Appunti Matematica

Funzione Quadratica

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data, detta direttrice (definizione standard che però non ci interessa molto).

Una parabola è il grafico di una funzione quadratica, ovvero una funzione in cui la variabile x è presente al quadrato: y = ax^2 (formula base, ma può diventare anche: y = ax^2 + bx + c)

La larghezza varia al variare dell'esponente, ad esempio x^2 è una parabola più aperta di x^4. Maggiore è l'esponente, più stretta è la parabola.

Il dominio è tutto R.

Il codominio cambia in base a se è concava o convessa. È una funzione continua.

Se considerato tutto il grafico non possiamo dire che è crescente o decrescente. Per farlo dobbiamo considerare separatamente i due rami e avremo un intervallo in cui è decrescente e un intervallo in cui è crescente.

Dal grafico della funzione y=x^2

Vediamo anche che è simmetrica rispetto all'asse y, per cui è una funzione pari.

Vediamo che passa per l'origine degli assi.

tt tt tttttt fi ffitt tt tt tt fiti fi tt fi tt ti ti ti tt ti tt fi tt tt tt tt

La parabola può essere concava o convessa:

• Una funzione f(x) definita in A⊆R, si dice concava in A se: il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sotto del grafico stesso.
• Una funzione f(x) definita in A⊆R, si dice convessa in A se: il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sopra del grafico stesso.

La funzione convessa è simmetrica rispetto alla concava.

Dalla formula analitica capiamo se è concava o convessa in base al fatto che ci sia o meno il - davanti alla x. Se abbiamo y=x^2 sarà convessa, se abbiamo y=-x^2 sarà concava.

Una funzione convessa è limitata inferiormente; vuol dire che:

Ǝ x punto di minimo assoluto tale per cui: x∈A f(x) ≥ f(x)

∀0 0= Esiste un punto x chiamato min ass tale per cui per tu i pun di x nel mio insieme, il valore della mia funzione è sempre maggiore o uguale al valore della funzione con x ; vuol dire che tu i valori della mia funzione saranno al di sopra o uguali a x .

Questa parabola non è limitata superiormente (va all’infinito).

In maniera simmetrica, possiamo dire che una funzione concava è limitata superiormente, cioè: Ǝ x punto di massimo assoluto tale per cui: x∈A f(x) ≤ f(x )∀0 0

Se a aumenta, la parabola assume una forma più chiusa (linea tratteggiata).

La parabola non è una funzione lineare.

Se più spesso che avere la funzione elementale y=x^2 ho ad esempio y=x^2 - 4 oppure y=x^2 + 3, come sarà il grafico?

Uguale al primo caso, ma TRASLATO rispetto di -4 e +3:

FUNZIONE POLINOMIALE

La funzione quadratica è un esempio di funzione polinomiale, cioè funzione di grado superiore.

Es. y = 3x + 4x +6x +33 2

Queste

funzioni possono avere le forme più strane. In genere una funzione polinomiale ha dei massimi assoluti, dei minimi assoluti, ma anche dei massimi e minimi relativi. In x=c vi è un minimo relativo perché non è un minimo per tutti gli x appartenenti alla funzione, ma ad es. solo per quelli che si trovano nel tratto in cui c è nel mezzo. Dunque ho un minimo o un massimo relativo quando la definizione di x è vera per un'intorno del mio punto x; se esco dall'intorno non vale più (∀ x ad un intorno di x). ∈ 0 Se ad esempio della funzione del grafico soprastante dovessero chiederci se è concava o convessa la risposta sarebbe che dipende dall'intervallo che andiamo a considerare. Quindi, IMPORTANTE: quando all'esame chiede in questi casi se è concava o convessa, se non specifica "in tutto" o "nell'intervallo" dobbiamo chiederglielo! Abbiamo quindi introdotto: - Differenza tra massimo assoluto

E massimo relativo: posso ad esempio avere un massimo assoluto per il mio intorno di x0, ma se considero tutta la funzione in tutto R quel massimo assoluto diventa un massimo relativo (appunto relativo a quell'intorno, perché magari la funzione ha invece un altro punto più "alto" che è il massimo assoluto).

Se nella mia funzione ho un massimo assoluto allora posso dire che è superiormente limitata. Se ho un minimo assoluto sarà inferiormente limitata.

FUNZIONE CUBICA

La funzione cubica es. y=x^3 oppure y=x^3 - 4x è una funzione definita su tutto R, dunque il dominio è tutto R poiché come vediamo dalla formula analitica non ci sono denominatori, né logaritmi o altro in cui dobbiamo specificare delle condizioni specifiche. Anche il codominio è tutto R, come possiamo vedere osservando il grafico (in

particolareosservando l'asse y). È una funzione dispari, per cui il suo gra co è simmetrico rispetto all'origine degli assi. Essendo simmetrica rispetto all'origine, passa per l'origine degli assi. Y=x^3 è una monotona crescente. Non ha punti di massimo o minimo ne assoluti ne relativi, infatti èillimitata sia superiormente che inferiormente. Ed è una funzione continua, quindi non abbiamo punti di discontinuità. Tutte le funzioni con esponente pari sono come la parabole, tutte quelle con esponente dispari sono come la cubica.

