Appunti sullo studio di funzioni

BREVI APPUNTI SULLO STUDIO DI

FUNZIONE

Francesco Di Leo

21/06/2022

Indice

1 DOMINIO FUNZIONI 2

2 FORME INDETERMINATE 3

2.1 Quali sono le forme indeterminate? . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Forme "semi-indeterminate" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 LIMITI NOTEVOLI 4

3.1 Limiti notevoli trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Limiti notevoli esponenziali e logaritmici . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Altri limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4 DERIVATA PRIMA 5

4.1 Derivate delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 Regole di derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.3 Punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 CRESCENZA E DESCRESCENZA 8

5.1 Massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6 DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE 9

7 CONCAVITA' E CONVESSITA' 9

7.1 Punti di esso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8 COME DISEGNARE IL GRAFICO DI FUNZIONI CONO-

SCENDO UN PARTICOLARE GRAFICO 10

1

1 DOMINIO FUNZIONI

Sia una funzione. Determinare il dominio della funzione signica

f Dom(f )

trovare tutti quei numeri tali che la funzione sia denita in .

x f x

In altre parole se non ha signicato.

∈

x / Dom(f ) =⇒ f (x)

Analizziamo il dominio per le varie tipologie di funzioni:

FUNZIONE DOMINIO

p (x) R

n

p (x) \ {q ̸

n (x) = 0}

R m

q (x)

m

√ ≥

x, n pari x 0

n

√

x, n dispari

n R

̸

log (x), a > 0, a = 1 x> 0

a

x ̸

a , a > 0, a = 1 R

sin(x), cos(x) R

π

\ { ∈

tan(x) + kπ}, k

R Z

2

\ {kπ}, ∈

cot(x) k

R Z

arcsin(x), arccos(x) [−1, 1]

arctan(x) R

2

2 FORME INDETERMINATE

2.1 Quali sono le forme indeterminate?

Le forme indeterminate sono sette:

∞

0 h i ∞ 0 0

· ∞] − ∞]

[0 [1 ] [+∞ [0 ] [∞ ]

∞

0

Quando ci si imbatte in una delle seguenti forme, non si può dire a priori

il risultato del limite, ma è necessario manipolare l'espressione per liberarci

dalla forma indeterminata.

2.2 Forme "semi-indeterminate"

Sono operazioni non lecite, tuttavia danno luogo a risultati certi. Le possiamo

analizzare come segue: ;

1. a

a ∀a −∞ ∀a

= +∞ > 0 = < 0

+ +

0 0

2. ;

a a

−∞ ∀a ∀a

= > 0 = +∞ < 0

− −

0 0

3. a ∀a ̸

= 0 = 0

∞ ;

4. −∞

+∞ −∞

= +∞ =

+ +

0 0

5. ; −∞

+∞ −∞

= = +∞

− −

0 0

6. 0 =0

∞

7. ∀a ∈

+∞ + a = +∞ R

8. −∞ −∞ ∀a ∈

+ a = R

9. ;

· ∀a · −∞ ∀a

+∞ a = +∞ > 0 +∞ a = < 0

10. ;

−∞ · −∞ ∀a −∞ · ∀a

a = > 0 a = +∞ < 0

11. n ∀n

(+∞) = +∞ > 0

12. ;

n n −∞

(−∞) = +∞ se n pari (−∞) = se n dispari

3

3 LIMITI NOTEVOLI

3.1 Limiti notevoli trigonometrici

1. ;

sin(x) sin(f (x))

lim = 1 lim =1

x→0 f (x)→0

x f (x)

2. ;

1−cos(x) 1−cos(f (x))

1 1

lim lim

= =

x→0 f (x)→0

2 2

x 2 (f (x)) 2

;

3. tan(f (x))

tan(x) = 1 lim =1

lim

x→0 f (x)→0

x f (x)

4. ;

arcsin(x) arcsin(f (x))

lim = 1 lim =1

x→0 f (x)→0

x f (x)

5. ;

arctan(x) arctan(f (x))

lim = 1 lim =1

x→0 f (x)→0

x f (x)

3.2 Limiti notevoli esponenziali e logaritmici

1. ;

1 1

x f (x)

lim (1 + ) = e lim (1 + ) = e

x→∞ f (x)→∞

x f (x)

2. ;

ln(x+1) ln(f (x)+1)

lim = 1 lim =1

x→0 f (x)→0

x f (x)

3. ;

log (x+1) log (f (x)+1)

1 1 ∀a ̸

lim = lim = > 0, a = 1

a a

x→0 f (x)→0