Appunti Teoria del rischio

TEORIA DEL RISCHIO

LEZIONE 1

CONCETTI DI BASE

Incertezza Probabilità che un fenomeno potenzialmente dannoso possa avvenire in



un determinato tempo o luogo , provocando un valore atteso di danno. Non riusciamo

ad assegnare un grado di verificabilità.

Rischio assegniamo dei gradi di verificabilità, delle probabilità, ad ogni possibile



stato.

Il rischio può distinguersi in:

- Speculativo: si tratta di rischi simmetrici, cioè possono avere un risvolto positivo

e uno negativo.

- Puro: rischio che colpisce direttamente il patrimonio. Bisogna quindi tutelarlo

trasferendo tali rischi ad una compagnia di assicurazione.

In questo corso ci occuperemo di:

- Analisi del rischio: analizziamo i risk factors, fattori che determinano il rischio:

Numero dei sinistri che si verificheranno

o Entità del danno

o

Le compagnie di assicurazione devono valutare il rischio attraverso dei

questionari.

- Gestione del rischio: tecniche di copertura del rischio, diversificazione del

rischio e degli investimenti, assicurazione del rischio (trasferire il rischio ad un

altro soggetto – la compagnia di assicurazione – in cambio di un premio).

Come sappiamo, l’assicurazione si distingue in due rami:

- Ramo non-life (danni) la compagnia si impegna a risarcire un danno in termini



economici.

- Ramo life (vita) l’evento risarcito è legato a delle condizioni di salute o alla



permanenta in vita dell’assicurato.

Nel corso modelleremo il ramo danni, estendendo poi i concetti al ramo vita.

Oggi si sono affermate delle direttive europee – Solvency (in ambito assicurativo) – che

sono a garanzia dei sottoscrittori perché garantiscono la solvibilità della compagnia

imponendo la costituzione di RPM, RPS, Riserve.

SPESE

AMMINISTRATIVE E DIVIDENDI

DI GESTIONE INPUT OUTPUT

COMPAGNIA DI

PREMI ASSICURAZION CLAIMS

E

INVESTIMENTI RIASSICURAZIO

DEI PREMI NE

Riassicurazione la compagnia si rivolge alla riassicurazione trasferendo parte dei



rischi (e dei relativi premi).

La compagnia avrà quindi una ricchezza iniziale (investimento degli azionisti) e

incasserà i premi. Dati questi input, dovrà far fronte alle richieste di risarcimento

(claims). Ricchezza iniziale + Premi – Claims

Quello che studieremo sono le PROBABILITA’ DI ROVINA.

La compagnia cerca un grande numero di soggetti che si vogliono assicurare su una

stessa cosa (RC Auto, Incendio, … ) per avere quindi un pool di polizze. L’idea di

assicurazione nasce dall’incendio del 1600, conosciuto come il Great Fire of London.

Con l’idea di assicurazione, si riprende il meccanismo della legge dei grandi

numeri_

Siano Y , Y , … , Y le richieste di risarcimento a cui la compagnia deve far fronte.

1 2 n

Per la legge dei grandi numeri, se considero la media:

n

∑ Y i

i=1 =entità del sinistro medio

n

Che corrisponde alla quantità che l’impresa si impegna a risarcire, e sapendo che le Y

i

sono i.i.d., allora:

{ }

( )

=µ

E Y ⩝iϵ 1,2 , … , n

i µ

Quindi l’ammontare complessivo medio, quanto si differenzia da ?

| |

n

∑ Y i

i=1 −µ )

P( ≥ ε

n

Calcoliamo quindi la probabilità che lo sconto sia superiore ad una piccola quantità a

piacere.

Se facessi il limite, con n potrei notare che più assicurati inserisco nel pool di

 ∞,

polizze, minore sarà il discostamento:

(| | )

n

∑ Y i

=1

i −µ =

lim P ≥ ε 0

n

→

n ∞ µ

Quindi, al crescere di n la media aritmetica dei claims è prossima alla media ed è

≥ ε

un risultato .

Come vediamo nella figura sottostante.

GESTIONE ASSICURATIVA

Sia:

u = ricchezza iniziale = surplus iniziale

π = ammontare dei premi raccolti fino al tempo t

t

X = ammontare dei claims fino al tempo t

t t

¿

+ −X =U

u π ¿

t t t

Abbiamo quindi trovato U , cioè la ricchezza al tempo t.

t

Consideriamo il caso uniperiodale.

