Appunti Matematica

Richiami di geometria

Geometria euclidea

Punto: Ente fondamentale della geometria, privo di una qualsiasi dimensione.

Segmento: Parte di retta compresa tra due punti, detti estremi del segmento.

Retta: Ente fondamentale della geometria, priva di spessore, ha una sola dimensione: la lunghezza.

Piano: Ente fondamentale della geometria, privo di una qualsiasi dimensione.

Figura geometrica

Una figura geometrica è definita come un insieme di punti, il quale può avere caratteristiche diverse.

• Figura piana: Se si tratta di punti complanari, ovvero appartenenti allo stesso piano, ed è bidimensionale (es. triangolo, rettangolo).
• Figura solida: Se si tratta di punti su piani diversi ed è tridimensionale (sfera, cilindro).

Triangolo

Lato: Il lato, nella geometria piana, è ognuno dei segmenti che delimitano un poligono.

Altezza: Segmento che partendo da un vertice forma un angolo di 90° (un angolo retto) con il lato opposto.

Cateto: Ciascuno dei due lati di un triangolo rettangolo che formano l'angolo retto.

Ipotenusa: Il lato opposto all'angolo retto (in un triangolo rettangolo).

Il triangolo è un poligono con tre lati ed in quello equilatero questi tre lati sono di uguale dimensione; stessa cosa l’altezza. Se consideriamo invece una metà del triangolo equilatero, otteniamo un triangolo di lato l, altezza h e base a, che non sarà più equilatero, ma ha una caratteristica: avere un angolo di 90° e viene definito triangolo rettangolo. In questo, i due lati a e h vengono denominati cateti e il lato l viene chiamato ipotenusa.

Un triangolo è invece isoscele quando due dei suoi tre lati sono uguali, mentre è scaleno quando tutti e tre i lati sono diversi. In entrambi i casi non avremo angoli di 90°.

Teorema di Archimede

• Per il triangolo rettangolo: Ipotenusa = cateto + cateto -> I = a² + h²
• Per il triangolo equilatero: I = (h/2)² + h² = (4/3)h² e l = (2/√3)h e A = √3/4 l²

Area

L'unità di misura dell'area è il metro quadrato (m²); quest'ultimo è definito come l'area di un quadrato il cui lato è lungo un metro.

• Quadrato (lati di uguali dimensioni): A = l²
• Rettangolo (lati di dimensioni diverse): A = b x h

Volume

L'unità di misura del volume è il metro cubo (m³). Il volume di un metro cubo è il volume di un cubo il cui lato è lungo un metro.

• Cubo (lati di uguali dimensioni): V = l³
• Parallelepipedo (lati (base, altezza e spessore) di dimensioni diverse): V = a x b x c

Cerchio

Il cerchio è una parte di piano delimitata da una circonferenza. La circonferenza è quel luogo geometrico costituito da punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio e il diametro è due volte il raggio. In un cerchio il rapporto tra la lunghezza della circonferenza ed il diametro è sempre costante ed è rappresentato da π che è uguale a circa 3.14.

Formule

• C (circonferenza) = 2 π r (m)
• A (area) = π r² (m²)
• Se aggiungiamo la terza dimensione parliamo di sfera e il volume sarà V (volume) = 4/3 π r³ (m³)

Cilindro

Il cilindro si ottiene sviluppando una circonferenza in altezza. V = h π r² è come se fosse base x altezza, per cui area del cerchio di base per altezza.

Angoli

Angoli

Un angolo è ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano quando consideriamo due semirette (r ed s) che hanno origine nello stesso vertice (O). Gli angoli si misurano in gradi (°) o in radianti.

• Se r ed s non coincidono, avremo un’area del piano all’interno delle semirette che forma l’angolo α ed esternamente ad esse abbiamo invece l’angolo β.
• Se r coincide con s una delle due parti è vuota (α non esiste), l’altra (β che è tutto) viene chiamata angolo giro e corrisponde a 360°.
• Se r ed s hanno versi opposti si forma l’angolo piatto (in realtà sono due, sia α che β) e vale 180°.
• Se r ed s sono perpendicolari si forma un angolo di 90°, ovvero il cosiddetto angolo retto.

