Appunti di Analisi 1

Quasti appunti di Analisi 1 raccolgono tutte i teoremi e dimostrazioni affrontati durante l'anno con il professore Montoro.
1) Numeri e Insiemi numerici:
numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri reali. Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton. Proprietà algebriche e rappresentazione geometrica dei numeri razionali. Dai numeri razionali ai numeri reali. Estremo superiore e assioma di continuità. Valore assoluto e distanza sulla retta. Intervalli. Il principio di induzione e applicazioni.

2) Funzioni di una variabile:
Il concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale: generalità, funzioni limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone, funzioni periodiche. Funzioni elementari. Operazioni sui grafici. Funzioni definite a tratti. Funzioni composte. Funzioni inverse. Le funzioni trigonometriche inverse.

3) Limiti di funzioni:
Limiti finiti al finito.
Teorema di unicità del limite. Limiti finiti all’infinito. Asintoti orizzontali. Limiti infinito all’infinito. Asintoti obliqui. Limiti infiniti al finito. Limite destro e sinistro. Asintoti verticali. Non esistenza del limite. Teorema del confronto. Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Teorema di cambio di variabile nel limite. Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Successioni monotone.

4) Funzioni continue: algebra delle funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione composta. Limiti di polinomi. Limiti di funzioni razionali. Limiti notevoli. Punti di discontinuità. Confronti asintotici. Gerarchia degli infiniti. Funzioni continue su un intervallo: Teorema degli zeri e Teorema dei valori intermedi.

5) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: derivata di una funzione. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Derivate destra e sinistra e punti di non derivabilità. Algebra delle derivate. Derivata di una funzione composta. Punti stazionari, massimi e minimi locali e globali. Teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e applicazioni: test di monotonia e caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla su un intervallo. Ricerca di massimi e minimi. Teorema di de L’Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Studio di funzione.

6) Calcolo integrale per funzioni di una variabile: primitive e integrale indefinito di una funzione. Primitive di funzioni elementari. Area di una regione piana. Definizione di integrale definito. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale definito. Il Teorema della media. Il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale. Primi metodi di integrazione: scomposizione e sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni trigonometriche. Integrazione di funzioni irrazionali. Integrazione di funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati. Criteri di integrabilità: confronto e confronto asintotico. Criterio dell’assoluta integrabilità.

7) Serie numeriche: definizione e primi esempi: serie geometrica, serie armonica, serie armonica generalizzata. Condizione necessaria alla convergenza. Serie a termini positivi: criteri del confronto e del confronto asintotico, criteri della radice e del rapporto. Confronto tra serie numeriche e integrali impropri. Serie a termini di segno variabile: convergenza assoluta. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz. Serie numeriche dipendenti da un parametro.