U

1 1

π eX

Supponiamo che il tasso di interesse annuo sia “i”, quindi per capitalizzare la

ricchezza:

( )

u 1+ i

E affinché la compagnia possa procedere all’esercizio delle sue funzioni (requisito di

solvibilità)

( )

( ) + <U =ε

P u 1+i π− X min

ε

Dove è un valore molto piccolo, ad esempio il 5% e corrisponde al valore di

tolleranza massimo.

Questo dal punto di vista del SOTTOSCRITTORE.

Dal punto di vista dell’azionista, invece:

1+i+ j min

( ) + <u(¿)=δ

u 1+ i π− X

¿

P

j

Dove indica il rendimento garantito dall’investimento.

min

Se fossi un’azionista, vorrei questa probabilità molto piccola, perché mostra la

differenza tra l’investimento nella compagnia e l’investimento in altro (BoT) in termini

di rendimento.

Notiamo che, svolgendo le moltiplicazioni, posso semplificare u(1+i) perché uguali in

entrambi i membri.

L’unico elemento aleatorio è la X, quindi la posso esplicitare:

( )

> =δ

P X π−u∗j min

Ora voglio arrivare alla funzione di ripartizione, che ha come codominio l’intervallo

[0,1].

( )=P ( )

F x X ≤ x

Quindi:

( ) ( ) ( )

( )=1−F

> =1−P < =1−F =δ

P X π−u∗j X π−u∗ j x π−u∗j

min min min

Quindi:

( ) =1−δ

F π−u∗ j min

Assumendo che la funzione di ripartizione sia invertibile:

−1 −1

( )

[ ]=F [1−δ]

F F π−u∗ j min

questo significa:

−1

( )

=F [1−δ ]

π−u∗j min

Da qui posso calcolare il premio tale che l’investimento non sia minore di un

investimento alternativo. Quanto devo far pagare? Quanto far investire?

[ ]

¿ −1

=F +u∗j

π 1−δ min ¿

Adesso posso sostituire nella formula del sottoscrittore e risolvere rispetto ad u.

π

( )

( )+

>u −U =ε

P X 1+i π min ( )

( ) + =ε

1−P X ≤ u 1+i π−U min

¿

( )

( ) + −U =ε

1−F u 1+ i π

x min

¿

( )

( ) + −U =1−ε

F u 1+i π

x min

ed essendo invertibile

F

( )

¿

−1 −1

( )

¿ + −U

x u 1+i π

[¿ ]=F [1−ε ]

F min

¿ [ ]

¿ −1

( ) + −U =F

u 1+ i π 1−ε

min

[ ]

−1 ¿

−π +U

F 1−ε min

u= ( 1+i)

¿

sostituisco ora π

[ ] [ ]

−1 −1

−( +u∗ )+U

F 1−ε F 1−δ j min min

u= (1+i)

¿

ma dato che dipende dalla ricchezza iniziale u, avrò che

π

[ ] [ ]

−1 −1

−( )+U

F 1−ε F 1−δ min

u= (1+i+ )

j min

cioè il surplus iniziale dal punto di vista del sottoscrittore e dell’azionista, dove

1

(1+i+ )

j min

rappresenta il fattore di attualizzazione.

LEZIONE 2

Ripartiamo da u+ π− X

Grandezze che consideriamo in un mondo uniperiodale.

π

Gli azionisti investono u, ricevono e pagano X. Ma come si stabiliscono i premi

π ? Ovviamente li decide la compagnia di assicurazione, ma come? Si tratta di una

quantità che dipende da X, perché sono valutati in base ai danni che la compagnia

dovrà affrontare.

Quindi: ( )

π X → è una funzione dei claims

Sia x l’insieme dei danni possibili, cioè che è lecito ritenere possano realizzarsi, allora

+¿ ¿

π : x → R

ovvero, una funzione che associa a dei soggetti, che sono essi stessi variabili aleatorie,

un numero reale positivo. Il suo dominio non è il solito R o un suo sottoinsieme, ma il

mondo in cui i possibili oggetti sono i danni.

Quindi prende una certa variabile aleatoria X (danno) con una certa distribuzione di

π

probabilità e associa un numero. Come scelgo ?

Si entra nel mondo della soggettività: posso sceglierli in base al guadagno, alla

solvibilità, etc. Si stabiliscono quindi delle proprietà:

1. Caricamento non negativo: affinché la compagnia abbia interesse in un certo

guadagno, il premio deve essere maggiore o uguale al valore atteso (ci si

aspetta di guadagnare qualcosa) ( (

π x)≥ E x)

Non scrivo solo X perché è una variabile aleatoria, ma scrivo il suo valore atteso.

