Appunti Teorici di Algebra e Geometria 9 CFU

Vettori

Sistema di vettori

• Linearmente indipendente: Dato un sistema di vettori _{y1, ..., ym}, questo si dice linearmente indipendente se l’unica combinazione lineare che li non nullica e i vettori è quella con i valori tutti nulli. _nulle
• Linearmente dipendente: Un sistema di vettori _{x1, ..., xm} di _Rⁿ si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare di valori non tutti nulli (con almeno uno scalare non nullo) che dà il vettore nullo.

A seconda dell’ordine del sistema di vettori che prendiamo in considerazione, possiamo effettuare delle differenti considerazioni:

• Singletop = ovvero un sistema di vettori con ordine inferiore a 1. Quindi consideriamo un sistema di vettori S = {_v1, ..., _vi} esso è linearmente dipendente _se ^v = 0. Infatti, se ^v = 0 allora L^v = 0 (ma se ^v ≠0 allora L^v ≠0) _=> => dunque: quindi per definizione è linearmente indipendente.
• Due vettori = Dato un sistema di vettori S = {_{u, v}} _{per Rⁿ}, esso è linearmente dipendente _se i due vettori sono proporzionali fra loro.
  • Dim: S = {_u, _v} _{per Rⁿ}, e _{λ per} R s.t. _u = λ_v dunque deriva che _u - ^v = _O

• CASO GENERALE ovvero |S| > 2.

VETTORE NULLO. Sia S = {v₁, v₂, ... v_n} e se v₁ = 0 allora esisteremo S è linearmente dipendente.

DIM.

Supponiamo che v₁ = 0, quindi possiamo scrivere S come combinazione lineare:

l v₁ + d v₂ t l₂ v₃ t l v_n

Ma sappiamo che lv₁ = 0, poiché v₁ = 0 e dunque da ciò che abbiamo detto pa skeleton allora l ≠ 0. Dunque pa def. possiamo dire che S = {v₁, v₂, ... v_n} è linearmente dipendente.

VETTORI UGUALI. Sia S = {v₁, v₂, ... v_n} se due o più vettori sono uguali fra loro si diceva S è linearmente dipendente.

DIM.

S = S = {v₁, v₂, ..., v_n} e in particolare v₂ = v₂ quindi possiamo dire che la combinazione lineare di S è la seguente

lv₁ + d v₁ + d v₂ t d v₃ + ld v_n

lo scalare l+d ≠ 0, ma quando dv₂ = l. Esiste quindi una combinazione lineare un elemento uno scalare diverso da zero che fa restituire il vettore nullo.

VETTORI PROPORZIONALI. Sia S = {v₁, v₂, ... v_n} in Rⁿ se due o piu vettori sono proporzionali allora l'insieme è linearmente dipendente. c.v.d.

DIM.

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} con v₁ = d v₂ quindi la sua combinazione lineare è la seguente

l d t v₁ + t v₂ + l v_n

Con quando elemento uno scalare diverso da zero che ci restituise il vettore nullo.

PRODOTTO SCALARE NUMERICO STANDARD

Definiamo ora un operatore fondamentale che gode delle seguenti proprietà:

• Dominio: ℝⁿ x ℝⁿ → ℝ
• Simbolo: <x,y>
• Simmetria: <x,y>=<y,x>
• Associativa: <x+x,y>=<x,y>+<z,y>
• Distributiva: x<x,y>=x<y,x>=<x,y>

Siano x={x₁,x₂,...,x_n} e y={y₁,y₂,...,y_n} il loro prodotto scalare che è il seguente:

<x,y>=x₁y₁+x₂y₂+⋯+x_ny_m

La lunghezza o il modulo, di un vettore è uguale al prodotto scalare del vettore per se stesso.

|x| = √<x,x>

In particolare:

1. Un vettore con lunghezza zero è il vettore nullo
2. I vettori unitari hanno tutte lunghezze uguale a 1

VETTORI ORTOGONALI

Due sistemi di vettori o due vettori si dicono perpendicolari se il loro prodotto scalare vale zero.

1. Il vettore nullo è ortogonale a qualsiasi vettore preso in considerazione.

Costruire l'insieme di tutti i vettori perpendicolari ad un dato vettore, significa costruire l'insieme x^⊥ (X_PERP).

