Appunti teoria dai numeri reali ai limiti di funzione

Numeri reali

Definizione di numero reale

Definiamo numero reale l'elemento separatore di due classi contigue di numeri razionali. Esistono due tipi di numeri reali:

• Numeri reali razionali: numeri reali che possono essere espressi anche come numeri razionali, come ad esempio il numero 3.
• Numeri reali non razionali: numeri reali che non possono essere espressi come numeri razionali, come ad esempio 1, √2.

Intervalli e intorni

Definizione di intervallo

Si definisce intervallo sulla retta IR l'insieme di tutti i punti compresi fra due valori dati. Ad esempio l'intervallo 2,5 sarà l'insieme di tutti i punti (numeri) compresi fra 2 e 5.

• Se i punti estremi fanno parte dell'intervallo: l'intervallo si dice chiuso. [2,5]
• Se i punti estremi non appartengono all'intervallo: l'intervallo si dice aperto. ]2,5[ o (2,5)
• Se appartiene all'intervallo il punto estremo di sinistra e non quello di destra: l'intervallo si dice semiaperto a destra. [2,5[ o [2,5)
• Se appartiene all'intervallo il punto estremo di destra e non quello di sinistra: l'intervallo si dice semiaperto a sinistra. ]2,5] o (2,5]

Definizione di intorno

È detto intorno di un punto un insieme se contiene un insieme aperto contenente il punto. Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti “vicini” al punto x. Ogni intorno individua un insieme differente di “vicini”.

Un intorno di un punto x della retta reale IR è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo (x - ε, x + ε) dove ε > 0 è un numero positivo.

In particolare:

• L'intorno è aperto se è un insieme aperto.
• L'intorno aperto di raggio r è l'intervallo aperto (x – r, x + r).

Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l'intervallo [x – r, x + r] con r > 0 è un intorno chiuso di x.

Estremo superiore e inferiore di un insieme

Definizione di maggiorante

Sia X ⊆ IR un sottoinsieme dei numeri reali. Un elemento y ∈ IR si dice maggiorante dell'insieme X se per ogni x ∈ X si ha che x ≤ y.

Definizione di minorante

Sia X ⊆ IR un sottoinsieme dei numeri reali. Un elemento y ∈ IR si dice minorante dell'insieme X se per ogni x ∈ X si ha che y ≤ x.

Definizione di estremo superiore

Sia X ⊆ IR un sottoinsieme dei numeri reali. Un elemento y ∈ IR si dice estremo superiore dell'insieme X se:

1. y è un maggiorante di X;
2. preso un qualunque z < y, si ha che z non è un maggiorante di X.