Se valesse l’uguaglianza, si avrebbe il principio di equità, mentre se fosse

strettamente maggiore, esisterebbe un caricamento (importante per evitare la

rovina certa della compagnia).

2. Additività: dati X e X indipendenti, allora il premio per il danno complessivo

1 2

deve essere uguale alla somma dei singoli danni (si paga sempre la stessa

quota)

( ) ( )

+ =π + (x )

π x x x π

1 2 1 2

3. Invarianza di scala: se “a” è un certo numero positivo, allora considerando

( ) ( )

=aπ

π ax x

Se a=2

( )=2 ( )

π 2 x π x

Quindi se il danno raddoppia, raddoppia anche il premio.

Se questa uguaglianza non valesse, ci sarebbero opportunità di arbitraggio:

( )< ( ) ( ) ( )

compro un’assicurazione e vendo

π 2 x 2 π x π 2 x 2 π x



( )> ( ) ( ) ( )

vendo e compro

π 2 x 2 π x π 2 x 2 π x



4. Consistenza: se accresco il danno di c, anche il premio cresce di c.

( )=π ( )+

+c

π x x c

5. Maximal loss: se esiste un massimale per il danno M>0 tale che x M, allora

≤

anche ( )

π x ≤M

Quest’ultima viene anche chiamata ipotesi NO RIP-OFF (no furto).

ESEMPI DI FUNZIONE .

π

1. Premio puro: caso in cui non è previsto alcun caricamento.

( )=E ( )

π X X

Vengono soddisfatte, in questo caso, tutte le suddette proprietà.

2. Criterio del valore atteso:

( )=( ) ( )

π X 1+θ E X con caricamento θ>0

Questo criterio ha tre caratteristiche:

Si basa sulla media del danno. Considerando una situazione X in cui

 n

abbiamo:

{ 1

90 ⇒ 90∗1 110∗1

2 ( )

= = + =100

X E X

1 1 2 2

1

110 2

{ 1

190 ⇒ 190∗1 10∗1

2 ( )

= = + =100

X E X

2 2 2 2

1

10 2

Con X e X equiprobabili. Notiamo che con il criterio del valore atteso queste

1 2

due situazioni non sono distinguibili (medie uguali), ma in realtà i rischi sono

differenti perché X è poco disperso rispetto alla media, mentre X è molto più

1 2

disperso. Quindi considerare solo il valore atteso non consente di dare una

misura della variabilità del danno. Tale criterio non soddisfa tutte le proprietà, in

particolare:

la proprietà della consistenza (4)



( )=π ( ) +c

π X+ c X perché noi a sinistra troviamo:

[ ]

( ) ( )=( ) ( ) ( ) ( )+ ( )

+c +c =

1+θ E X 1+θ E X 1+θ E X 1+θ c

Mentre a destra troviamo:

( )

π X → non ho la c

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

1+θ E X ≠ 1+θ E X 1+θ c

la proprietà no rip-off: considerando quindi un rischio X con

 ( )=1,

P X=b con b>0 posso calcolare il danno:

( )=( )

π X 1+θ b>b

essendo b il massimale per questo danno, la proprietà non viene

rispettata, perché il caricamento è maggiore di zero. Di

θ

conseguenza, il premio è maggiore del massimale. Ciò nonostante,

questo è il premio più adottato.

3. Criterio della varianza:

2

( )=E ( ) ( )

+α ¿ >0

π X X σ X , con α

Dove:

E(X)= danno in importo (operatore lineare)

importo al quadrato. Quindi α ha le dimensioni di reciproco dell’importo

2

σ (X)=

per levare il quadrato all’importo. (operatore quadratico).

Questo criterio non soddisfa la proprietà di invarianza di scala:

2

( )=E ( ) ( )

+α

π aX aX σ aX

2 2

( )

¿ +α ( )

aE X a σ X

[ ]

2

( )

¿ +α ( )

a E X a σ X

Ed è diverso da π(X). Quindi non vale la proprietà.

4. Criterio della deviazione standard:

( )=E ( ) ( )

+ >

π X X α σ X , con α 0

Supera il problema dell’invarianza di scala, ma non è additivo. Potete anche

verificarlo.

5. Criterio di zero utilità: consideriamo una funzione di utilità v con v(0)=0;

v’(x)>0 (crescente) e v’’(X)<0 (concava) come rappresentato:

L’agente assicurativo deve avere stessa utilità nell’intraprendere l’esercizio

assicurativo e nel tenersi il surplus iniziale. Quindi π deve essere tale che valga la

seguente equazione:

( )

( )=E ( )−X

[v ]

v u u+ π X

Dove v(u) è aleatorio.

