Appunti Teorici di Metodi Matematici per l'Ingegneria 9 CFU

ACCADEMIA AERONAUTICA

UNIVERSITÀ DI NAPOLI “FEDERICO II”

Corso di laurea triennale in Ingegneria Elettronica

Programma del corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria (9 CFU) a.a. 2019/2020 Prof. Vincenzo Ferone

Numeri Complessi.

Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell’argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà, derivazione termine a termine.

Funzioni Analitiche.

Olomorfia e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formule di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Classificazione delle singolarità isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.

Integrazione.

Cenni sulla misura e sull’integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (s.d.) Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili.

Residui.

Teorema dei residui. Calcolo di residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici.

Equazioni Alle Differenze.

Z-trasformata: definizione e proprietà. Z-antitrasformata. Successioni definite per ricorrenza.

Segnali.

Generalità sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione.

Trasformazione di Laplace.

Definizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticità e comportamento all’infinito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata (s.d.). Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari.

Serie di Fourier.

Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier: convergenza semplice e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell'energia (s.d.).

Trasformazione di Fourier.

Definizione di trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata di Fourier. Antitrasformata.

Distribuzioni.

Funzionali lineari. Limiti nel senso delle distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni. Regole di derivazione. Esempi notevoli: δ di Dirac, v.p. 1/t. Convoluzione di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier della δ di Dirac, della costante, del treno di impulsi, del gradino. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Trasformata di Laplace di distribuzioni.

Equazioni Differenziali Ordinarie e Alle Derivate Parziali.

Problemi al limite per equazioni differenziali omogenee. Problemi di Sturm-Liouville. Autovalori, autofunzioni e loro proprietà (s.d.). La trasformata di Fourier e l'equazione del calore. L’equazione delle onde: corda vibrante e membrana elastica. Il metodo della separazione delle variabili nel caso del quadrato e del cerchio. Equazione di Bessel. Alcune proprietà delle funzioni di Bessel di prima specie. Zerivazione, ortogonalità (s.d.).

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.

s.d.= senza dimostrazione

Testi Consigliati

• G.C. Barozzi, Matematica per l’Ingegneria dell’Informazione, Zanichelli.
• M. Codegone, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Zanichelli.
• M. Codegone - M. Calanchi, Metodi Matematici per l’Ingegneria, Pitagora.

Impor t diciamo che la suc di funzioni tende u converge uniformemente in X ad u funzioni fcn x se

∀ε >0 ∃n ∈ ℕ nm ∀n ∃ n∣fn(l) - fcn∣ < ε ∀x∈Ẍ

Proposizione

 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

∫fn(x) suc di funzioni continua in [a,b], interverla fn→f unif.

lim ∫_a^b fn(x)dx = ∫_a^b fix dx anno a lim

    Criterio di conv di cauchy (conv. uniforme)

Proposizione

1. Ragioniamo dimostrare che

sup  

D.M.I

5. si _c ^z ₁ ^z [₁] _f (z)

Possiamo scrivere:

a ₂ [z ¹ - z₂]

∫ 1 [_z - z₀]

= [t ^{(z - 1)}]

_ [1 - (z - z_{0 -}) = f(z)

1 [z - z₀]

1 [z-z₀]

[_z- [z _-0]m].

Þ²

∫ [z - z₀]

[](z₀-z₀]

= [⨯ _m