Analisi matematica 2, appunti ed esercitazioni

Name: Analisi matematica 2, appunti ed esercitazioni
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Author: Chiara 1995

Revisionato il 16/06/2026

di Chiara 1995

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Corso da 9 cfu del primo semestre del secondo anno.Argomenti trattati: classificazione delle quadriche, curve parametrizzate, curve semplici, curve chiuse, curve regolari, lunghezza di una …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Dambrosio Walter

Università Università degli studi di Torino

A.A. 2015-2016

160 pagine

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Coniche e quadriche

Equazioni delle coniche

Coniche: q₁₁x² + q₂₂y² + 2q₁₂xy + 2q₁₃x + 2q₂₃y + q₃₃ = 0

Equazioni delle quadriche

Quadriche: siamo in ℝ³, q₁₁x² + q₂₂y² + q₃₃z² + 2q₁₃xz + 2q₁₂xy + 2q₂₃yz + 2q₁x + 2q₂y + 2q₃z + q₀₀ = 0

Classificazione

Possiamo tracciare due cose, in tratto, attraverso le forme coniche.

Esempio

x² / q₁² + y² / q₂² + z² / q₃² = 1 ⇒ ellisse

Poi possiamo intersecare le forme coniche con dei piani e vedere cosa viene fuori.

Esempio

z = h

x² / q₂² − y² / q₂² = 1 − h² / q₃² ⇒ ellisse

Studio della matrice associata

A = ☐ q₀₀ q₀₁ q₀₂ q₀₃ ⊝ 0 q₁₂ q₁₂ q₁₃ ☐ q q₂₂ q₂₃ ☐ c c q₃₃ ⊝/p>

Usando X = ☓ x y z ⊝ allora la quadriche è della forma (x y z) A ☓ x y z ⊝ = 0 oppure t X A X = 0

Ao è la seguente matrice A_S = ☐ q₁₁ q₁₂ q₁₃ ☐ q₂₁ q₂₂ q₂₃ ☐ q₂₁ q₂₃ q₃₃ ☐

Definizione generale

Consideriamo ℝ, ℂ (ℝ come reale, ℂ come complesso) sia Kⁿ l'n-spazio numerico sulla def Una funzione polinomiale quadratica è una funzione f:Kⁿ → K tale che esiste

Definizione delle coniche e quadriche

Coniche: q₁₁x² + q₂₂y² + 2q₁₂xy + 2q₁₃x + 2q₂₃y + q₃₃ = 0

Quadriche: siano in R³ q₁₁x² + q₂₂y² + q₃₃z² + 2q₁₃xz + 2q₁₂xy + 2q₂₃yz + 2q₁x + 2q₂y + 2q₃z + q₀₀ = 0

Classificazione delle quadriche

Possiamo trovare di due cose, al tratto attraverso le forme coniche.

Esempio

x² / q₁² + y² / q₂² + z² / q₃² = 1 ⇒ ellissoide

Poi possiamo intersecare le forme canoniche con dei piani e vedere cosa viene fuori.

Esempio

z = h

x² / q₂² - y² / q₂² = 1 - h² / q₃² ⇒ ellisse

Studio della matrice associata

A = | q₀₀ q₀₁ q₀₂ q₀₃ || 0 q₁₂ q₁₂ q₁₃ || a q q₂₂ q₂₃ || c c q₃₃ |

Usando X = | x | | y | | z | allora la quadrica è della forma (x y z) A | x | = 0 oppure tXAX = 0 | y || z |

Abbiamo la seguente matrice A_S: | q₁₁ q₁₂ q₁₃ || q₁₂ q₂₂ q₂₃ || q₂₁ q₂₃ q₃₃ |

Definizione generale

Consideriamo K = R, C (R campo reale, campo complesso) Sia Kⁿ è n-spazio numerico sulle def. Una funzione polinomiale quadratica è una funzione f: Kⁿ ⇒ K tale che assume una forma quadratica.

Definizione di quartica

Def. 2: Una quatrica in ℝⁿ è un insieme Q di ℝⁿ del tipo Q := {x ∈ ℝⁿ | f(x) = 0} dove f è una funzione polinomiale quadratica

f(x, y, z) = 2x² + 3y² + z² + 2z + 2xy - 4x + 6y + 2z - 3 = 0

Classificazione euclidea

Una quatrica Q di ℝ³ è congruente ad una e una sola delle seguenti:

A) Ellissoide reale: x²/a₁² + y²/a₂² + z²/a₃² = 1 = 0
B) Ellissoide a punti non reali: x²/a₁² + y²/a₂² + z²/a₃² ≠ 1 = 0
C) Iperboloide iperbolico (a una falda): x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
D) Iperboloide ellittico (a due falde): -x²/a² + y²/b²

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