FUNZIONE FRATTA

Una funzione si dice fratta quando la variabile indipendente x si trova al denominatore. Proprio per questo motivo il dominio non è tutto R, ma dobbiamo sempre porre il denominatore diverso da 0 e ottenere le condizioni di esistenza esatte della funzione che stiamo studiando. Consideriamo la funzione elementare y=1/x (iperbole). Il dominio sarà x≠0, quindi è definita.

Per ogni x appartenente ad R, diverso da 0. L'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da due punti ssi detti fuochi (definizione standard che però non ci interessa molto). Di conseguenza, in questo caso, x=0 è un punto di discontinuità. Possiamo da qui dedurre che non si tratta di una funzione continua.

La funzione fratta è una funzione dispari, infatti il grafico è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

L'asse x è un asintoto. Vediamo infatti che per x che tende a +∞ o a -∞ y si avvicina sempre più allo 0 senza mai raggiungerlo. È una funzione monotona decrescente.

Non ci sono massimi o minimi né assoluti né relativi.

Se ho y= - 1/x avrò un grafico simmetrico rispetto al precedente.

FUNZIONE ESPONENZIALE

Una funzione è detta esponenziale quando la variabile indipendente x si trova appunto all'esponente. Si tratta di una funzione definita

in tutto R, per cui il dominio è appunto tutto R.

Dal grafico vediamo che è una funzione sempre positiva, quindi il codominio è per y>0.

Dal suo grafico possiamo vedere che non è simmetrico infatti non è una funzione né pari né dispari.

Considerando la funzione esponenziale naturale y=e^x vediamo che il grafico di questa funzione passa per il punto di coordinate (0,1), quindi interseca l'asse y in questo punto.

RICORDA: e è il numero di Nepero e si può approssimare a 2,71. Viene introdotto questo valore perché rispecchia l'andamento di tantissimi fenomeni naturali.

L'asse delle x è un asintoto poiché per x che tende a -∞ y si avvicina sempre più allo 0 senza mai raggiungerlo.

Si tratta di una funzione monotona crescente, descrive fenomeni che all'aumentare della x crescono all'inizio molto lentamente e poi molto rapidamente, come possiamo notare dal grafico.

Non ci sono

massimi e minimi ne assoluti ne relativi. Vediamo sempre dal gra co che è una funzione continua. La funzione esponenziale non è solo con base e, ma può avere come base un qualsiasi numero a> di 0: y = f (x) = a^x

Se a > 1 la funzione passerà per (0,1). Se 0 < a < 1 la funzione passerà sempre per (0,1), ma il gra co si inverte. È sempre positiva, ma non è più strettamente crescente; sarà strettamente decrescente. L'asse delle x è sempre un asintoto, ma a differenza di prima, al diminuire dei valori di x la funzione assume valori molto grandi. Se a=1 la funzione sarà una retta costante che passa per 1.

FUNZIONE LOGARITMICA

Quando abbiamo una funzione logaritmica dobbiamo ricordarci che l'argomento del logaritmo deve sempre essere >0. Questo è fondamentale perché ci serve per definire il dominio o campo di esistenza della funzione. Se abbiamo la

La funzione logaritmica naturale y=ln(x), x deve essere >0. Quindi il dominio è x>0. La funzione è definita per x>0. Per x < 0 la funzione non esiste. Di conseguenza il dominio non è tutto R.

Sapendo che il dominio è x>0 possiamo dire che la funzione logaritmica naturale non è sempre positiva. Lo è solo per x>0.

Il codominio è invece tutto R. E possiamo anche dire che per x>1 la funzione è positiva, per 0<x<1 assume valori negativi.

Osservando il grafico possiamo dire che:

• La funzione non è né pari né dispari poiché non abbiamo simmetrie rispetto all'asse y o rispetto all'origine.
• Interseca sempre l'asse x nel punto di coordinate (1,0).
• L'asse delle y è un asintoto poiché per x che tende a 0 y tende a -∞.
• È una funzione continua.
• Crescente, infatti descrive fenomeni che crescono prima rapidamente e poi più lentamente, quasi a diventare piatta.

Sono massimi o minimi né assoluti né relativi.

La funzione logaritmica non esiste solo con base e, ma può avere come base un qualsiasi numero a > 0 e ≠ 1: y = f (x) = log (x).

Per a > 1 è come per la funzione del logaritmo naturale; quindi, man mano che mi avvicino allo zero la funzione assume valori sempre più piccoli (negativi), man mano che vado verso + ∞ la funzione cresce, ma in maniera molto lenta, si dice che diventa piatta. Per a > 1 la funzione è monotona crescente.

Per 0 < a < 1 il grafico sarà a specchio rispetto all'asse delle x; quindi, man mano che mi avvicino allo zero la funzione assume valori sempre più grandi (positivi). Per 0 < a < 1 la funzione è monotona decrescente.

FUNZIONE PERIODICA