Appunti Analisi Matematica I

Appunti completi di Analisi Matematica I
Contengono teoria, dimostrazioni dei principali teoremi e delle principali formule e vari esempi. Gli argomenti sono:

1. Insiemistica
1.1. Relazioni
1.2. Insiemi numerici
1.3. Operazioni tra insiemi
1.3.1. Proprietà delle operazioni
1.3.2. Leggi di De Morgan
1.4. Funzioni reali di variabile reale
1.5. Campo ordinato
1.6. Differenza tra Q e R
1.6.1. Insiemi limitati
1.6.2. Insiemi totalmente ordinati
1.6.3. Definizione assiomatica di R
1.7. Cardinalità degli insiemi
1.7.1. Cardinalità di R
2. Logica
2.1. Dimostrazione per assurdo
2.2. Il principio di induzione
2.2.1. Disuguaglianza di Bernoulli
2.2.2. Formula del binomio di Newton
3. Successioni
3.1. Successioni convergenti
3.2. Successioni divergenti
3.3. Limiti delle successioni
3.4. Successioni monotone
3.4.1. Corollario del teorema di monotona
3.5. Algebra dei limiti
3.5.1. Operazione con ∞
3.5.2. Limiti notevoli
3.5.3. Successioni asintotiche
3.5.4. Criterio del rapporto
3.6. Teorema di permanenza del segno
3.6.1. Teorema del confronto
3.6.2. Corollari del teorema del confronto
4. Numeri complessi
4.1. Operazioni tra numeri complessi
4.2. Modulo di un numero complesso
4.3. Moltiplicare e dividere per i
4.4. Moltiplicare e dividere per k∈R
4.5. Forma trigonometrica
4.5.1. Operazioni in forma trigonometrica
4.5.2. Radici n-esime di un numero complesso
4.6. Teorema fondamentale dell’algebra
4.7. Formula di Eulero
4.7.1. Seno e coseno non esistono
5. Funzioni reali
5.1. Funzioni composte
5.2. Funzioni inverse
5.3. Limiti delle funzioni
5.3.1. Definizione successionale
5.3.2. Limiti ai bordi del dominio
5.3.3. Funzioni continue
5.3.4. Discontinuità delle funzioni
5.3.5. Definizione topologica di limite
5.3.6. Forme di indeterminazione
5.3.7. Teoremi sui limiti
5.3.8. Funzioni asintotiche
5.4. Proprietà funzioni continue
5.4.1. Teorema di cambio di variabile
5.4.2. Teorema di continuità della funzione composta
5.4.3. Teorema degli zeri
5.4.4. Teorema di Weierstrass
5.4.5. Teorema dei valori intermedi
5.4.6. Teorema di monotonia
5.5. Derivate delle funzioni
5.6. Funzione derivata
5.7. Derivate notevoli
5.8. Operazioni con le derivate
5.8.1. Derivata della somma
5.8.2. Derivata del prodotto
5.8.3. Derivata del rapporto
5.8.4. Derivata della funzione composta
5.9. Derivata della funzione inversa
5.10. Deriviabilità e continuità
5.11. Ottimizzazione delle funzioni
5.12. Teorema di Lagrange
5.12.1. Teorema di Rolle
5.12.2. Teorema di Cauchy
5.12.3. Test di monotonia
5.12.4. Teorema di de l’Hospital
5.13. Convessità e concavità di una funzione
5.14. Studio di una funzione
5.15. Il differenziale
5.15.1. Algebra degli o piccoli
5.16. Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano
5.16.1. Resto di Lagrange
5.16.2. Comportamento delle funzioni
5.17. Gli integrali
5.17.1. Funzioni integrabili
5.17.2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale
5.17.3. Proprietà degli integrali
5.17.4. Teorema della media integrali
5.17.5. Metodi di integrazione
5.17.6. Integrali di frazioni di polinomi
5.17.7. Integrali generalizzati
5.17.8. Integrale indefinito
5.17.9. La funzione integrale
5.17.10. Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale
6. Equazioni differenziali
6.1. Risolvere le equazioni differenziali
6.1.1. Equazioni a variabili separabili
6.1.2. Equazioni lineari
7. Serie numeriche
7.1.1. Resto di una serie
7.2. Serie a termini non negativi
7.2.1. Criterio del confronto
7.2.2. Criterio del confronto asintotico
7.2.3. Criterio del rapporto
7.2.4. Criterio della radice
7.3. Serie a termini a segno variabile
7.3.1. Serie a termini a segno alterno
7.4. Serie di funzioni
7.4.1. La serie esponenziale
7.4.2. Le serie di funzioni trigonometriche elementari
7.4.3. Serie di potenze