Radianti

Se consideriamo di avere un angolo α (creato dalle semirette s ed r) e ipotizziamo di avere una circonferenza con centro nel vertice O delle due semirette e con raggio pari ad 1, la misura di α in radianti sarà pari alla lunghezza dell’arco di circonferenza intercettato dalle due semirette s ed r. Quindi non è in gradi, ma è proprio pari ad un tratto di circonferenza. L’angolo giro varrà una circonferenza unitaria, quindi: 2π rad. L’angolo piatto sarà: π rad. L’angolo retto: π/2.

Possiamo calcolare il valore degli angoli in gradi o radianti tramite le proporzioni: ° : rad = 360 : 2π.

Esempio: per calcolare il valore di 1 rad ° : 1 = 360 : 2π ° = 360 x 1 / 2π ° = 360/2π ° = ≈ 57, 1 rad = ≈ 60°

Stessa cosa per trovare quanto vale un angolo in radianti, avendo i gradi.

Consideriamo di avere un piano cartesiano e di inscriverci una circonferenza con centro corrispondente al centro del piano cartesiano e consideriamo di avere l’angolo α formato da due semirette di cui una corrispondente all’asse x del piano cartesiano e l’altra passante per un punto P della circonferenza. Se α è espresso in radianti il seno è corrispondente all’ordinata di P ed il coseno all’ascissa.

Orientamento degli angoli

Sono positivi quando vanno in senso antiorario, viceversa sono negativi se girano in senso orario. Ricordiamo che la circonferenza può essere percorsa più volte, all’infinito.

Strumenti matematici di base

Rapporti/frazioni

Consideriamo l’insieme dei numeri razionali Q che è un sottoinsieme di R. Possiamo definire un numero razionale Q come un rapporto a/b in cui a e b appartengono all’insieme dei numeri relativi Z, quindi sono numeri interi e possono avere segno positivo o negativo (+ oppure - ); b deve essere diverso da zero. In un rapporto se il numeratore aumenta anche il rapporto aumenta e viceversa. Se il denominatore aumenta, il rapporto diminuisce e viceversa. Se moltiplico o divido numeratore e denominatore per la stessa quantità, il valore del rapporto non cambia.

Proporzione

La proporzione è un’uguaglianza di rapporti. I numeri più vicini all’uguale si chiamano medi, quelli più lontani si chiamano estremi.

In una proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi quindi: a : b = c : d → b x c = a x d

Percentuali

Le percentuali sono delle frazioni con denominatore 100; es. 75% = 75 / 100. In numeri decimali corrispondono a 0, e due posti occupati dai numeri interi della cifra, cioè se ho 75% è uguale a 0,75; se ho 2,5% è uguale a 0,025. Il 22% di 250 euro è 22/100 x 250 euro = 0.22 x 250 euro = 55 euro

Se un qualcosa aumenta di una tot di percentuale rispetto ad un valore già conosciuto, come facciamo a trovare quello nuovo? Es. se una produzione di grano è aumentata del 3% rispetto all’anno precedente ed io so che nell’anno precedente la produzione è stata 15 tonnellate t, cosa faccio? Quindi 15 tonnellate dell’anno prima + il 3% di queste 15 tonnellate = 15 + 3/100 x 15 = 15,045 t

Potenze aⁿ

Se abbiamo questa viene definita potenza n-esima di un numero a, in cui a è la base ed n è l’esponente. aⁿ significa moltiplicare a per sé stesso, n volte aⁿ = a x a x a x a … x a

es. 5³ = 5 x 5 x 5 = 125

Sappiamo che:

• 0 non è una potenza definita, non esiste.
• a⁰ = 1 → qualunque numero elevato 0 è uguale a 1.
• 0⁰ = 1 → zero elevato a qualunque cosa è uguale a 0.
• a^-n = 1 / aⁿ
• es. (-5)² = 25 | (-5)³ = -125 ricordiamo la regola dei segni (-) x (-) e (+) x (+) = (+) | (+) x (-) = (-)
• a^m x aⁿ = a^m+n → quando ho un prodotto di due potenze con la stessa base ed esponenti diversi, il risultato sarà una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
• a^m / aⁿ = a^m-n → quando ho un rapporto/frazione di due potenze con la stessa base ed esponenti diversi, il risultato sarà una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
• (a^m)ⁿ = a^{m x n} → il risultato è una potenza di base a ed esponente pari al prodotto degli esponenti.
• a^m x b^m = (a x b)^m → il prodotto tra due potenze che hanno base diversa, ma uguale esponente è pari al prodotto delle due basi elevato all’esponente dato.
• a^m / b^m = (a / b)^m → il quoziente tra due potenze che hanno base diversa, ma uguale esponente è pari al quoziente delle basi elevato all’esponente dato.

