Analisi matematica 2, appunti ed esercitazioni

CONICHE

q₁₁x² + q₂₂y² + 2q₁₂xy + 2q₁₃x + 2q₂₃y + q₃₃ = 0

QUADRATICHE

siamo in R³

q₁₁x² + q₂₂y² + q₃₃z² + 2q₁₃xz + 2q₁₂xy + 2q₂₃yz +

2q₁x + 2q₂y + 2q₃z + q_oo = 0

Classificazione

• Possiamo trattare di due casi in tratto attraverso le forme coniche

ESEMPIO

x²/q₁² + y²/q₂² + z²/q₃² = 1 → ellisse

• poi possiamo intersecare le forme coniche con dei piani e vedere cosa viene fuori.

ESEMPIO

z = h

x²/q₂² + y²/q₂² = 1 - h²/q₃² → ellisse

• Studiamo la matrice associata

A =

[q_oo q_o1 q_o2 q_o3]

[0 q₁₂ q₁₂ q₁₃]

[a q q₂₂ q₂₃]

[c o o q₃₃]

Usando X = [x y z] altera la quadrica è della forma

[x y z] A [x y z]^t = 0 oppure t X A X = 0

• Associare matrice A_s = [q₁₁ q₁₂ q₁₃]
• [q₁₂ q₂₂ q₂₃]
• [q₁₃ q₂₃ q₃₃]

Definizione Generale

• Consideriamo K = R, C ∪ CR come reale, (campo complesso) Si ∼ Kⁿ n-spazio numerico su K

• Def Una funzione polinomiale quadratica è una funzione f: Kⁿ → K tuale da scrivere una forma quadratica

9.1k - 1k^t ... forma lineare l . 1k + y - 1k ... una costante c ∈ 1k con f(x) = q(x) + l(c) x + c

Def. 2 Una quadrica indirfa 1k e il sottinsieme Q di 1k^f del tipo Q = 1⁄2 x ∈ 1k^f/ dove f e' una funzione polinomiale quadratica

f (x, y, z): 2x² + 3y² + z² + 2x y - 4x + 6y + 1z2 - 3 = 0

forma quadratica

forma mista

Due funzioni f,g sono proprionomale quaónào ↑ una scalare a ∈ 1k \{0}, tale che g = a f (=relazione di equivalenza)

[f] = classe di equivalenza della quadrica 'idea omolteu in Q ∈ 1kⁿ]

Classificazione euclidea

Una quadrica Q a E³ è importante ordina e uno sola delle seguenti

1. ellissoide reale x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 ≠ 0
2. ellissoide a punti non reali x²/a² + y²/b² + z²/a² ≠ 1 = 0
3. iperboloide iperbolico (a una faccia) x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
4. iperboloide ellittico (a due facce) -x²/a² + y²/b² - z²/c² + 1 = 0
5. paraboloide ellittico x²/a² + y²/b² = z/c
6. paraboloide iperbolico x²/a² - y²/b² = z/c
7. uno con un unico punto reale x²/a² + y²/b² + z²/c² = 0

r(Q) = 4

r(Q) = 3

Grafici di funzioni

^y_A = β(x)

f : [a, b] → ℝ commu asccio la cuva ai parametrizione. r : [a, b] → 1R² : ↆ t = t, ί = f(t)

r : ([a, b]) → 1 (x, y) ϵ 1R² ϵ ( t ϵ (a, b), r̅′(t) = (x, y)  = (x, f(x)), x ϵ (a, b) ) = graϰio al f

I grafici di funzioni sono le CURVE CARTESIANE

ATTENZIONE: data una curva parametrizzata con parametrizzazione ([a, b]) ϵ ℝ² il grafico al r ὕ e l'insieme delle coppie ( t, ί(t) ) ⇒ { (t, ί ; ᾶ ; ί) ϵ ( a, b ] 乚R² ί = r̅(t), t ϵ (a, b)} ϵ (β^α+Ƶ)

Una CURVA PARAMETRIZZATA r : [a, b] → ℝ² si dice clusa se r̅(a) = r̅(b) Si dice semmico se tₐ, ₐ ] 乚ℝ² è interiora

r̅(t) = cos t ₁ sin 2t t ϵ (a, 2π)

Le due curve hanno lo stesso sostagno

Data una curva parametrizzata r̅[a, b] → ℝ² supponsimo che f : [c, d] → [a, b] che sia una biezione connua. a = f(c) e b = f(d) Alba r̅ᵧ = r̅ ᴥ al f : [c, d) → ℝ² si dice parametrizzazione equivalente al r̅

Oss : f : [c, d) → [a, b] è una furnue crescente per u fatto che è una lezone - Eltra che f⁻¹ : [a, b] → [c, d] è commu a cresciente

Nel caso in cui due parametrizziani sano equivalenti o monu al condizneiatorio alicato r̅ᵧ ₐ ἐ non cno coscòti

Se _r è derivabile uno si ha comunque in contatto...

lim_t→t0 ||r(t) - r(t₀)|| / |t-t₀| = 0

del momento che. ||r(t) - r(t₀)|| = ||r(t₀) + (t-t₀)r'(t₀)...||

Osservazione d/dt r(t) = 0 ∀t d/dt ||r(t)||² = 2u(t) • u'(t)

Proprietà

Se una _t [a,b] = _r continua

1. La funzione R(t) = ∫ r(t) dt è in classe L¹
2. ∫_a^b r(t) dt = r(b) - r(a) ∀t → ∈ □¹

Lunghezza di una curva

• Altra degli insiemi semplici
• Approssimazioni

Concetti primitivi

1. Lunghezza dei segmenti

   AB = |x-y| = √∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)²

2. Fra tutte le curve che connettono 2 punti A e B, allora il segmento è quello di lunghezza minima.
3. Definiamo L(⋃ sovrapposizioni) un insieme di somme/unione due curve:
   • γ₁: [a₁, b₁] → R⁴ continua
   • γ₂: [a₂, b₂] → R⁴ continua
   Supponiamo che r₁(b₁) = r₂(a₂) = ovvero che il punto finale della prima curva coincide con il punto iniziale della seconda:
   • γ₁ ⋃ γ₂
   • r: [a₁, b₁ + (b₂ - a₂)] → R⁴
     • r(t) = { r₁(t) , t ∈ [a₁, b₁]
     • r₂(a₂t