. Superfici di rotazione. // Teorema di Pap. Superfici coniche e sferiche. Integrali superficiali e le loro proprietà. Baricentro di una superficie. Calcolo di un flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Teorema della Divergenza in R³. Teorema di Stokes in R³.

Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza uniforme. Teorema sull’inversione dei limiti (Dim*). Teorema sulla continuità dei limiti. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Passaggio al limite sotto il segno di derivata. Serie di funzioni. Definizioni di convergenza puntuale, uniforme, totale. Serie di potenze: Lemma (Dim*). Raggio di convergenza. Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di D’Alembert. Serie di Taylor. Funzione sviluppabile in serie di Taylor. Esempio di funzione non sviluppabile. Condizione sufficiente per la sviluppabilità. Sviluppabilità di e^x.

INSIEME CONNESSO

Sia A ⊆ ℝ^m con A aperto, si dice che è CONNESSO se e solo se NON ESISTONO due aperti A₁, A₂ NON VUOTI e DISGIUNTI: A₁ ∪ A₂ = A

Sia A ⊆ ℝ^m con A chiuso, esso è ALLORA CONNESSO se:

A chiuso e connesso ⇔ ∀C₁, C₂ chiusi, non vuoti e disgiunti: ∃ C₂ ∪ C₂ ⊇ A

CONNESSIONE SUFFICIENTE

Sia A ⊆ ℝ ⁿ se V P Q ∈ A, ∃ un insieme connesso contenente P e Q e contenuto

TEOREMA 1Per mezzi gli insiemi connessi sono già intersezioni

TEOREMA 2Per mezzi un arco di un’enunciato numero come in CONNESSO

DEFINIZIONE

Dicesi: POLIGONALE di vertici {P₁, P_n} la unione di un numero finito di segmenti a due a due con al più un estremo in comune

TEOREMA 3Se V P Q ∈ A espressione di termini. P Q siano punti di A, allora A è un connesso

Inoltre possiamo dire che una funzione vettoriale è derivabile e è retta se è capace funzione componente, è derivabile e risulta che

X₂(t₀) −...− Xⁿ(t₀)

Quindi disegnare una curva significa disegnare una funzione:

Y: t ∈ [a, b] ⊃ D → [0, 1] ⊂ Rⁿ

CURVA CHIUSA (X è una curva chiusa) ⟺ (∃ t ∈ [0, 1] δ(t₀)

CURVA APERTA: (X è aperta) ⟺ δ(0, a) ≠ δ(b, t)

CURVA SEMPLICE: δ X ∈ Im(t_o),

LEMNISCATA DI BERNOULLI

γ : t ∈ [0, 2π] ⊃ D → [0, 1]

Tutto ciò abbiamo definito facendo variabile t nell'intervallo di definizione

CHIUSA MA NON SEMPLICE

Una curva in Rⁿ due variabili quando è possibile calcolare la lunghezza della curva ma nel particolare ancora ci è