M E T O D O

DEF. Sottomatrice: è una matrice ottenuta selezionando un numero finito di righe e di colonne della matrice di partenza.

DEF. Minore: è ogni sottomatrice di A∈K^m∙n, tale che il minore sia una sottomatrice quadrata di ordine K.

Il secondo metodo serve per calcolare il rango e di determinare anche un sistema di vettori minimamente linea dipendente.

T E O R E M A D E G L I O R L A T I

Sia A∈K^m∙n. Allora ϱA=p ⟺

• Esiste un minore di A da ordine p con det≠0.
• Non si può più ottenere di suo maggiore sono tutti nulli. Minore con ordine p.

Se elimino rispetto a righe o colonne già appartenenti al minore si avrà una matrice con det=0 che non è significativa.

M I N O R E F O N D A M E N T A L E: è un minore di ordine massimo con det≠0.

E S E M P I O

A=_[ ^{0₁₁ 1₀₀} _1₁₀ ^1₀₁ _] detA=2 → ϱA=3

B_3,2=_[ ^{2₁₀ 0₃₁ 1₃} _0₃₁ ^1₀₂ _] → < ϱB ≤ 3

|_3,2|=|^{2₁ 1₀} _| ^3₄ | = 2⋅(3-2)=2

Quindi ϱA=3

Consideriamo la forma compatta per righe e per colonne di una matrice,

in queste rappresentazioni le righe e le colonne sono vettori, quindi

possiamo definire il:

RANGO PER RIGHE

ovvero il numero di righe

che sono fra loro indipendenti.

RANGO PER COLONNE

ovvero il numero di colonne

che sono fra loro indipendenti.

DEF.

Il RANGO DI UNA MATRICE è il numero massimo di righe o

di colonne linearmente indipendenti della matrice stessa.

Ne segue che ρ(A) ≤ min {m, n}.

#1 METODO.

Riduciamo la matrice a gradini e contiamo i pivot, il numero dei

pivot della matrice a gradini coincide con il rango della matrice.

Se ρ(A) = ρ(ridotta a gradini) poiché stiamo effettuando delle operazioni

elementari sulle righe, ovvero su sistemi di vettori, che conservano il

numero di vett. lin. ind.

PROP.

Se S ⊂ K^{m x n}, quadrata, allora il rango di S è MASSIMO se

tutte le righe e tutte le colonne sono indipendenti. Ovvero possiamo

anche affermare che det A ≠ 0.

Un sistema Σ: Ax = B si dice omogeneo se la colonna dei termini noti e' composta da soli zeri. Inoltre sappiamo che un sistema omogeneo e' sempre compatibile poiche' ha sempre almeno la n-pla nulla come soluzione!

Primo criterio di compatibilita'

Il sistema Σ: Ax = B e' compatibile se la colonna dei termini noti dipende linearmente da almeno una colonna della matrice incompleta.

Dim. B ∈ L(a₁, a₂, ..., a_n)

Prendiamo in considerazione una soluzione di x, ovvero y che e' la n-pla ordinata (y₁, y₂, ..., y_n). Usando la forma vettoriale del sistema possiamo scrivere che

−a₁y₁ + a₂y₂ + a₃y₃ + ... + a_ny_n = B

Quindi ho scritto il sistema di vettori B, ovvero l'n-pla B, come combinazione lineare dei vettori a₁, a₂, ..., a_n, con pesi uguali y (y₁, y₂, y_n uguali). Pertanto, per def. sappiamo che B ∈ L(a₁, a₂, a_n).

Secondo criterio di compatibilita' / Teorema di Rouche' - Capelli

Un sistema di equazioni lineari Σ: Ax = B e' compatibile se vale la seguente relazione:

rg A = rg(A|B)

Dim

Scriviamo sottosforma di compatta per colonne la matrice completa e la matrice incompleta.

C(A) = {a₁, a₂, a_n, ..., a_nγ

C(A|B) = {a₁, a₂, a_n, ..., a_n, b

Ricordando la definizione di rango, sappiamo che il rango di A e' il numero massimo di colonne lin. ind. ma per il primo criterio di compatibilita' sappiamo che b ∈ L(C(A)), quindi per definizione non varia il suo rango.

Dunque rg A = rg(A|B).