Appunti Teorici di Algebra e Geometria 9 CFU

VETTORI

SISTEMA DI VETTORI

• LINEARMENTE INDIPENDENTE: Dato un sistema di vettori {₁, ..., } questo si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione di scalari di con cui sono tutti nulli.
• LINEARMENTE DIPENDENTE: Un sistema di vettori {₁, ..., } di ⁿ si dice lineamente dipendente se esiste una combinazione lineare di scalari non tutti nulli (con almeno uno scalare non nullo) che a dare il vettore nullo.

A secondo dell'ordine del sistema di vettori che prendiamo in considerazione, possiamo effettuare delle differenti considerazioni:

• SINGLETON: ovvero un sistema di vettori con ordine uguale a 1. Quindi considerando un sistema di vettori S = {}. Infatti, se = 0 allora = 0 ma se ≠ 0 allora ≠ 0 quindi per definizione è linearmente indipendente.
• DUE VETTORI: Dato un sistema di vettori S = {, } ∈ ⁿ esso è linearmente dipendente se i due vettori sono proporzionali fra loro.

S = {, } ⊆ ⁿ e ∃ ∈ , ∃ =

domini deviare che = = 0 ma lo scalare che è associato a ≠ 0 quindi per def apponiamo che S è lineamente dipendente c.v.d.

VETTORI

Sistema di vettori

• LINEARMENTE INDIPENDENTE: Dato un sistema di vettori {y₁, ..., y_m} questo si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione di scalari che i restituisce il vettore nullo e quella con gli scalari tutti nulli.
• LINEARMENTE DIPENDENTE: Un sistema di vettori {x₁, ..., x_m} di Rⁿ si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare di scalari non tutti nulli (con almeno uno scalare non nullo) che da' il vettore nullo.

A seconda dell'ordine del sistema di vettori che prendiamo in considerazione, possiamo effettuare delle differenti considerazioni:

• SIGLETON: ovvero un sistema di vettori con ordine ruguole 1. Quindi consideriamo un sistema di vettori S = {y }, esso e' linearmente dipendente U = 0. Infatti se U = 0 allora U = 0 ma se U (non chiaro) allora U > 0 = 0 => d = 0; quindi per definizione e' linearmente indipendente.
• DUE VETTORI: Dato un sistema di vettori S = {u, v} _Rⁿ esso e' linearmente dipendente se i due vettori sono proporzionali fra loro.

S = {u, v} _Rⁿ e ∃λ ∈ R ∴ U = λV

... dunque deve esistere che

U - λ V = 0

Ma lo scalare che è associato a U ≠ 0 quindi per (DEF) sappiamo che S è linearmente dipendente ...

• CASO GENERALE: ovvero |S| > 2
• VETTORE NULLO: Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} e se v₁ = 0 allora il sistema S è linearmente dipendente

DIM.

Supponiamo che v₁ = 0 quindi possiamo scrivere S come combinazione lineare:

l v₁ + d₁ l z + d₂ v₂ + ... + l o v_n

Ma sappiamo che dv₁ = 0 poiché vf = 0 e dunque da ciò che abbiamo detto può scilcoliotto alcuni d ↔ 0. Dunque per def. possiamo dire che S={ v_k v₂ v₁ v_n } è linearmente dipendente.

• VETTORI UGUALI: Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} se due o piu' vettori sono uguali fra loro, allora S é linearmente dipendente.

DIM.

Sia S={ v₁, v₂, ..., v_n } e in particolare v₂ = v₂ quindi possimo dire che the combinazione lineare di S si va regherà:

DV_i+d₁ v₂ + d v₃ = 1+ b₁ v_n

Lo valeale d₁ = o ma quando b₁ = l. Esiste quindi una combinazione lineare in almeno uno scalare diverso da zero che a returnire le vettreo nullo.

cv.d.

• VETTORI PROPORZIONALI: Sia S={ v₁, v₂, ..., v_n }⊆ Rⁿ se due o piu vettori sono proporzionali all'ora il sistema è linearmente dipendente.

DIM.

Sia S={ v₁, v₂, ..., v_n } con v₁=d*2 quindi ha una combinazione lineare che va regolare:

l ₁ z + b₁ v₂ + b₁ k v_n

Con questo almeno uno scalare diverso da zero che a restituire il vettore nullo.

Due o più vettori in relazione fra loro

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} se due o più vettori sono in relazione fra loro, allora S è un sistema linearmente dipendente.

Dim.

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} con v₁