Appunti Matematica

Modulo 1

(Capitolo: Crippa)

Insiemi numerici

• numeri naturali N, N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
• interi o relativi Z (interi per fare la sottrazione)
• razionali Q (noti per fare la divisione) → frazioni ridotte ai minimi termini / decimali
• irrazionali I (es: √2, π)
• reali R, Q ∪ I = R
• complessi C

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e R ⊂ C

• inclusione propria = stretta
• discreti
• re⇦ denso
• ogni numero decimale finito o periodico è razionale

o₁ ∈ ℝ, o₁ = 0,1 =

a / b

⟹ 0.4

⟹ 4.10 ^-1

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆

xₙ ∈ {0, 1, 2, ..., 9}

⟹ numeri decimali finiti

ESEMPIO: 123,456

3 cifre

• ALLINEAMENTO DECIMALE (FINITO): 1.1c + 2.10 ^-1 + 3.10 ^-2 + 4.10 ^-3 + 5.10 ^-4 + 6.10 ^-5
• ALLINEAMENTO PERIODICO SEMPLICE: x = 0.{\overline{234}}\

10x = 2,34 → x = 2,34

→ x(10 ³-1) = 234 → x = 234 / 999

ALLINEAMENTO PERIODICO MISTO: x = 234,{1254}\

→ 10 ⁴y = 12 + 0.{\overline{54}}

10 ³z = 544 + z

{\overline{54}}: 999

12529 / 99900 → x = 234,12529 / 99500 → \

• d. moltiplicazione
• 0,5 = x, 9,5 = 10x; 10x = 9 + x
• ⟹ 99,5 = 99 + 0,5 = 99 + 45

Pb p(x) = x ² + 0, x ∈ ℝ?

1 + x ≥ 0 + 1 ⟹ p(x) ≥ 1 in particolare p(x) ≠ 0

∀ x ∈ ℝ tale che

p(x) = 0 ⟹ x ² è sempre NON negativo

(è sempre positivo) ⟹ 0 (falso)

Unità Immaginaria

Definizione: i² = -1

Sempl.: z = 1 + √2i, i = ± i, 1 ⋅ i = i/√2, 1 ⋅ i

z = a + ib dove a, b ∈ ℝ

Rappresentazione Cartesiana di un Numero Complesso

Sempl.: z = 1 + 2i

c = 1, z̅ = 1 - 2i

Geometricamente, l'operazione di coniugio è rappresentata da una riflessione nel piano di Argand-Gauss rispetto alla retta Rez

Simmetria assiale

(z)ⁿ = zⁿ = 1 → Polinomio ciclotomico di grado n

(z=0) ha esattamente n radici in ℂ

seguendo la divisione si possono scrivere i numeri razionali sotto forma decimale: in talmodo si ottengono numeri decimali limitati (cioe' con un numero finito di cifre decimali) oppurenumeri decimali non limitati periodici (cioe' con un numero infinito di cifre decimali costituitida una parte finita di cifre che si ripetono indefinitivamente detto periodo).

• un numero decimale finito o periodico e' un numero razionale.

ad esempio:√2, q2, ∃q ∈ Q : q = (q₁ + q₂)²q ∈ Q : q = (q₁+q₂)²

NUMERI IRRAZIONALI

e' chiuso rispetto alla divisione, pero' esistono numeri che non possono essere posti in formarazionale, ad esempio π, il numero di Napier, e √2 ecc. La loro forma decimalee' costituita da infinite cifre decimali non periodiche. Tali numeri prendono il nome dinumeri irrazionali.

NUMERI REALI

escluso: non e' possibile trovare nessun numero razionale tale che ilsuo quadrato sia uguale a 2 2!

√2: Q ∪ I

supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipop² = q²p² = q²(p²=2K) = 2^mK=2q₁ 2K² = q²

insieme dei numeri reali e' chiuso rispetto alleoperazioni algebriche di somma sottrazionemoltiplicazione e divisione

• questo significa che la somma la differenzail prodotto e il quoziente di 2 numeri reali e' un numero reale

non vale il viceversa!

