Appunti teoria di analisi II

ANALISI 1: CAP 2

u = 2, 3 → f: curve nel piano/nello spazio

γ: R → I²/Rᵐ, t₀ ∈ I, f ∈ R, l ∈ Rᵐ

lim_t→t₀ f(t) = l

(lim_t→t₀ |γ(t) − l| = 0)

γ(t) = (γ₁(t), γ₂(t))

lim_t→t₀ γᵢ(t) = lᵢ

i = 1, ..., m

d(i,j) = √(Σ (γᵢ(t) − εⱼ)²)

Def: γ: I → I²/Rᵐ continuo

• simile arco di curve
• (le sue componenti sono cont.)

[a,b] ⊆ I, [a,b] ⊂ I → Rᵐ

[a,b] = ]a,b[

[→ γ(t) continuo in I]

Parametro

s: I → Rᵐ continuo

• sostegno: γ(I)

Derivata: t ∈ I γ'(a) = lim_h→0 (γ(t₀+h) − γ(t))

f: C(I) → γ continua, derivabile

analog. C¹(I)

Def: γ: I → I²

Versore tangenze T = -r'(t)/|r'(t)|

Regolare a tratti se I può essere diviso

γ regolare

Def: γ: t ∈ (a,b)

Curva regolare → γ regolare

TH u, v: R² → I² differentiabili

(r₁'(b) = r₂(b))

(r₁'(b) = r₂(b))

TH fondamentale dell'arco integrale

(rₐ(b, c) = r₂(b))

Integrale

[∫_a^b γ(t) dt = (∫_a^b γᵢ(t) dt), i=1,...,m

(se γ continua e integrabile)

Curva piana: grafico di funzione

y = f(x) x = t t ∈ (a,b)=I

continua

Curva piana

(r(b) − r(a) = (0 se r chiuso)

non è rulloso e semplice sequenza

Curva piana

x = f(θ) cosθ

y = f(θ) senθ

Lunghezza

l(P) = Σ |c(t_i) - c(t_i-1)| per una partizione P

Def

l è rettificabile se l_$ sup L(P $ >0 $) l; lunghezza di l

TH

l è rettificabile $$ l'(r)¹ dt <= r' parametrizzazione regolare di l

l à Ü k l sono curve rettificabile $$$ rettificabile e L(P) = L₁ + L_n

c à ‚ e regolare $$ l_c rettificabile

Cambio parametrizzazione

c₁(t) = t_-1(t), t ∈ (a,b); t = t(u) i: c(a,b) → [a,b] denibile; u regolare r

Gamma = g