Appunti teoria di analisi II

Analisi 1: Cap 2

Curve nel piano/nello spazio

f: R ⊃ I → R^m, t ∈ I, f ∈ R^m
lim_{t → t0} f(t) = l (lim → (f(t) - l) = 0)
r(t) = (r₁(t), r₂(t), ..., r_m(t)) → lim_{t → t0} r_i(t) = l_i ∀i = 1...m

Din: |(r(t)⁰ - C)|² ≤ (f(t) - l)² = ∑_i(r_i(t) - e_i)²

Definizione di arco di curva

r: I ⊃ I → R^m continuo si dice arco di curva (le sue componenti sono continue). Curve semplici se I mangia a f piano un piano contiene il suo sostegno.

Parametrizzazione e derivata

s: I → R^m continuo.
t ∈ I, r'(a) = lim_{h → 0} (r(t + h) - r(t)) / h
r'(t) = (r₁', r₂', ..., r_m')
c ∈ C(I) se c continua, derivabile e r' continua su I (analogo: C¹(I))

Definizione di curva regolare

c: I → R^m ∈ C¹(I), r'(t) ≠ 0 ∀t ∈ I, arco di curva regolare.

Versore tangente

T = (r'(t)) / |r'(t)|

Curva regolare a tratti

Definizione: regolare a tratti se I può essere diviso in n parti infinite ma con cr è regolare.
r₁(a, b) → R^m, r₂(t) + ∊ (a, b) = r₂(b) → ∊ (a, b)
Una curva regolare a tratti è l'unione di n curve regolari (r₁(b) = r₂(b))

Teoria e integrali

TH u, v: R ⊃ I → R^m derivabili: u'(t), v'(t) → u' * v' ... solite ...
f: R → R
Integrale ∫r'(t) ⋅ dt = (∫h_a^b f(t)ⁱ dt)^{i = 1... m} (se r continua, integrabile)

Teorema fondamentale del calcolo integrale

(Per funzioni a valore vettoriale) r: (a,b) → R^m al di c: (a) F continua s l -> regolare f derivabile con continuità in l - regolare a tratti (=) f continua e derivabile a tratti su I - non mai chiusa e sempre semplice.

Forme polari

x = f(θ) cosθ, f(θ) = p, θ ∈ (θ₁, θ₂)
y = f(θ) senθ
Regolare ⇒ f ∈ C¹(r) e f'(θ) + f(θ) ≠ 0

Analisi: Cap 2

r: I(R) → R^m, u=2,3 s=f: curve nel piano / nello spazio
r: I ⊆ R → I^m t_o ∈ I t ∈ R^Im
lim f(t) = ℓ ( -> ( lim f(t) - ℓ ) = 0 )
t→t_o t→t_o
r: (r₁(t), r₂(t), ..., r_m(t)) -> lim r_i(t) = l_i ∀i=1...m
| r_i(t) - ℓ_i | ≤ f(t) - ℓ | = ∑ | r_i(t) - ℓ |²

Definizione di arco di curva

r: I ⊆ R → R^m continuo si dice arco di curva (le sue componenti sono continue). Dunque r(a) = r(b) - r: (a,b)=I &si; R^m la curva compatta.

Costrutto: r curva→ lim f(t) = f(t) → lim f(t) (lim(lim(→ esiste -> estremi esclusi).
Piatto un piano contiene il suo sostegno.

Parametrizzazione

r: I ⊆ R^m continuo.
Sostegno: r(I) immagine di r arco di curva.

Derivata

t ∈ I, r'(a) = lim r(t_o+h) - r(a) -> lim r_i(t_o+h) - r_i(t_o); i=1...m
h→0 h h→0 h
r ∈ C(T) se r continua, derivabile e r continua su I (analogo C¹(I)).

Curva regolare

c: I ⊆ R^m c∈C(r), r(t)≠0, ∀t ∈ I arco di curva regolare.

Versore tangente

T = r'(t)

Curva regolare a tratti

Definizione: regolare a tratti se I può essere diviso in n parti (infinito) m cui r è regolare.
r₁ (t) t∈(a₁,b₁) r₂ t∈(c,b₂), r_n(b)=r₂(b)
→ ∃ t∈I: r'(Θ, c)∈R^m
Una curva regolare a tratti è l'unione di n curve regolari.
L'unione di due curve regolari è regolare (=>) r₁(b) = r₂(b)

Teoria e integrali

TH u, v: R² → I^m derivabili: (u', v') = u' v' -> ... sotto ...
Φ: R → R → ⟨ y(q(Θ))⟩ = q'(Θ)Φ'(Θ)
⟨Φ⟩ = lim ∈ I

Integrale ∫_b a c r(t) dt = ( ∫_b f_i(t) dt_i i=1...m (se r continua) m integrabile

Teorema fondamentale del calcolo integrale

(Funz. a valor vettoriali) r: (a,b) → R^m al di c: (a) F continua s l -> regolare f derivabile con continuità in l - regolare a tratti (=) f continua e derivabile a tratti su I - non mai chiusa &sol sempre semplice.

Forme polari

x = f(Θ) cosΦ, f(Θ)= Σ_cO - O₁ Θ ∈ (Θ₂, Θ₁)
y = f(Θ) senΦ
Chiusa (=>) r(Θ) = f(Θ)
Regolare (=>) f∈C¹(r) e f'(Θ) + f(α)≠0

Lunghezza

Definizione della parametrizzazione e integrali al line

Cap 3: Rappresentazione grafica

f: Rⁿ→R
z=f(x), x∈R^m (se n∈R²)
Linee di livello a fisso k=costante k=f(x,y) (z=cost∈R)
Fisso una variabile x o y = c f(x,y)

Limite

DEF (limite) (lim x→x₀ f(x)=L∈R∪{±∞} con x₀ di accumulazione
x→x₀x₀ di accumulazione per A: ∀I (I∩x)₀≠∅ ∀I intorno di x₀

Permanenza del segno

Se esiste (lim x→x₀ f(x)=L∈R⁺ allora in un intorno di x₀ - (∞) > f(x) positivo in I ultimo di x₀ analogo per (0 ⇒ f(x)>0 è positiva in un I

Limite all'infinito

DEF (limite sull'infinito) (limx→∞ f(x) = L ∈ R se ∀ ∃ R>0 tc.∀ x∈Rⁿ e |x|>R ⇒ |f(x) - L|