Misurazione del rischio - Appunti

Collateral and credit issues in derivatives pricing

John Hull and Alan White

Joseph L. School of Management

University of Toronto

January 2013

Esame di misurazione del rischio

Obiettivi del lavoro

• Dare delle nozioni di base sul pricing dei derivati tramite BSM in un mondo privo di rischio
• Estendere la metodologia includendo il rischio di controparte
• Dimostrare come si ottengono le formule per il calcolo di CVA (Credit Value Adjustment), DVA (Debit Value Adjustment), BCVA (Bilateral CVA)
• Esporre come il counterparty credit risk e il proprio rischio di credito possono essere coperti
• Esaminare il ruolo dei collateral nei mercati OTC
• Definire l’impatto, sul metodo di pricing tradizionale, dei collateral tramite CRA (Collateral Rate Adjustment)
• Analizzare le variazioni di CVA e DVA dovute alla presenza di CRA
• Mettere in discussione la prassi di utilizzo del FVA
• Dimostrare come vengono determinati i bid-offer spreads

Metodologia di analisi

Innanzi tutto l’analisi è sviluppata su un singolo derivato con sottostante un titolo senza dividendi. Hull e White riprendono i modelli BSM e CAPM.

Il processo assunto per lo stock è: ds=µSdt+σSdzdove µ è l’ER dello stock, σ è la volatilità e dz è il Wiener process. ds è un intervallo tra valori di S infinitesimale ΔS (da St a St+Δ), dt è un intervallo di tempo infinitesimale che va da t a t+Δ.

L’equazione CAPM si presenta come: µ=r+β(µ-r) S M è il rendimento atteso del mercato e β dell’azione. dove r è il tasso risk free, βµ M S

Il risultato porta ad ottenere l’equazione differenziale di Black-Scholes-Merton e la sua risoluzione. Successivamente gli autori considerano come varia il pricing dei derivati includendo il rischio di credito. Si parte immaginando che il derivato sia un asset della banca di valore sempre positivo. In questo caso il processo includerà la probabilità di default della controparte.

df è lo scostamento di valore da f a f+Δ, δf/δS è il Δ. ϒc è la riduzione proporzionale attesa in caso di default e dq è il “jump process” che rappresenta l’evento default (0;1). La probabilità che si verifichi il default è il “counterparty’s hazard rate”.

L’equazione differenziale di BSM viene così eguagliata a: (r+ϒcλc)f dove λc rappresenta la Probability to Default della controparte.

Supponendo che la controparte abbia uno ZC bond il suo prezzo varierà così: dB =r B dt-η B dq c c c cηc è il rendimento del