COORDINATE POLARI

xyOX

ha coordinato cartesiane (x, y)

• le coordinate polari di P sono: P= OP = asse x

asse x δP~~nel nostro esempio: (p, θ) : (√2, π/4)

esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:x = y cos θy = y sen θ

• ne segue che:

xsenθysenθ

si osservi cheP = √(x²+y²)

3.4

a. \( z \in \{ |z| > 0 \} \)

b. \( z \in \{ \operatorname{Im}(z) < 0 \} \)

c. \( z \in \{ \operatorname{Re}(z) > 0, \operatorname{Im}(z) < 0 \} \)

d. \( z \in \{ |z|^2 < 4 \} \)

e. \( z \in \{ \operatorname{Re}(z), \operatorname{Im}(z) = 0 \} \)

3.6

\(\bar{z} = -1 - i\)

\(|z| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)

\(\psi = \operatorname{arc tg}(b/a) - \pi\)

\(z = \sqrt{2} \left( \cos(\pi) + i \operatorname{sen}(\pi) \right)\)

_{\(X_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\psi + 2 \pi k}{n} + i \operatorname{sen} \frac{\psi + 2 \pi k}{n} \right) \quad \text{per} \ k = 0,1, \ldots, n-1\)}

= \(\sqrt[4]{2} \cos\)

--- \( \operatorname{RISOLTO \ IN \ UNIVERSITÀ} \) (guardare in fondo)

3.7

be \( |z| < 1 \) allora \( |z|^2 < 1 \)? → sì

\(|z| = \sqrt{a^2 + b^2} < 1\)

\(|z|^2 = |z|^2 \left( \frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} \right) = a^2 |z|^2 < 1\)

3.8

\(\int x^3 \dfrac{x^5}{-x-1}\)

\(\int \left( 3 x - x - 1 \right) = \frac{3}{10} x^{10} + x^2\frac{3}{2}x \cdot 2^{3/2}x^6 - 2^{3/2}x^5 \cdot x\)

\(\int x \leq x - x \cdot x - 1 \cdot x \equiv \frac{3}{2} x - 1\)

\(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3 x - x} - 3^x = \sqrt[3]{x - 3}\)

26

Trovare le radici dei seguenti numeri complessi e disegnarle sul piano di Gauss:

a. ₈√₂ = z = (2)^1/4 e ^3πi = (2)^3/8 e ^7πi = (2)^n/8 = √₂ e ⁱ

Calcoliamo le 8 radici ottave del numero complesso 1. Poiché 1 ha modulo 1 e argomento 0 le 8 radici ottave di 1 avranno sempre modulo 1 e argomenti:

z_k = e^2kπi/8   (k=0,1,...,7)

Pertanto, le 8 radici ottave di 2 sono:

z₀ = 8√₂ eⁱ⁰ = 8√₂

z₁ = 8√₂ e^πi/4 = 8√_2/√2 (1+i)

z₂ = 8√₂ e^πi/2

z₃ = 8√₂ e^3πi/4 = 8√_2/√2(-1+i)

z₅ = 8√₂ e^5πi/4 = -8√₂

z₆ = 8√₂ e^3πi/2

z₇ = 8√₂ e^7πi/4 = 8√_2/√2 (1-i)

b. z = 1-√3i = (-1+√3i)/2

Il numero complesso 1-√3i ha modulo 2 e argomento θ tale che:

cosθ = 1/2   → θ = π/3

sinθ = √3/2

Pertanto le 2 radici quadrate di z hanno modulo √₂ e argomenti:

arg(z^1/2) = π/3 + 2kπ/2   (k=0,1)

Quindi:

z₁ = √₂ e^iπ/6 = √₂ (cos(π/6)+isen(π/6)) = √₂/2 + i√₂/2

z₂ = √₂ e^7πi/6 = √₂ (cos(7π/6)+isen(7π/6)) = -√₂/2 + i√₂/2

Si osservi che z₁ = z₂ (come sempre succede per le 2 radici quadrate di un qualunque numero complesso).

Nel piano di Argand-Gauss, z₁ e z₂ saranno punti sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio √₂ di coordinate

A ( √₂/2 ; √₂/2 )   e   B ( -√₂/2 ; √₂/2 )

La simmetria rispetto all'origine