Appunti Teoria del rishcio

X

X X n

2

1 ~ è il

agli n contratti che figurano nel portafoglio della cedente , N i

numero aleatorio di sinistri che possono colpire nel corso dell’anno il

~

rischio i-esimo e è il risarcimento aleatorio del sinistro h-esimo .

Z h

~ l’impegno aleatorio conservato dalla cedente sul totale

Consideriamo Γ

i

~ ~ ~

, e - l’impegno accettato dal riassicuratore per quel

impegno Γ

X X

i i i

rischio . Come nel caso della riassicurazione proporzionale , indicheremo

~ l’impegno conservato dall’assicuratore sull’intero portafoglio .

con Γ

Nel caso di riassicurazioni non proporzionali avremo :

1) riassicurazione per eccesso di sinistro (“excess of loss” XL)



 N~

n n 

 i ~

~ ~ ( )

∑ ∑ ∑ i

= = (1.5)

Γ Γ min( Z )

; L 

 h

i i 

 =

=

= i 1 h 0

i 1 



dove L è un importo certo detto ;

priorità

i

2) riassicurazione per eccesso di perdita (“stop loss”)

n

 

~

~ ∑

= min ;

(1.6)

Γ  

X , L

i

 

=

i 1

dove L ha lo stesso significato di L

i

3) riassicurazione per eccesso di danni aggregato (“aggregate XL”) che

27

CAPITOLO 1

si differenzia dal precedente per il fatto che l’ammontare

riassicurato viene indicato con un limite monetario , anziché

percentuale , in accordo al loss ratio . Per tale motivo , sceglierò di

trattare solo uno dei due casi , e cioè il caso 2) ;

4) riassicurazione eccesso danni globale ( umbrella XL)

 

 

n n

 

K ~

~ ~ ( ) ( )

∑ ∑ ∑

 

j j

= =min ;

(1.7)

Γ Γ  

 

min X , L ; L' '

 

i i

 

 

 

 

= = =

i 1 j 1 i 1 ( )

j

è la priorità del suddetto trattato eccesso danni globale e

dove L' ' L

è la priorità relativa al j-esimo ramo .

Quest’ultima forma riassicurativa rappresenta una sofisticata variazione

delle ultime due precedenti e copre il sinistro conservato netto globale ,

causato dallo stesso evento che colpisce più rami .

Gli importi certi L , L e , chiamati “priorità”, hanno il significato dei

L' '

i

pieni di conservazione “M” , incontrati nel caso della riassicurazione

proporzionale , pertanto rappresentano il limite oltre il quale entra in

vigore il trattato . Oltre alle forme fondamentali citate , possono , come

già si è detto , venir praticate forme di assicurazioni “miste”. Uno stesso

portafoglio può , ad esempio , venire riassicurato in quota individuale e

altresì , quando il riassicuratore non si accontenti di ricevere quanto di

sua competenza secondo tale modalità , in quota globale . Viene dunque

ceduta al riassicuratore una determinata quota di tutti i rischi e , sulla

parte residua , l’assicuratore trattiene i propri “pieni”, riassicurando i

relativi eccedenti . Vedremo nel seguito alcuni esempi .

La determinazione razionale delle priorità , così come quella dei pieni di

conservazione ( nel caso delle riassicurazioni proporzionali ), costituisce,

naturalmente, l’aspetto più delicato , dal punto di vista tecnico attuariale,

dell’operazione di riassicurazione , al quale dedicheremo ampio spazio

nei prossimi paragrafi . 28

CAPITOLO 1

Una volta fissate le priorità, la cedente trasferirà al riassicuratore il

rischio o i rischi da lei non coperti , corrispondendo , diversamente dal

caso proporzionale , premi appositamente calcolati dal riassicuratore.

Anche in questo caso il riassicuratore potrebbe non accettare interamente

quanto richiesto dalla cedente , pertanto quest’ultima , provvederà a

piazzare con riassicurazione facoltativa o con altro trattato la parte non

ancora accettata . Pensiamo , ad esempio , ad un trattato XL , dove è

fissata una in accordo alla massima esposizione del

c.d. portata

riassicuratore nei confronti del singolo sinistro . Se il massimo

risarcimento per sinistro previsto nel contratto di assicurazione è M e la

priorità concordata con il riassicuratore è L , la portata è usualmente pari

a L-M , ma potrebbe essere inferiore e pari a L'-L , con L' < M , nel qual

caso l’assicuratore chiederebbe altrove l’ulteriore copertura in eccesso

sinistro , con priorità L' (e portata M- L' ) . Nel caso , infine , di garanzia

illimitata o per M molto elevato , la stessa cedente fraziona la copertura

in eccesso alla (prima) priorità L in più fasce (layers) operanti in

successione e interessanti gli interventi di più assicuratori .

Prima di analizzare separatamente i casi sopra citati , è opportuno fornire

una spiegazione sulla modalità di calcolo del premio di riassicurazione

non proporzionale , non essendo questo logicamente deducibile come nel

caso proporzionale .

1.3.1 Modalità di calcolo del premio riassicurativo .

Metodo del ”burning cost” .

