Appunti teoria dai numeri reali ai limiti di funzione

INTERVALLI E INTORNI

Definizione di intervallo

Si definisce intervallo sulla retta IR l’insieme di tutti i punti compresi fra due valori

dati.

Ad esempio l’intervallo 2,5 sarà l’insieme di tutti i punti (numeri) compresi fra 2 e 5.

• Se i punti estremi fanno parte dell’intervallo: l’intervallo si dice chiuso. [2,5]

• Se i punti estremi non appartengono all’intervallo: l’intervallo si dice aperto.

]2,5[ o (2,5)

• Se appartiene all’intervallo il punto estremo di sinistra e non quello di destra:

l’intervallo si dice semiaperto a destra. [2,5[ o [2,5)

• Se appartiene all’intervallo il punto estremo di destra e non quello di sinistra:

l’intervallo si dice semiaperto a sinistra. ]2,5] o (2,5]

Definizione di intorno

E’ detto intorno di un punto un insieme se contiene un insieme aperto contenente il

punto. Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti “vicini” al punto

x. Ogni intorno individua un insieme differente di “vicini”.

Un intorno di un punto x della retta reale IR è un insieme della retta che contiene un

e, e) e

intervallo aperto del tipo (x - x + dove > 0 è un numero positivo.

In particolare:

• L’intorno è aperto se è un insieme aperto

• L’intorno aperto di raggio r è l’intervallo aperto (x – r, x + r)

Un intorno non è necessariamente aperto. Ad esempio, l’intervallo [x – r, x + r] con r

> 0 è un intorno chiuso di x. 2

ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UN INSIEME

Definizione di maggiorante

Í Î

Sia X IR un sottoinsieme dei numeri reali. y IR si dice maggiorante dell’insieme

Î £

X se per ogni x X si ha che x y.

Definizione di minorante

Í Î

Sia X IR un sottoinsieme dei numeri reali. y IR si dice minorante dell’insieme X

Î £

se per ogni x X si ha che y x.

Definizione di estremo superiore

Í Î

Sia X IR un sottoinsieme dei numeri reali. y IR si dice estremo superiore

dell’insieme X se:

1. y è un maggiorante di X;

2. preso un qualunque z < y si ha che z non è un minorante di X (y è il più piccolo

maggiorante di X).

L’estremo superiore di un insieme X si indica con sup(X).

Definizione di estremo inferiore

Í Î

Sia X IR un sottoinsieme dei numeri reali. y IR si dice estremo inferiore

dell’insieme X se:

1. y è un minorante di X;

2. preso un qualunque z > y si ha che z non è un minorante di X (y è il più grande

minorante di X).

L’estremo inferiore di un insieme X si indica con inf(X).

Definizione di insieme superiormente/inferiormente limitato

Un insieme si dice superiormente/inferiormente limitato se esistono,

rispettivamente l’estremo superiore e l’estremo inferiore e sono limitati. 3

PUNTO DI ACCUMULAZIONE

Definizione di punto di accumulazione

Un Punto si dice di accumulazione per un insieme di punti se qualunque suo intorno

contiene sempre almeno un punto dell'insieme diverso dal nostro punto.

Almeno uno vuol dire che, visto che posso prendere infiniti intervalli sempre più

piccoli, di punti ne conterrà infiniti.

Ad esempio se considerando l'insieme formato dai punti 1, 1/2, 1/4, 1/8, etc., provando

a procedere si vede che questi punti tendono a zero, allora si dice che zero è un punto

di accumulazione per questo insieme: infatti per quanto si possa prendere piccolo un

intervallo che contenga zero ci sarà sempre un punto della successione diverso da zero

contenuto nell'intervallo (anzi ce ne saranno infiniti). 4

CONCETTO DI FUNZIONE DI VARIABILE REALE

Definizione di funzione

La funzione è un legame, di natura qualsiasi, tra due quantità variabili per cui al variare

di una detta variabile indipendente, genericamente indicata con la lettera x, varia anche

l'altra detta variabile dipendente ed indicata con la y.

y=f(x)

Per essere più precisi e dare una definizione generale dobbiamo dire che:

Dati due insiemi A e B diversi dall’ insieme vuoto, una funzione è una legge che ad

ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.

L’ insieme A prende il nome di dominio, mentre B prende il nome di codominio.

Nelle funzioni che tratteremo, il dominio è l'insieme dei valori che assume x (che sarà

l' insieme IR

dei numeri reali oppure un suo sottoinsieme), mentre il codominio è l' insieme dei

valori che assume

y (anch' esso IR oppure un suo sottoinsieme). L' espressione matematica che useremo

è y = f(x).

Definizione di grafico di funzione