Appunti Teoria del rischio

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Y( )N Bin n , pSe e le sono i.i.d. con distribuzione F, allora la X haidistribuzione binomiale composta, di parametri (n, p, F).)X Compbinom(n , p , FSi dimostra che:[ ] [ ] [ ]=n∗p∗EE X Y doven∗p=E N 2(Y )¿E [ ]( )2( ) =n∗p∗ −VAR X E Y p∗¿n ∈(r )+1− ¿p∗M p con r Ry (M r)=¿x ( )N Poisson λ con λ>03. Poisson: consideriamoxλ−λ( )=e=xP N x!Si dimostra che:[ ] [ ]=VAR =λE N N ( )r −1r e ( ) ∈=eM r ⩝ r RNCaso maggiormente utilizzato: λ rappresenta il numero atteso dei sinistri nelperiodo di copertura (propensione al sinistro). Al crescere di λ aumenta lapropensione al sinistro.4. Poisson composta (compound poisson):N∑= (λX Y CompPoi , F)ii=1 Y( )con N Poi λ e i danni i.i.d. hanno distribuzione F.iSi dimostra che: [ ][ ] =λEE X Y 1 ¿ ¿Y 1¿¿ ¿Y

aggregato per la singola linea, ma anche il costo dei sinistri complessivo che deve sopportare. x , x , … , x

Quindi sommo ottenendo l'aggregato del costo dei sinistri di 1 2 n ciascuna linea, anch'esso distribuito come una compound poisson, la cui funzione di ripartizione è data dal rapporto tra la somma delle funzioni di ripartizione dei danni di ciascuna linea pesati con la propensione al sinistro e la sommatoria delle propensioni al sinistro. X

Dimostrazione: studiamo la fgm di X aggregato delle j n n λn n ∑ ∑ ∑( )−1)(r∗ x λ M r λ[ ]∏ ∏j j j( )¿ ( −1)r x λ M r( )=E [e ] = =e =moltiplico M r indipendenza E e e e divido per λ=ej=1 j j j j=1 j=1x ⇒ j=1 j=1 ( )X CompPoi λ , F ,che non è altro che la fgm di dove M è FGM della variabile Jaleatoria con distribuzione F .

Esempio: n=2 ho quindi 2 linee assicurative distinte X e X1 2N 1∑ 1 1( )=X Y con N Poi

λ e Y i. i. d . F1 i 1 1 i 1=0i N 2∑ 2 2( )=X Y con N Poi λ e Y i . i. d .. F2 i 2 2 i 2=0iE assumiamo che le due linee assicurative siano tra loro indipendenti. Allora:∗F + ∗Fλ λ1 1 2 2+λ λ ;1 2 +λ λ1 2=X + ¿X X CompPoi1 2Infatti: [ [ ] [ ]( )−1 ( ) −1M r M r∗+λ λ1 2[ ] 1 2+ −λ λ[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) 1 2( )−1 ( )−1+ +r x x λ M r λ M r λ λr x r x r x r x( )=E =E ∗e = ∗ =e ∗e =eM r e e per indipendenza=E e E e 1 21 2 1 2 1 2 1 x 2 xxAbbiamo così determinato la funzione generatrice dei momenti di X= somma delle duelinee assicurative.D’altra parte, se considerassimo una variabile aleatoria z∗F + ∗Fλ λ1 1 2 2z +λ λ1 2e calcoliamo la sua funzione generatrice dei momenti:∞ ∞ 1∫ ∫rz rz( ) ( ) ( ) ( )+ = ∗(λ

+ )λ e d F z λ e d F z M z λ M z1 1 2 2 1 1 2 2+λ λ0 0 1 2∞ ( ) ( )∗F + ∗Fλ z λ z 1∫[ ]rz rz 1 1 2 2( )=E = ∗d = ∗¿M r e ez + +λ λ λ λ0 1 2 1 2