Non fare nulla e tenersi “u” è uguale ad assicurare il rischio X in cambio di un premio

π(X). Quello che stimiamo prende quindi il nome di premio di indifferenza.

Anche questo criterio però non è additivo e non rispetta l’invarianza di scala.

PRINCIPI DI COMPENSAZIONE DEI CLAIMS (richieste di

risarcimento)

u+ π− X

Distinguiamo due quantità:

- valore del bene assicurato V

- somma assicurata S <V

S

Vi sarà sottoassicurazione nel momento in cui

Se si verificasse un danno X, la compagnia potrebbe risarcire una quantità g(X), che è

parte di X 0< g( X)≤ X

CALCOLO DI g(X):

1. Metodo pro-rata: [ ]

{ }

S

( )= ∗X

g X min 1, V

ovvero il minimo tra i due valori, moltiplicato per il danno X. In caso di

sottoassicurazione, viene decurtato il danno risarcito.

2. Copertura a primo rischio (first risk):

( )=min }

g X ⁡{X , S

3. Full insurance:

( )=

g X X

Si paga l’intero importo. OBIETTIVI

Si punta alla riduzione della frequenza dei sinistri, dell’entità del danno, si evitano i

piccoli claims tramite la franchigia e si opta per la riduzione dei premi. Vediamoli nello

specifico:

1. Loss prevention: riduzione della probabilità di verificarsi del danno

2. Loss reduction: riduzione dell’entità del danno provocato dal rischio

3. Avoidance of small claims: evitare i piccoli claims (franchigia)

4. Premium reduction

Regole di riduzione dell’indennizzo:

- Fixed ammount deductible (franchigia assoluta): viene pagato il massimo

tra 0 e g(X)-b, dove b è la franchigia. Se g(X)<b, la compagnia paga ovviamente

zero. Se, invece, g(X)>b, la compagnia risarcisce l’importo che supera la

franchigia, cioè l’importo al netto della franchigia. [ ]

( ) =( ) )

h g X 1−β g(X

- Proportional deductible (meccanismo proporzionale):

quindi la compagnia interviene sempre, con β= aliquota di scoperto (non

risarcito), compresa tra [0, 1]. ‖ ¿

[ ]

( ) =

h g X g( X)

- Franchigia deductible (franchigia relativa) , dove

 ( )

{g >d }

X

d è la franchigia relativa e il simbolo || indica la funzione indicatrice di un

insieme (anche rappresentabile con una I grande).

‖ { ( )

¿ >d

1 se g X

=

( )>

{g }

X d ( ) <d

0 se g X

Se i danni sono maggiori della franchigia l’assicurazione risarcisce, altrimenti il

danno non viene risarcito.

OSSERVAZIONE SU ASSICURAZIONI DI RESPONSABILITA’ CIVILE

Non c’è un bene assicurato specificato come nel caso di assicurazione danni a beni di

proprietà. Questo perché non essendo in genere specificato un bene di riferimento,

non è individuabile il valore dell’esposizione al rischio della compagnia.

FORME:

- Assicurazione a garanzia illimitata: copertura totale del danno

- Assicurazione con massimale di garanzia: viene definito un importo massimo

per il risarcimento (una sorta di limite superiore dei risarcimenti che la

compagnia paga copertura parziale)



RISARCIMENTO GLOBALE

Consideriamo una compagnia con un portafoglio di contratti assicurativi omogenei,

cioè:

- Tutti stipulati contemporaneamente;

- Hanno tutti uguale periodo di copertura;

- Hanno stesse condizioni contrattuali di copertura.

Anche se un portafoglio di contratti alla data della stipula può presentare rischi

omogenei, è possibile che nel corso del tempo tali rischi perdono l’omogeneità e

diventano eterogenei. Ad esempio, in caso di assicurazione RCA possono intervenire

fattori come il comportamento alla guida, i km percorsi, etc.

Sulla base delle caratteristiche sopraelencate, esaminiamo l’esercizio assicurativo in

un singolo periodo temporale di riferimento (ad esempio un anno). La ricchezza della

compagnia di assicurazione è descritta dall’equazione:

−x

U=u+ π

Ricchezza finale = ricchezza iniziale + ammontare complessivo dei danni risarciti nel

periodo temporale di riferimento – costo dei singoli sinistri aggregato.

Consideriamo la v. a. X come il costo dei sinistri aggregato, cioè

N

∑

=

X Y i

i=0

dove N è il numero dei sinistri occorsi nel periodo considerato e Y &egrav