Logaritmi

Se ho aⁿ = b e conosco il valore di a e di b, come faccio a trovare n? Utilizzo il logaritmo: n = log_ab dove a è la base e b è chiamato argomento del logaritmo.

Quindi il logaritmo di un numero reale positivo b rispetto ad una base a, è quel numero n al quale bisogna elevare la base a perché il valore della potenza sia uguale a b.

La base (a) può essere qualsiasi numero ≠ 1; quelle più utilizzate nei logaritmi sono:

• base 10 log oppure log₁₀
• base e log oppure ln → viene chiamato logaritmo naturale ed “e” è il numero di Nepero o Eulero ed è pari a circa 2,71

L'argomento (b) deve essere sempre un numero reale positivo.

Per passare dal sistema con base a al sistema con base c si applica la seguente formula:

Sappiamo che:

• Il logaritmo del numero 1 rispetto a qualsiasi base è pari a 0 log_a1 = 0 anche perché a⁰ = 1
• Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi.
• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi.
• Il logaritmo di una potenza è pari al prodotto dell’esponente per il logaritmo.
• Il logaritmo di un radicale è pari al logaritmo dell’argomento frazionato l’esponente della radice.

I logaritmi sono importanti e si incontrano in diversi ambiti, ad esempio: l’acidità di una soluzione dipende dalla concentrazione degli ioni idrogeno e per ottenere il pH basta appunto fare il logaritmo negativo in base 10 di H⁺

Notazione scientifica

La notazione scientifica è un altro modo, più comodo, per descrivere i numeri, che si basa sulle potenze di 10 e facilita molto i calcoli, soprattutto con numeri grandi o piccoli.

Esempio: 1.000 x 35.640 = 1 x 10³ (3 equivale al numero di zeri) x 35.640. 35.640 posso anche scriverlo come 3,564 x 10⁴ perché partendo dal 3, che è il numero che ho messo prima della virgola, ho 4 posizioni fino a finire il numero, quindi 10⁴. Quindi: 1 x 10³ x 3,564 x 10⁴ adesso metto vicini numeri con numeri e potenze con potenze = 1 x 3,564 x 10³⁺⁴ = 3,564 x 10⁷

Stessa identica cosa succede con i numeri piccoli, solo che per far capire che non sto aggiungendo degli zeri, ma che questi si trovano prima della virgola aggiungo il segno meno all’esponente. Sappiamo poi che una potenza con esponente negativo può essere scritta come 1 / la potenza positiva. Es. → è 10^-1 quindi 1 posto dopo la virgola, fosse stato alla -2 avrei avuto 0,018075

Teoria degli insiemi

Insieme

Un insieme è una collezione di elementi determinati e distinti tra di loro (graficamente si rappresentano come dei punti all’interno dell’insieme), da noi percepito o pensato, che sono considerati come un tutto unico; quindi, devono avere qualche caratteristica/proprietà che li accomuna. Gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole; gli elementi con le lettere minuscole.

Simboli:

Rappresentazione degli insiemi e degli elementi

• Diagramma di Eulero-Venn: la curva chiusa ci fa capire che abbiamo un insieme ben preciso formato da elementi ben precisi. F è il nome dell’insieme (es. l’insieme della frutta) e al suo interno troviamo gli elementi (es. i diversi tipi di frutta). Se c’è un elemento che non appartiene al nostro insieme (es. latte, che non è una frutta) viene indicato fuori dalla nostra area di insieme.
• Elencazione degli elementi: è semplicemente un elenco di tutti gli elementi del mio insieme. Si usano le parentesi graffe e al loro interno avremo le lettere minuscole, che indicano gli elementi che appartengono al nostro insieme. Se c’è un elemento che non appartiene all’insieme viene riportato con il simbolo corrispondente (vedi figura).
• Se abbiamo un numero di elementi elevato e non finito, utilizziamo il simbolo dell’infinito ∞.
• In base ad una proprietà caratteristica: in questo caso usiamo solo una lettera (solitamente per convenzione la x) e definiamo che: F è costituito da tutti quegli elementi x tale per cui x è un frutto.