Allora per l’unicità della funzione generatrice dei momenti( ) ( )+λ [ −1 ]λ M r( )=eM r 1 2 zx Quindi: ∗F + ∗Fλ λ1 1 2 2+λ λ ;1 2 +λ λ1 2¿X CompPoiQuindi, se una compagnia gestisce più linee assicurative in relazione a rischi diversi,allora è possibile studiare il costo dei sinistri aggregato per ciascuna linea e grazie allaproprietà di aggregazione, è nota la distribuzione di probabilità del costo aggregatocomplessivo dei sinistri totali per la compagnia.La proprietà di aggregazione permette quindi di descrivere la distribuzione di unacompagnia che gestisce n linee assicurative indipendenti,

costituito da una percentuale diεrischi con bassa propensione al rischio λ e una percentuale (1-ε) di rischi con1>λ λun’alta propensione al rischio .2 1Si noti che la distribuzione di Poisson doppia può essere a sua volta estesa al casom∑ =1εdi una mistura finita di Poisson con parametri e λ per j= 1, …, m eε j j jj=1( ) ( )− −λ x λ mx∗λ ∗λe e1 m1( )=ε=x +P N …+ε1 mx! x!DISTRIBUZIONI DEL DANNOAbbiamo detto che X ha distribuzione composta e abbiamo presentato le ipotesiprobabilistiche sulle variabili aleatorie N e (Y ) .i i 1≥Poniamo ora attenzione sulla distribuzione dei danni Yi.Dal punto di vista assicurativo, è interessante analizzare in particolare i danni di entitàrilevante, i cosiddetti eventi sulla coda della distribuzione. Data la distribuzione F, lacoda della distribuzione è data da: (Y

F( y)=1-F( y)=P(y) con y>0

Sulla coda destra della distribuzione si trovano i danni dati da grandi importi, i quali sono più pericolosi per la compagnia in quanto generano perdite più ingenti. È chiaro che la coda di una distribuzione di probabilità qualsiasi tende a zero F'(y) quando y, ma è importante valutare la velocità con la quale si appiattisce sull'asse delle ascisse. Per caratterizzare questa proprietà, viene assunta come distribuzione di riferimento la distribuzione esponenziale.

Una distribuzione di probabilità è detta a coda pesante (heavy tail), se la coda della distribuzione è più pesante (o spessa) rispetto a quella della distribuzione esponenziale. In altre parole, una distribuzione è detta heavy tail se la coda della distribuzione tende a zero più lentamente della distribuzione esponenziale.

Una distribuzione di probabilità è detta a

coda leggera (light tail), se la coda delladistribuzione è più sottile rispetto a quella della distribuzione esponenziale.

Equivalentemente, F è a cosa leggera se la coda di F tende a zero più rapidamentedella distribuzione esponenziale.

In termini matematici, è possibile definire light/heavy tail distribution per mezzo dellad Ffunzione generatrice dei momenti. Sia Y una v.a. :→( )=∞M r ∀ >0r- F è a coda leggera se Y ( ) <∞M r- F è a coda pesante se per qualche r>0YRicordiamo che: ∞ ∞∫ ∫[ ] rY rY( )M r rY ( )dy ( )e f y e dF y= = =E eY 0 0DISTRIBUZIONI A CODA LEGGERAF è a coda leggera se esistono c>0 e y > 0 tali che:∀−ry y> yF ≤ C∗eL’area sottesa alla coda è al di sotto della funzione esponenziale, cioè è controllatadalla coda di una distribuzione esponenzialeUn esempio di coda leggera è proprio la distribuzione

esponenziale.−αyF( y)=¿ 1- e11con E(Y) = e VAR(Y) = 2α αQuindi α è il reciproco del danno attesoDISTRIBUZIONI A CODA PESANTEF è una distribuzione a coda pesante se ry ( )=∞lim e F yy →∞ ( )F y =∞lim −ryey →∞→ ∞S