Appunti Analisi Matematica I

ANALISI I

RAVI SRINIVASAN

A.A. 2018-19

Basati sulle lezioni del prof. Ettore Lanzarone

Università Politecnico di Milano

A.A. 2018-2019

Sommario

Sommario

1. Insiemistica ................................................................................................................. 1

1.1. Relazioni ................................................................................................................ 1

1.2. Insiemi numerici ................................................................................................... 2

1.3. Operazioni tra insiemi .......................................................................................... 2

1.3.1. Proprietà delle operazioni .............................................................................. 3

1.3.2. Leggi di De Morgan ........................................................................................ 3

1.4. Funzioni reali di variabile reale ........................................................................... 4

1.5. Campo ordinato ..................................................................................................... 4

1.6. Differenza tra .............................................................................................. 4

ℚ ℝ

1.6.1. Insiemi limitati ............................................................................................... 4

1.6.2. Insiemi totalmente ordinati ........................................................................... 5

1.6.3. Definizione assiomatica di .......................................................................... 5

ℝ

1.7. Cardinalità degli insiemi ...................................................................................... 6

1.7.1. Cardinalità di .............................................................................................. 8

ℝ

2. Logica ......................................................................................................................... 10

2.1. Dimostrazione per assurdo ................................................................................. 11

2.2. Il principio di induzione ...................................................................................... 12

2.2.1. Disuguaglianza di Bernoulli......................................................................... 13

2.2.2. Formula del binomio di Newton ................................................................... 14

3. Successioni ................................................................................................................. 17

3.1. Successioni convergenti ...................................................................................... 17

3.2. Successioni divergenti ......................................................................................... 19

3.3. Limiti delle successioni ....................................................................................... 20

3.4. Successioni monotone .......................................................................................... 20

3.4.1. Corollario del teorema di monotonia ............................................................ 21

3.5. Algebra dei limiti ................................................................................................. 22

3.5.1. Operazione con .......................................................................................... 23

∞

Sommario

3.5.2. Limiti notevoli ............................................................................................... 24

3.5.3. Successioni asintotiche ................................................................................. 25

3.5.4. Criterio del rapporto ..................................................................................... 26

3.6. Teorema di permanenza del segno ..................................................................... 28

3.6.1. Teorema del confronto .................................................................................. 29

3.6.2. Corollari del teorema del confronto ............................................................. 30

4. Numeri complessi ...................................................................................................... 31

4.1. Operazioni tra numeri complessi........................................................................ 32

4.2. Modulo di un numero complesso ........................................................................ 33

4.3. Moltiplicare e dividere per ................................................................................ 35

4.4. Moltiplicare e dividere per ........................................................................ 36

∈ ℝ

4.5. Forma trigonometrica ......................................................................................... 36

4.5.1. Operazioni in forma trigonometrica ............................................................ 38

4.5.2. Radici di un numero complesso .................................................. 39

−

4.6. Teorema fondamentale dell’algebra ................................................................... 40

4.7. Formula di Eulero ............................................................................................... 41

4.7.1. Seno e coseno non esistono ........................................................................... 41

5. Funzioni reali ............................................................................................................ 43

5.1. Funzioni composte ............................................................................................... 44

5.2. Funzioni inverse .................................................................................................. 44

5.3. Limiti delle funzioni ............................................................................................ 46

5.3.1. Definizione successionale ............................................................................. 46

5.3.2. Limiti ai bordi del dominio ........................................................................... 47

5.3.3. Funzioni continue ......................................................................................... 48

5.3.4. Discontinuità delle funzioni ......................................................................... 49

5.3.5. Definizione topologica di limite .................................................................... 49

5.3.6. Forme di indeterminazione .......................................................................... 51

5.3.7. Teoremi sui limiti ......................................................................................... 51

5.3.8. Funzioni asintotiche ..................................................................................... 53

5.4. Proprietà funzioni continue ................................................................................ 54

5.4.1. Teorema di cambio di variabile .................................................................... 55

Sommario

5.4.2. Teorema di continuità della funzione composta .......................................... 56

5.4.3. Teorema degli zeri ........................................................................................ 56

5.4.4. Teorema di Weierstrass ................................................................................ 57

5.4.5. Teorema dei valori intermedi ....................................................................... 59

5.4.6. Teorema di monotonia .................................................................................. 59

5.5. Derivate delle funzioni ........................................................................................ 60

5.6. Funzione derivata ............................................................................................... 61

