Appunti sullo studio di funzioni

Derivate delle funzioni elementari

Qui di seguito riportata una tabella con le derivate delle funzioni corrispondenti:

21−x′

f (x) = arctan(x)

f (x) = 21+x′

f (x) = sinh(x)

f (x) = cosh(x)′

f (x) = cosh(x)

f (x) = sinh(x)

54.2 Regole di derivazione

1. Derivata della somma: ′ ′ ′(f (x) + g(x)) = f (x) + g (x)
2. Derivata del prodotto con uno scalare:′ ′ ∀λ ∈(λf (x)) = λf (x) R
3. Derivata del prodotto: ′ ′ ′(f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x)
4. Derivata della funzione reciproca: ′ ′ 1 f (x)−= 2f (x) f (x)
5. Derivata del rapporto: ′ ′ ′ −f (x)g(x) f (x)g (x)f (x) = 2g(x) g (x)
6. Derivata della funzione composta:′ ′ ′(f (g(x))) = f (g(x))g (x)
7. Derivata di una funzione elevata a una funzione: ′ g(x)f (x)′ ′g(x) g(x)(f (x) ) = f (x) g (x) ln(f (x)) + f (x)

4.3 Punti di non derivabilità

I punti di non derivabilità di una funzione sono quei punti del dominio in cui la derivata prima della funzione non è denita.

Classichiamo i punti di nonderivabilità in tre tipi:

1. Punto angoloso;
2. Punto cuspidale (o cuspide);
3. Flesso a tangente verticale.

Punto angoloso

Si dice che è un punto angoloso per una funzione se il limite destro e sinistro del rapporto incrementale esistono, sono entrambi finiti ma diversi tra loro. Ossia se:

−f'(x) < f'(x+) < 0 ∈ lim = l ∈ R, x→x+0

−f'(x) > f'(x-) > 0 ∈ lim = l ∈ R, x→x-0

con l1 ≠ l2

Esempio.

Considero f(x) = |x|, allora x=0 è un punto angoloso per f(x).

Punto cuspidale

Si dice che è un punto cuspidale per una funzione se il limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti di segno opposto. Ossia se:

−∞ < lim f'(x) < +∞, x→x+

−∞ > lim f'(x) > +∞, x→x-

conseguenzaˆ ′f > 0;′f < 0)Ove la funzione è crescente;

′f > 0Ove la funzione è decrescente.ˆ ′f < 05.1 Massimi e minimiCosa accade quando esiste un punto tale che ?′∈x I f (x ) = 00 0In questi casi il punto può essere un candidato punto di o dix massimo0.minimoTuttavia siamo certi che se , allora non è né di massimo, né di′ ̸f (x ) = 0 x0 0minimo. Quindi vale la seguente implicazione: ′x un punto di massimo (o minimo) =⇒ f (x ) = 00 0Attenzione!Se non è detto che sia un punto di massimo (o minimo). Ad′f (x ) = 0 x0 0esempio se consideriamo la funzione , si ha che .′5 4f (x) = x f (x) = 5x, tuttavia 0 non è un punto di massimo o minimo per .′ ⇐⇒f (x) = 0 x = 0 fQuesto perché la derivata prima non cambia di segno a destra e a sinistra di 0.Quindi non basta che ma bisogna anche vericare che cam-′ ′f (x ) = 0 f0bi

segno a destra e a sinistra di .x 0 86 DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE

Definizione. Sia una funzione e sia .→ ∈f : I x IR 0

Si denisce di in come la derivata della derivata prima derivata seconda f x 0 di . Ossia:

f ′′ ′ ′f (x ) := (f ) (x )0 0

In modo analogo si può denire la di una funzione come−derivata n esimala derivata della derivata (n-1)-esima di . Ossia:

f ′(n) (n−1)f := (f )7 CONCAVITA' E CONVESSITA'

Lo studio della derivata seconda, in particolare, ci permette di trarre delle informazioni sulla concavità e sulla convessità di una funzione .f

Metodo:

Sia una funzione data;ˆ f

Ci calcoliamo la derivata prima ;ˆ ′f

Ci calcoliamo la derivata seconda ;ˆ ′′f

Studiamo il segno della derivata seconda, ossia studiare (e diˆ ′′f > 0 conseguenza ;′′f < 0)

Ove la funzione è convessa;ˆ ′′f > 0

Ove la funzione è concava.ˆ ′′f <

07.1 Punti di esso

Cosa accade quando esiste un punto tale che f''(x) = 0?

In questi casi il punto può essere un candidato punto di flesso. Quindi x è un punto di flesso se e solo se f(x) = 0.

Attenzione! Se f(x) = 0, non è detto che x sia un punto di esso. Bisogna anche verificare che cambi segno a destra e a sinistra di x.

COME DISEGNARE IL GRAFICO DI FUNZIONI CONOSCENDO UN PARTICOLARE GRAFICO

Conoscendo il grafico di una funzione è possibile disegnare un grafico di una funzione "simile" a quella data senza studiarla nuovamente.

Nei grafici qui sotto rappresentati, la funzione in rosso rappresenta quella di cui già sappiamo il grafico, mentre la funzione in nero rappresenta la funzione che è disegnata avendo informazioni sulla precedente.

Disegnare f(x+k), con k>0 traslato

In tal caso il grafico della funzione sarà di

Consideriamo la funzione f(x) = x², di cui conosciamo il grafico, infatti risulta essere una parabola con vertice nell'origine e la concavità verso l'alto.

Quindi per traslare la funzione precedentemente di 2 unità lungo l'asse delle x negativo, otteniamo la funzione f(x + 2) = (x + 2)².

Disegnare f(x-k), con k>0 traslato

In tal caso il grafico della funzione sarà di 2 unità lungo l'asse delle x negativo.

Disegnare f(x)+k, con k>0 traslato

In tal caso il grafico della funzione sarà di 2 unità lungo l'asse delle x positivo.

Consideriamo la stessa funzione precedente. Quindi per graficare basterà traslare la funzione precedente di 3 unità lungo l'asse delle y.

y

Disegnare f(x)-k, con k>0 traslato

In tal caso il grafico della funzione sarà di k unità lungo l'asse delle y negativo.

Esempio: Consideriamo la stessa funzione precedente. Quindi per graficare basterà traslare la funzione precedente di 1 unità lungo l'asse delle y negative.

y

Disegnare f(-x) riflessione

In tal caso il grafico della funzione sarà la riflessione di f(x) lungo l'asse delle y, oppure la riflessione di f(x) lungo la retta di equazione y = 0.

Esempio: Consideriamo f(x) = -x. Quindi per graficare f(-x) = -x - 1 basterà riettere la funzione precedente lungo l'asse delle y.

delle .y 10 y