Appunti Teorici di Algebra e Geometria 9 CFU

Vettorisistema di vettori

Linearmente indipendente

Dato un sistema di vettori {₁, ..., } questo si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione di scalari di con cui sono tutti nulli.

Linearmente dipendente

Un sistema di vettori {₁, ..., } di ⁿ si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare di scalari non tutti nulli (con almeno uno scalare non nullo) che a dare il vettore nullo.

A seconda dell'ordine del sistema di vettori che prendiamo in considerazione, possiamo effettuare delle differenti considerazioni:

Singleton

Ovvero un sistema di vettori con ordine uguale a 1. Quindi considerando un sistema di vettori S = {}. Infatti, se = 0 allora = 0 ma se ≠ 0 allora ≠ 0 quindi per definizione è linearmente indipendente.

Due vettori

Dato un sistema di vettori S = {, } ∈ ⁿ esso è linearmente dipendente se i due vettori sono proporzionali fra loro.

S = {, } ⊆ ⁿ e ∃ ∈ , ∃ = domini deviare che = = 0 ma lo scalare che è associato a ≠ 0 quindi per def apponiamo che S è linearmente dipendente c.v.d.

Vettorisistema di vettori

Linearmente indipendente

Dato un sistema di vettori {y₁, ..., y_m} questo si dice linearmente indipendente se l'unica combinazione di scalari che i restituisce il vettore nullo e quella con gli scalari tutti nulli.

Linearmente dipendente

Un sistema di vettori {x₁, ..., x_m} di Rⁿ si dice linearmente dipendente se esiste una combinazione lineare di scalari non tutti nulli (con almeno uno scalare non nullo) che dà il vettore nullo.

A seconda dell'ordine del sistema di vettori che prendiamo in considerazione, possiamo effettuare delle differenti considerazioni:

Sigleton

Ovvero un sistema di vettori con ordine ruguole 1. Quindi consideriamo un sistema di vettori S = {y}, esso è linearmente dipendente U = 0. Infatti se U = 0 allora U = 0 ma se U (non chiaro) allora U > 0 = 0 => d = 0; quindi per definizione è linearmente indipendente.

Due vettori

Dato un sistema di vettori S = {u, v} _Rⁿ esso è linearmente dipendente se i due vettori sono proporzionali fra loro.

S = {u, v} _Rⁿ e ∃λ ∈ R ∴ U = λV... dunque deve esistere che U - λ V = 0.

Ma lo scalare che è associato a U ≠ 0 quindi per (DEF) sappiamo che S è linearmente dipendente ...

Caso generale

Ovvero |S| > 2.

Vettore nullo

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} e se v₁ = 0 allora il sistema S è linearmente dipendente.

DIM. Supponiamo che v₁ = 0 quindi possiamo scrivere S come combinazione lineare: l v₁ + d₁ l z + d₂ v₂ + ... + l o v_n.

Ma sappiamo che dv₁ = 0 poiché vf = 0 e dunque da ciò che abbiamo detto può scilcoliotto alcuni d ↔ 0. Dunque per def. possiamo dire che S = {v_k v₂ v₁ v_n} è linearmente dipendente.

Vettori uguali

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} se due o più vettori sono uguali fra loro, allora S é linearmente dipendente.

DIM. Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} e in particolare v₂ = v₂ quindi possimo dire che the combinazione lineare di S si va regherà: DV_i + d₁ v₂ + d v₃ = 1 + b₁ v_n.

Lo valeale d₁ = o ma quando b₁ = l. Esiste quindi una combinazione lineare in almeno uno scalare diverso da zero che a returnire le vettreo nullo. c.v.d.

Vettori proporzionali

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} ⊆ Rⁿ se due o più vettori sono proporzionali all'ora il sistema è linearmente dipendente.

DIM. Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} con v₁ = d*2 quindi ha una combinazione lineare che va regolare: l ₁ z + b₁ v₂ + b₁ k v_n.

Con questo almeno uno scalare diverso da zero che a restituire il vettore nullo.

Due o più vettori in relazione fra loro

Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} se due o più vettori sono in relazione fra loro, allora S è un sistema linearmente dipendente.

Dim. Sia S = {v₁, v₂, ..., v_n} con v₁