5.7. Derivate notevoli ................................................................................................. 62

5.8. Operazioni con le derivate .................................................................................. 63

5.8.1. Derivata della somma ................................................................................... 63

5.8.2. Derivata del prodotto .................................................................................... 63

5.8.3. Derivata del rapporto ................................................................................... 64

5.8.4. Derivata della funzione composta ................................................................ 64

5.9. Derivata della funzione inversa .......................................................................... 65

5.10. Deriviabilità e continuità ................................................................................. 65

5.11. Ottimizzazione delle funzioni .......................................................................... 66

5.12. Teorema di Lagrange ....................................................................................... 68

5.12.1. Teorema di Rolle ........................................................................................ 69

5.12.2. Teorema di Cauchy .................................................................................... 69

5.12.3. Test di monotonia ...................................................................................... 70

5.12.4. Teorema di de l’Hospital ........................................................................... 72

5.13. Convessità e concavità di una funzione .......................................................... 73

5.14. Studio di una funzione ..................................................................................... 74

5.15. Il differenziale .................................................................................................. 74

5.15.1. Algebra degli .............................................................................. 76

5.16. Formula di Taylor-MacLaurin con resto di Peano .......................................... 76

5.16.1. Resto di Lagrange ...................................................................................... 79

5.16.2. Comportamento delle funzioni .................................................................. 80

5.17. Gli integrali ...................................................................................................... 82

5.17.1. Funzioni integrabili ................................................................................... 83

5.17.2. Il teorema fondamentale del calcolo integrale ......................................... 84

Sommario

5.17.3. Proprietà degli integrali ............................................................................ 85

5.17.4. Teorema della media integrale ................................................................. 86

5.17.5. Metodi di integrazione .............................................................................. 88

5.17.6. Integrali di frazioni di polinomi ................................................................ 90

5.17.7. Integrali generalizzati ............................................................................... 91

5.17.8. Integrale indefinito .................................................................................... 93

5.17.9. La funzione integrale ................................................................................ 94

5.17.10. Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale ........................... 94

6. Equazioni differenziali .............................................................................................. 97

6.1. Risolvere le equazioni differenziali .................................................................... 98

6.1.1. Equazioni a variabili separabili ................................................................... 98

6.1.2. Equazioni lineari ........................................................................................ 100

7. Serie numeriche ...................................................................................................... 103

7.1.1. Resto di una serie ....................................................................................... 105

7.2. Serie a termini non negativi ............................................................................. 106

7.2.1. Criterio del confronto .................................................................................. 107

7.2.2. Criterio del confronto asintotico ................................................................. 108

7.2.3. Criterio del rapporto ................................................................................... 110

7.2.4. Criterio della radice .................................................................................... 111

7.3. Serie a termini a segno variabile ...................................................................... 113

7.3.1. Serie a termini a segno alterno .................................................................. 115

7.4. Serie di funzioni ................................................................................................ 117

7.4.1. La serie esponenziale .................................................................................. 118

7.4.2. Le serie di funzioni trigonometriche elementari ....................................... 119

7.4.3. Serie di potenze ........................................................................................... 119

SEZIONE 1 - INSIEMISTICA 1

1. Insiemistica

L’insieme è un concetto primitivo, non ha una definizione. Gli insiemi vengono indicati

con le lettere maiuscole. Gli elementi sono le entità di cui è composti gli insiemi e

vengono indicati con la lettera minuscola. Per indicare un insieme si può usare la

scrittura per tabulazione: {1,

= 2, 3}

In questo tipo di scrittura l’ordine degli elementi e la molteplicità (elementi che si

ripetono) non contano. Per indicare l’appartenenza di un elemento a un insieme si usa

la seguente notazione: ∈ →

∉ →

Definizione 1.1. L’insieme vuoto, indicato con il simbolo è un insieme che non

∅,

contiene alcun elemento.

