Appunti delle lezioni di Analisi II - Bruna Germano

INSIEMI DI PUNTI DI UNO SPAZIO EUCLIDEO

1. Distanza tra due punti

A(a₁, a₂, a₃, ..., a_n) B(b₁, b₂, b₃, ..., b_n) Numero non negativo definito da AB = √(b₁-a₁)² + (b₂-a₂)² + ... + (b_n-a_n)²

2. Equazione della retta passante per A e B

A (a₁, a₂) B (b₁, b₂)

K:

x = a₁ + t (b₁ - a₁) y = a₂ + t (b₂ - a₂)

dove le coordinate dei punti stanno in una parametrazione che vogliamo tra t ∈ [0,1]

t = 0 ⇨ x = a₁ y = a₂ (A)

t = 1 ⇨ x = b₁ y = b₂ (B)

3. Dominio circolare

Dato un RP un punto C = (c₁, c₂, ..., c_n) e fissato il p > 0 dominio circolare

Di Centro

C e raggio ρ l'insieme dei punti P(x₁, x₂, x_n)

la cui distanza da C non supera ρ

——————————>

P(x,y)

dC ≤ ρ

4. Insieme limitato
• * l'insieme E si dice limitato se è limitato ciascuno dei suoi insiemi di proiezione
• * l'insieme E si dice limitato se esiste un intorno chiuso che lo contiene (o un dominio circolare)

{ in R² è possibile inscriverlo in un rettangolo in R³ è possibile inscriverlo in un parallelepipedo }

1 Punto interno: P è interno ad E se esiste un dominio centrato

di centro P tutto costituito da punti di E.

Punto esterno: P è esterno ad E se esiste un dominio centrato

di centro P privo di qualsiasi punto di E.

Punto di frontiera: P non è né interno né esterno, vale a dire se in ogni

dominio sferico di centro P cadano sia punti di E

sia punti di E^c(compl. relativo di E),

UN PUNTO DI FRONTIERA DI E È ANCHE PUNTO DI FRONTIERA DI E^c.

2 Insieme Aperto: E è aperto quando non contiene i punti di frontiera

E ∩ SE^c=∅

Insieme Chiuso: E è chiuso quando contiene i punti di frontiera

SE ⊆ E

(N.B. UN INSIEME APERTO È UN CAMPO)

3 Campo Connesso:

E è un CAMPO CONNESSO se, comunque si fissino due

punti P e Q ∈ E, è possibile congiungerli con una

raggiuse in modo del tutto contenuta in E.

(Intorno di un punto Campo connesso e quindi contenente il punto)

(Quando il campo fa parte della chiusura si parla di

intorno contenente dei punti [P])

P è punto di accumulazione di E, quando in ogni suo intorno esistano

infiniti punti di E.

(INSIEME DERIVATO è l'insieme costituito dai punti di accumulazione D_E)

Ad ogni insieme E aperto si può associare l'insieme chiuso E ∪ SE (E ∪ D_E)

che deriva dalla unione di E e i punti di frontiera. Esso si chiama

chiusura di E o adesione ad E.

E= E ∪ SE

IL DOMINIO È OGNI INSIEME CHE RAPPRESENTA LA CHIUSURA

DI UN CAMPO.

Ogni dominio E e un INSIEME PERFETTO poiché esso punto di accumulazione

di punti interni, ma non ogni insieme perfetto è un dominio.

[UNA FUNZIONE A _m VARIABILI HA _m DERIVATE PARZIALI.]

Se f(x,y) possiede un al 2° due derivate parziali f_xx(x,y), f_yy(x,y) può nel caso di funzioni scalar casuali e derivabili πxπy Fullo i(x,y) discontinue in questo caso 2) derivate parziali seconde, b) derivate parziali terze, e così via...

L'ORDINE DI DERIVAZIONE È IMPORTANTE ➔ non sempre f_xy = f_yx

TEOREMA:

Se f, f_x, f_y, f_xy, f_yx, f_yy, f_xx sono continue uso campo A ⊂ ℝ ² ottiene un tura Q nevso f_xy = f_yx (TEOREMA DI SCHWARZ)

Quindi da mⁿ derivate parziali io posso calcolare da ogni qualisiasi funzione in limite a (m+1) derivate parziali. f^x = 2+1 = 3 dammi TOMA: f^xy = f^{yx 3-4} 3 dammi x_{xxx ^{yxy = fyx}}

OSSERVAZIONE Solo abbramio esaminando funzionali suite che app a ℝⁿ il metodo e derivare parzi _n con di ordini tripla di conseguenza funzional stimato in questo punto della funzionalità. Da i non convino e di posioso di stimare parmail in in punti di sa. PER DEFINIRE UNA DERIVATA PARZIALE PRIMA NEI PUNTI DI A NON CI È REQ SCRIVERE DELANTE DEL APP. INCREMENTOE come i diplor stico in quando non continui uso vicino. vicina consentere un punto P internio di dominio per mi esistono f_x(P) e f_y(P). Detto caz di (punto di frontiera) e di oncerstiamo derivato pariziare dal limite

SE ESISTE FINITO IL ^{Q ► P} lim f_x(P) = V ROSA cominciai con con diamar TOMA: rispetto a x Q di} ^Q►P lim f_y(P) ➔ 9, 9, di 7

DERIVATA SECONDO UNA DIREZIONE, GRADIENTE

Fissato un punto P(x,y) e A, consideriamo per esso una retta orientata r di cosα, sinα. Per ogni punto Q variabile su r si introduce la distanza col segno ρ=±t.

• Q = ( x + αt, y + βt )

P!iché A è un campo, c’è un intorno circolare di centro P e raggio ρ>0 contenuto in A.^{( CONTENUTO IN A! )} per 0<t<ρ (in senso positivo di percorso) intorno viene attraversato. Δf = [f(Q)-f(P)] / t = [f(x+αt,y+βt) - f(x,y)] / t ad eseguire il passaggio al limite per t>0 (cioè q!p su r) se esiste finito _lim^t→0 Δf / t si dirà che f è in P derivabile secondo dir. r.

_{df / dt} = _lim^t→0 Δf / t

TEOREMA

Se f è differenziabile in un posto P ∈ A, allora, comunque si fissa dir. r, esiste in P la derivata direttoriale e si ha _{df / dt} = Fx(P) α + Fy(P) β

Dimostrazione

f(x + αt, y + βt) = F(t) → da considerare come una funzione a sola variabile t (è infatti derivabile ⇔ quindi differenziabile per ipoti!). Ha senso funzione di num. F(t₁) - F(t₀) = F'(t) Limite e tecnica associata che porta derivazione di funzioni composte: f'(t) = f_x( x+αt, y+βt) α + f_y( x+αt, y+βt) β [LA DIFFERENZIABILITA’ È CONDIZIONE SUFFICIENTE, non necessaria]

_{df / dt} = l’(grado/co_s(α,β,n

LA MISURA DI PEANO-JORDAN

La misura n-dimensionale di un intervallo è definita come il prodotto delle sue dimensioni ossia

misI = (b₁-a₁)(b₂-a₂)...(b_n-a_n)

• Per n=1, l’intervallo è descritto da un segmento di lunghezza b₁-a₁.
• Per n=2, l’intervallo è un area descritto da (b₁-a₁)(b₂-a₂).
• Per n=3, l’intervallo è un volume descritto da (b₁-a₁)(b₂-a₂)(b₃-a₃).

1

Se E ¿ Rⁿ n€N, un insieme limitato (ovvero può essere contenuto all’interno di un insieme limitato come un rettangolo in R² o un parallelepipedo in Rⁿ).

LA MISURA ESTERNA 8

• Si assegna una denominazione coordinata D(I) di I e siano I₁, I₂, I₃, I₄ gli intervalli aventi almeno un punto comune ad E.
• Indichiamo con P la loro unione.
• L’insieme P, unione di un numero finito di intervalli, è detto pluintervallo esternamente associato ad E.

La misura di P (misP) è la somma delle misure degli intervalli che lo compongono

misP= ∑ misI_n (>0)

Al variare detto D(I) finiamo individuato il numero numerico (misP)

• D₁ misP₁
• D₂ misP₂
• D₃ misP₃

L’ESTREMO INTERIORE DEI PLUINTERVALLI PER ECCESSO = MISURA ESTERNA DI E