Appunti Matematica

MODULO 1

Insiemi numerici

• naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• interi o relativi Z (interi per fare la sottrazione)
• razionali Q (noti per fare la divisione)
• irrazionali I (es: √2, π, e)
• reali R = Q ∪ I = R
• complessi C

⇒ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

inclusione propria o stretta ⊆ inclusione impropria o larga

o₁ = 0,1 = ¹/₁₀

o₁: 0,1 × 10^-1: 1: 10^-1

X_i ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

∆_i = 4: = 4, = ,6

nomi decimali finiti

Es.: 123,456

3 cifre

• ALLINEAMENTO DECIMALE (FINITO): 1,10 × 2.10¹ + 3.⁴/₁₀ + 4.¹⁰ + 5.10^-5 + 6.10^-3

• ALLINEAMENTO PERIODICO SEMPLICE: x = 0,234 234 234

10 × = 234 x = 234,234 = 234 + 0,234

x (10³ - 1) = 234 ⇒ x = ²³⁴/₉₉₉

• ALLINEAMENTO PERIODICO MISTO: x = 234,1254 = 234, 12 + 0,054 = 234 + 0,1254

10³y = 12 + 0,54

10⁹y = 12 + 541,4 = ²³⁴ + 0,54

10³y = ^{12 + 54}/₅₉₉ = y:¹²⁵²⁹/₉₉₉

x ~ ☐∘ x = 234,

Esempio: 99,9 = 100%

dimostrazione ¯ (0,9 = x ; 9,9 = 10.x ; 10x = 9 + x;

x = 1)

⇒ 99 2 = 99 + 0,9 = 99 + 1 = 100

Pb:

• p(x) = x + 0,5
• x ∈ R ?
• 1 + x 2 > 0 + 1 ⇒ p(x) > 1 in particolare
• p(x) ≠ 0 ∀ x ∈ R
• ∠ { x ∈ R : p(x)=0 tale che x² è sempre NON negativo
• se x² è sempre positivo (? falso)

Modulo 1

Insiemi numerici

• naturali N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
• interi o relativi Z (necessari per fare la sottrazione)
• razionali Q (necessari per fare la divisione) -> frazioni ridotte ai minimi termini / decimali
• irrazionali I (es: √2, π, e)
• reali R = Q ∪ I = R
• complessi ℂ

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ ℂ

inclusione propria o stretta ⊆ inclusione impropria o larga

0₁ = 0 + ¹/₁₀

0,1̅0̅ 5,1̅0̅2̅1̅

X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, X_i ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

X_e = numeri decimali finiti

Esempio: 123,456

3 cifre

• Allineamento decimale (finito): 1.10² + 2.10¹ + 3.10⁰ + 4.10^-1 + 5.10^-2 + 6.10^-3
• Allineamento periodico semplice: x = 0,234 234 234

10x = 2,34x = 234 234,0 234,x = 234,0 234

x (10ⁿ-1) = 234 x = 234/999

• Allineamento periodico misto: x = 234,1̅2̅54

Esempio: 99,5̅ = 100%

dimostrazione

• x = 9,5̅
• x = 9,5̅ + 0,5̅

99,5̅ = 99 + 0,5̅ = 99 + 1 = 100

P(b) p(x)= x² + 4x + 0, x ∈ R?

1× + x^2 + 0 + 1=1

p(x) > 1 in particolare p(x) ≠ 0 ∀x ∈ R

x ∈ R : p(x) = 0 tale che

x² è sempre non negativo (ε^t sempre positivo )

Re z

Im z

immaginario di z = y

reale di z = x

i unità immaginaria

definizione: i² =-1

i² = (√-1)² = (-1)^1/2 = -1

esempio: z = 1, √2i, i, ti, i + i i

(1 + i), i / √2

z = a + ib dove a, b ε R

z̅ = x - i y

z₁ = 1 + 2 i

z̅₁ = 1 - 2 i

(z) = zⁿ

(z) = 0

(z_k = (o,_k)

ESEMPIO: z² = -1

0 = z² - i (z² + i)

z²+1=0 → z² = -1, z = ±i

z²+1=0 (per definizione)

z² = -1, z²+1=0

→ z_n ha come soluzioni:z_k = cos (2πK/n) + i sen (2πK/n) K=0,...,n-1 → RADICI N-ESIME DELL'UNITA'

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

Ogni polinomio di grado n ha esattamente n radici (=soluzioni in ℂ)→ in ℝ e' FALSO! Infatti p(x): x²+4 di grado 2 non ha soluzioni in ℝ

→ in ℂ le sue soluzioni sono ±i;x²+4= (x²+i)(x²−i) x² + i x² −i x² + i²

ESEMPIO: zⁿ = 1 n ∈ ℕ

Trovare tutte le radici in ℂ (ne vogliamo n infatti: p(z)=zⁿ−1 polinomio di grado n)

z = x + iy

x, y ∈ ℝ

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

RHOp (cosθ + i senθ)

RAPPRES