1.1. Relazioni

Gli insiemi posso essere messi in relazioni secondo:

- Relazione di uguaglianza: ogni elemento dell’insieme è contenuto

nell’insieme e viceversa:

∀: ∈ ⇒ ∈

=→{ ∀: ∈ ⇒ ∈

- Relazione di inclusione: l’insieme contiene tutti gli elementi dell’insieme

:

⊆ → ∀: ∈ ⇒ ∈

- Relazione di inclusione stretta: l’insieme contiene tutti gli elementi

dell’insieme il quale contiene elementi non contenuti nell’insieme

, :

∀: ∈ ⇒ ∈

⊂→{ ∃ ∈ : ∉

Definizione 1.2. Si definisce insieme delle parti un insieme i quali elementi sono

insiemi.

SEZIONE 1 - INSIEMISTICA 2

Definizione 1.3. L’insieme universo, indicato con è quel particolare insieme che

,

contiene tuti gli elementi e tutti gli insiemi esistenti, compresi quindi

sé stesso e l’insieme vuoto.

Gli insiemi possono essere anche rappresentati tramite i diagrammi di Euler-Venn,

nella quale vengono rappresentati sotto forma di porzioni di piano.

1.2. Insiemi numerici

ℕ è l’insieme dei numeri naturali: {1, }

ℕ = 2 , 3, …

ℕ⊂ℤ

ℤ è l’insieme dei numeri interi relativi: {+1, }

ℤ = −1, +2, −2, …

ℤ⊂ℚ

ℚ è l’insieme dei numeri razionali: . Contiene i numeri

ℚ = { : , ∈ ℤ, ≠ 0}

decimali finiti e periodici. I numeri periodici sono i numeri decimali in cui un blocco di

cifre decimali si ripete all’infinito. Il periodo può essere preceduto da un antiperiodo.

ℚ⊂ℝ

ℝ è l’insieme dei numeri reali: viene definito tramite la definizione assiomatica

ℝ

(vedi par …). contiene più i numeri irrazionali (ad es.

ℝ ℚ , …).

√2,

ℝ⊂ℂ

ℂ è l’insieme dei numeri complessi: Il numero è detti

ℚ = { + : , ∈ ℝ =

√−1}.

unità immaginaria.

1.3. Operazioni tra insiemi

Tra gli insiemi è possibile compiere varie operazioni che sono:

Intersezione: è l'insieme degli elementi che appartengono sia all'insieme A che

- all'insieme B: {:

∩ = ∈ ∧ ∈ }

Unione: è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono all’insieme A e/o

- all’insieme B:

SEZIONE 1 - INSIEMISTICA 3

{:

∪ = ∈ ∨ ∈ }

Differenza: è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono all’insieme A ma

- non appartengono all’insieme B: {: }

\ = ∈ ∧ ∉

Prodotto cartesiano: In matematica il prodotto cartesiano di due insiemi e

- è l'insieme delle coppie ordinate con e

(, ) ∈ ∈ :

{(,

× = ): ∈ ∧ ∈ }

Si noti che non vale la proprietà commutativa: × ≠ × .

(Es: Nel caso dell’insieme

ℝ, ℝ × ℝ × … × ℝ = ℝ ).

Dalla definizione di differenza definiamo l’insieme complementare di un insieme:

Definizione 1.4. L’insieme complementare, indicato con , di un insieme è la

̅

,

differenza tra l’insieme universo e l’insieme ̅

: = \.

1.3.1. Proprietà delle operazioni

Introduciamo le proprietà delle operazioni appena descritte.

Intersezione:

Commutativa: ∩ = ∩

- Associativa: ( (

∩ ∩ ) = ∩ ) ∩

- Idempotenza: ∩ =

-

Unione:

Commutativa: ∪ = ∪

- Associativa: