Appunti di algebra e geometria (9)

Lezione 12 - 02/11/18 - 10:15 e 13:00

Definizione

Uno spazio vettoriale \( V \) si dice di dimensione finita se ammette una base, e si scrive:

\(\text{dim } V = k < +\infty\)

Osservazione

Ricordo che una base di uno spazio vettoriale \( V \) è un insieme finito di generatori \( LI \).

Se \( V \) è lo spazio dei vettori in \(\mathbb{R}^3\), ci sono 3 vettori LI e se non complanari, che formano una base.

Base Canonica

Sia \(\mathbb{R}^3\)

• \( l_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \) , \( l_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) , \( l_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \) → base canonica

Sia \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3\) ⇨ \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{3} x_i l_i\)

\(x_i\) con \(i = 1, 2, 3\)

Consideriamo ora \(\mathbb{R}^m\) una base canonica:

• \( l_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \) , \( l_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \) , \( l_3 \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \) ... , \( l_m \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \)

Se \(\mathbb{R}^m\) ⇨ \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} + ... + x_m \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} = \sum_{i=1}^{m} x_i l_i\)

Notiamo che le coordinate rispetto alla base canonica sono \(\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}\)

Varietà le matrici:

Base canonica \( l_{\mathbb{R}^2, \mathbb{R}}\)

• \( l_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) , \( l_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
• \( l_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) , \( l_{22} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)

Quindi:

Analogamente si unire le base canoniche di M_m,n(ℝ)

Base canonica: {λ_i,j : 1, ..., n}

i = 1, ..., n

j = 1, ..., m

NOTA

l_ij è una matrice m × m con voci fuori zero, tranne quella di posto “ij", che è 1

Esempi

ℝ[x] < r ⟹ { p ∈ ℝ : deg p < r }

Base per ℝ[x] < r ⟹ { 1, x, ..., x^r-1 }

(concetto di dimensione)

TEORIA

Sia V uno spazii vettoriale di dimensione finita dim V < 2d. Allora tute le basi di V hanno la stessa cardinalità, cioè lo stesso numero di elementi.

DEFINIZIONE

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita, la dimensione di V è la cardinalità di qualsiasi sua base.

ESEMPI

1. V spazio dei vettori dim V = 3 {vettore}
   • <3 non possono essere generati da una base
   • >3 non possono essere LI
2. ℝ^m ⟹ dim ℝ^m = m
3. M_m,n(ℝ) ⟹ dim M_m,n(ℝ) = m·n
4. • ℝ[x] < r ⟹ dim ℝ[x] < r = r
   • se r = 2 ⟹ ℝ[x] = {1, x, x²}

f iniettiva <=> Imf = W

Vediamo f : = Imf W:

Sia w W f iniettiva implica che esiste v V t.c. f(v) = w

quindi ogni w W appartiene a Imf, quindi:

W Imf

insieme a che Imf W di conseguenza:

W = Imf

Viceversa se Imf = W allora f è iniettiva per definizione di Imf

TEOREMA

Sia f : V W un'applicazione lineare dello spazio vettoriale di n dimensione di V finito e dello spazio vettoriale di W. Allora:

dim Kerf + dim Imf = dim V

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo Kerf, per definizione è un sottospazio di V

Prendiamo una base del nucleo di f:

{v₂, ..., v_nKerf} V

= { x ³_-1 + y ^-2₀ + z ¹₂ : x,y,z ∈ ℝ }

quindi

Im Lᵥ = Sᵍᵉn {(³ _-1), (^-2 ₁), (¹ _-2)}

(⁴ _-2) ∉ Im Lᵥ

quindi

A (^x _y ^z) = (⁴ _-2) = x (³ _-1) + y (^-2 ₁) + z (¹ _-2) = (⁴ _-2)

{ 3x - 2y + z = 4

x + z = -2

-x - y - 2z = 3

} ∉ Im Lᵥ ⟺ il sistema lineare omogeneo ha soluzioni

{ x = -2 - z

2 + z = 3

} non ha soluzioni => (⁴ _-2) ∉ Im Lᵥ ma (^-4 _-2) ∈ Im Lᵥ