Relazioni tra insiemi

• Uguaglianza: A=B quando tutti gli elementi che appartengono ad A appartengono anche a B.

Esempio: triangolo equilatero → sappiamo che ha sia tutti e tre i lati uguali, che tutti e tre gli angoli uguali, quindi: La simbologia soprastante indica che: per ogni a appartenente all’insieme A ne segue che a appartiene anche a B ma vale anche che per ogni b che appartiene a B allora b appartiene anche ad A.

• Inclusione: corrisponde alla proprietà di essere un sottoinsieme. A è un sottoinsieme di B quando ogni elemento di A appartiene anche a B, MA non è il contrario, perché ci saranno degli elementi di B che non appartengono ad A. Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso per cui se ad es. A è uguale a B il sottoinsieme si definisce improprio. A è sottoinsieme proprio di B, A è sottoinsieme improprio di B.

Esempio con gli insiemi numerici: N è l’insieme dei numeri interi, maggiori di zero; quindi è un sottoinsieme dei numeri interi Z, sia maggiori che minori di zero, che a sua volta è sottoinsieme dei numeri razionali Q, ovvero tutti i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione.

Operazioni tra insiemi

• Intersezione A∩B: se abbiamo due insiemi es. insieme A (degli alimenti) ed insieme F (della frutta) che si intersecano, cioè A avrà degli alimenti che non sono frutta, F avrà delle frutta che non sono alimenti (ad es. frutta velenosa e non commestibile), ma ci sono frutta che sono alimenti e questi faranno parte dell’insieme intersezione. Quindi l’insieme intersezione è costituito da tutti quegli elementi che appartengono sia ad A che ad F.
• Unione AꓴB: insieme degli elementi che appartengono o ad A o a B, non è necessario che appartengano ad entrambi. Se abbiamo un insieme A infinito e un insieme B infinito, l’insieme UNIONE è infinito.

Esempio con gli insiemi numerici: R è l’insieme dei numeri razionali Q e di quelli irrazionali I.

Esercizi

Consideriamo l’insieme A e B:

Il piano cartesiano

Variabile

Le variabili sono quantità che possono variare e in genere di indicano con le ultime lettere dell’alfabeto (x, y, z..). Le variabili si dividono in due classi: dipendenti ed indipendenti. Solitamente la variabile indipendente si indica con x, mentre quella dipendente con y.

Esempio: se ho una pentola con l’acqua sul gas, accendo il gas e con il passare dei minuti (tempo) la temperatura dell’acqua aumenta. Il tempo è una variabile indipendente, perché va avanti e non lo posso fermare; la temperatura invece è una variabile dipendente perché dipende appunto dal tempo, più tempo passa e più aumenterà.

Costante

Una costante è una quantità che conserva il suo valore, sempre (es. velocità della luce) o durante un determinato fenomeno preso in considerazione (es. velocità in macchina: può essere costante in un determinato lasso di tempo, poi posso frenare o accelerare). Nel caso dell’esempio precedente potrebbe essere quanto calore il gas cede alla pentola. Solitamente le costanti di indicano con le prime lettere dell’alfabeto (a, b, c..) o per quanto riguarda leggi dell’universo o di importanza simile si usano le lettere dell’alfabeto greco.

Queste formule con x,y, utilizzate per descrivere i fenomeni, si dicono forme analitiche e sono utili per fare i calcoli. Spesso invece è più comoda un’altra forma, la rappresentazione grafica, per vedere in maniera intuitiva l’andamento del fenomeno, cioè cosa succede durante il fenomeno, cresce/si ferma/decresce.

Rappresentazione grafica

Nella rappresentazione grafica abbiamo, solitamente, due assi perpendicolari tra loro (si forma un angolo di 90°) che rappresentano le due variabili:

• Un asse orizzontale, chiamato asse delle ascisse, che va da -∞ a +∞ e che rappresenta la variabile indipendente (x). Es. Tempo (min)
• Un asse verticale, chiamato asse delle ordinate, che va da -∞ a +∞ e che rappresenta la variabile dipendente (y). Es. Temperatura (°C)

Nell’esempio citato precedentemente della pentola sul fuoco vediamo intuitivamente l’andamento della temperatura dell’acqua nella pentola. Questa rappresentazione grafica prende il... [testo troncato]