Matematica, appunti

x→x0g(x) = L

Dimostrazione

Preso ϵ > 0 arbitrario, si deve dimostrare che∃δ > 0 tale che∀x∈ ∈ + ϵ).

Siccome(x0−δ,x0+δ)∩A,x = x0 si ha g(x) (L−ϵ,Llimx→x0 f(x) = L, dato ϵ > 0 esiste δ1 > 0 tale che ∀x ∈ (x0⇒ < f(x) < L + ϵ (∗)−δ1,x0 + δ1)∩A,x = x0 L−ϵ

Siccome limx→x0ϵ > 0 esiste δ2 > 0 tale che ∀x ∈h(x) = L, dato (x0 −δ2,x0 +⇒ < h(x) < L + ϵ (∗∗)δ2)∩A,x = x0 L−ϵ

Allora, preso δ =δ)∩A valgono sia (∗)min(δ1,δ2) si ha che in (x0 −δ,x0 + sia (∗∗).∀x ∈Inoltre si ha f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) in (x0−δ,x0 +δ)∩A. Quindi (x0−δ,x0< f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ϵcioè+δ)∩A si ha: L−ϵg(x) ∈ + ϵ) ∀x ∈ ϵ(L−ϵ,L

(x₀ - δ, x₀ + δ) e quindi, essendo arbitrario, si ha: lim x→x₀ g(x) = L.

Teorema di permanenza del segno

Sia f : A ⊂ ∈ R → R, A aperto, x₀ ∈ A∪∂A. Se limx→x₀ f(x) = L ≠ 0, allora esiste un intorno di x₀, U(x₀) tale che f(x) ha lo stesso segno di L per ogni x U(x₀)∩A, x = x₀.

Dimostrazione

Sia L > 0. Scegliamo ϵ = L/2 > 0. Siccome limx→x₀ f(x) = L, esiste un intorno di x₀ U(x₀) = (x₀ - δ, x₀ + δ) tale che per ogni x ∈ U(x₀)∩A, x = x₀, f(x) ∈ (L - ϵ, L + ϵ) = (L - L/2, L + L/2) = (L/2, 3/2 L). Quindi, 0 < L/2 < f(x) < 3/2 L. Cioè f(x) > 0 per ogni x ∈ U(x₀)∩A, x = x₀.

Algebra dei limiti

Siano f e g due funzioni tali che lim x→x₀ f(x) = L e lim x→x₀ g(x) = M. Allora:

1. Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti: lim x→x₀ (f(x) + g(x)) = L + M
2. Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti: lim x→x₀ (f(x) * g(x)) = L * M

x→(f(x)·g(x)) = L·M3. Il limite del quoziente è uguale al quoziente dei limiti:se M ̸= 0, lim x→x0 f(x) g(x) = L/M (•)Per dimostrare la (•), èsufficiente dimostrare chelim x→x01/g(x)=1/M

Calcolo di limiti

Limiti di funzioni elementari

Teorema Valgono i seguenti limiti elementari:

1. limx→x0(c) = c
2. limx→x0(x) = x
3. limx→x0 f(x) = f(x0) per f(x) = ax,logax,sinx,cosx∀x0 ∈ R∀a
4. limx→+∞ax = +∞ e limx→−∞ax = 0 > 1= 0 e limx→−∞ax = +∞ ∀a
5. limx→+∞ax < 1
6. limx→+∞loga x = +∞ e limx→0+ loga x = −∞ ∀a > 1∀a
7. limx→+∞loga x = −∞ e limx→0+ loga x = +∞ < 1
8. limx→±∞sinx non esiste
9. limx→±∞cosx non esiste