Nella pratica dei mercati assicurativi il calcolo del premio del

riassicuratore di eccesso sinistro è frequentemente ricondotto alla

valutazione del cosiddetto .Con tale nome viene indicato

burning cost 29

CAPITOLO 1

l’importo rimasto a carico del riassicuratore , per la copertura dei sinistri

relativa ad un anno di trattato .

,C ,…C gli esborsi del riassicuratore nei K anni

Siano allora C

1 2 k

precedenti l’esercizio attuale e , ,…, i premi di tariffa incassati

T T T

P P P

K

2

1

dalla cedente in quegli anni (usualmente K è pari a 3 o a 5 ) . Nell’ipotesi

che non sia cambiato il tipo di rischi ( e di copertura prevista dal trattato

in essere ) , il tasso di burning cost del riassicuratore per il prossimo

anno è valutato dalla media :

K

∑ C i K

* 1 C

τ

τ ∑

= o , in alternativa dalla (1.8)

= =

i 1 i

K P

K T

∑ =

i 1

T i

P

i

=

i 1

τ così calcolato , che stima un tasso di premio , viene poi gravato

Il tasso

da un caricamento ( per spese e di sicurezza ) fornendo un tasso

τ τ η

+

(

1 ) che , applicato ad una stima del monte premi dell’esercizio

= , ( expected premium income ) , fornisce il

attuale , t , della cedente , EPI

t

premio del riassicuratore per la copertura dichiarata in trattato. L’ordine

η è usualmente pari al 45% . In sintesi, il

di grandezza del coefficiente

premio trasferito al riassicuratore , sarà :

τ η

+

⋅ (

1 )

R = EPI (1.9)

P ,

t

t MIN

oppure la cedente corrisponderà un premio minimo , , generalmente

P

t

⋅ R e , alla fine dell’anno t , noti ormai i premi incassati P , la

pari a 0.8 P t

t

stessa provvederà ad una sorta di conguaglio , calcolando la differenza

tra l’importo dei premi effettivamente incassati ( nell’esercizio di

τ

riferimento ) moltiplicato per il tasso e il premio minimo , cioè :

τ

∆ ⋅

R MIN

= P - (1.10)

P P

t

t t 30

CAPITOLO 1

∆ R

Se è positivo , l’assicuratore dovrà rimborsare la differenza al

P

t

riassicuratore , viceversa nel caso contrario , a meno che non sia disposto

τ sarebbe

diversamente dalle clausole del trattato . Osserviamo che

propriamente un tasso di premio equo , se i premi della cedente fossero

premi equi .

Anche per il calcolo del premio di riassicurazione stop-loss

(analogamente aggregate XL) e umbrella XL , possono adottarsi metodi

del tipo indicato per la riassicurazione nella forma excess of loss . In

tutte queste forme non proporzionali , sono previste poi limitazioni

superiori all’intervento del riassicuratore . In pratica , una copertura stop-

loss può prevedere , ad esempio , che il riassicuratore copra l’ammontare

dei danni che superi il 90% del totale dei premi dell’anno , sino ad un

limite , però , del 120% e con un esposizione massima di S unità

monetarie .

La forma di riassicurazione stop-loss (e analogamente aggregate XL) è ,

evidentemente , la più appetita dall’assicuratore che vedrebbe coperti dal

riassicuratore lo scostamento per eccesso dalla sua previsione del

rapporto sinistri a premi e , con quella copertura , manterrebbe

globalmente l’equilibrio desiderato . La forma non è , però , altrettanto

gradita dal riassicuratore per la già segnalata difficoltà di determinare in

modo adeguato il premio (attesa la grande variabilità della sua stima

campionaria ) e anche perché l’assicuratore , pur di introitare i premi ,

potrebbe non curare oculatamente le assunzioni dei singoli rischi . Da

qui la preferenza per una forma di stop-loss modificato come quella che

affronteremo nel paragrafo 1.3.3 .

Nelle forme di riassicurazione non proporzionale , occorre poi tener

conto delle conseguenze dei fenomeni legati all’inflazione , per colpa dei

31

CAPITOLO 1

quali l’ammontare del singolo sinistro o del globale cumulo dei sinistri

può superare , al momento della liquidazione , la priorità fissata alla

stipula del trattato . Tale evenienza si manifesta se la liquidazione è

notevolmente differita nel tempo , è chiamata allora in causa la c.d.

clausola di stabilità in forza della quale l’assicuratore è tenuto ad

indicizzare il livello della sua ritenzione (priorità) adeguandolo nel

tempo al potere d’acquisto della moneta . Non è inusuale , inoltre , che la

compagnia cedente ricorra ai servizi di un intermediario di

riassicurazione per collocare sul mercato riassicurativi i suoi trattati . La

remunerazione di questo servizio viene chiamata “brokerage” ed è

pagata dai riassicuratori come una percentuale fissa dei premi ceduti al

trattato . Consideriamo ora , un altro importante metodo di calcolo del

premio , probabilistico anziché statistico .

.

Metodo di Pareto

Tale metodo si basa sull’assunzione che la distribuzione del singolo

sinistro sia ( almeno in corrispondenza alla “coda” ) una distribuzione di

Pareto (pertanto può essere utilizzato solo in presenza di una copertura

riassicurativa XL ).In particolare , alla chiusura del periodo contrattuale ,

i sinistri di maggio