Forme indeterminate

• +∞−∞, −∞+∞, ∞/∞,0/0, ∞·0

1. g₂ infinito di ordine inferiore a g₁ per x → x₀, allora lim x→x₀ f(x) g(x) = lim x→x₀ f₁(x) + f₂(x) / g₁(x)+ g₂(x) = lim x→x₀ f₁(x) / g₁(x) se questo limite esiste.
2. Infinitesimi:
   • Data una funzione f, se si ha: lim x→x₀ f(x) = 0 si dice che f è un infinitesimo per x che tende a x₀.
   • se limx→x₀ f(x)/g(x) = ∞, allora si dice che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g;
   • se limx→x₀ f(x)/g(x) = 0, allora si dice che f è un infinitesimo di ordine superiore a g;
   • se limx→x₀ f(x)/g(x) = k ̸= 0, allora si dice che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine;
   • se limx→x₀ f(x)/g(x) non esiste, allora si dice che f e g sono infinitesimi non confrontabili.
3. Infinitesimi e loro confronto:
   • Se f = f₁ + f₂ e g = g₁ + g₂, con f₂ infinitesimo di ordine superiore a f₁ e g₂ infinitesimo di ordine superiore a g₁ per x → x₀, allora lim x→x₀ f(x) g(x) = lim x→x₀ f₁(x) + f₂(x) / g₁(x) + g₂(x) = lim x→x₀ f₁(x) / g₁(x) se

Questo limite esiste. "o" piccolo

Date due funzioni f e g, definite nell'intorno di un certo punto x0 (tranne al più il punto x0 stesso), se si ha: lim x→x0 f(x) / g(x)= 0 si dice che f è un "o piccolo" di g per x che tende a x0, e si scrive: f(x) = o(g(x)) per x→x0.

(Confronto tra esponenziale, polinomio e logaritmo)

a^x è un infinito di ordine superiore a x^n per x→+∞, per ogni a > 1 e ogni n > 0. x^n è un infinito di ordine superiore a loga x per x→+∞ per ogni a > 1 e ogni n > 0.

Manipolazioni algebriche

a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

Limiti notevoli

1. lim x→0 sinx/x = 1
2. lim x→0 1-cosx/x^2 = 1/2
3. lim x→∞(1 + 1/x)^x = e
4. lim x→∞(1 + k/x)^x = e^k per k ≠ 0
5. lim x→0 ((a^x)-1)/x = lna; nel caso a = e, si ha: lim x→0(e^x-1)/x = 1
6. lim x→0 loga(1+x)/x = 1/lna nel caso a = e

si ha: lim_x→0ln(1+x)/x = 17.

lim_x→0(1+x)^α-1/x = α8.

lim_x→+∞x^α/ax = 0 per ogni α >0,a> 19.

lim_x→+∞log_a x/x^α = 0 per ogni α >0,a> 110.

lim_x→0+ xlog_a x = 0 per ogni a > 1.

PARTE 4 CONTINUITA':

Continuità: prime definizioni

Sia f : A ⊂ ∈ R → R, A aperto e x₀ A. f si dice continua in x₀ se ∀ϵ > 0 lim x→x₀ f(x) = f(x₀) In altre parole, f è continua in x₀ se ∃δ ∀x ∈> 0 tale che (x₀ - δ,x₀ + δ)∩A si ha |f(x)-f(x₀)| <ϵ.

Sia f : A ⊂ ogni R → R. f si dice continua su A se è continua in punto di A.

Punti di discontinuità

Se f non è continua in un punto x₀ ∈ A, allora è discontinua in x₀. Si hanno due tipi di discontinuità:

x₀ è una discontinuità eliminabile se lim x→x₀ f(x)o = L ≠ f(x₀), con L ∈ R;

non eliminabile se

lim_x→0 f(x) = x₀ è una discontinuità o non esiste o esiste infinito.

1. f(x) = {
   • 1 per x ≠ 0
   • 0 per x = 0
   }

La funzione è discontinua in x₀ = 0, ed è una discontinuità eliminabile. Infatti lim_x→0 f(x) = 1, ma f(0) = 0, si potrebbe quindi "eliminare" la discontinuità semplicemente ponendo artificialmente f(0) = 1.

Teoremi sulla continuità