Matematica, appunti

Parte 1: Gli insiemi R e Rⁿ

Densità e cardinalità degli insiemi

Un insieme A ⊂ R è denso in R se per ogni coppia di numeri reali r₁ < r₂ esiste a ∈A tale che r₁ < a < r₂.

Un insieme A ⊂ R si dice finito se è vuoto oppure se esiste un numero n ∈ N, n ≥ 1, tale che gli elementi di A possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri {1, 2, 3, ..., n}. Due insiemi hanno la stessa cardinalità (o potenza) quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi. Un insieme A ⊂ R è infinito se non è finito.

Un insieme A ⊂ R è numerabile (o infinito numerabile) se A è infinito e ha la stessa cardinalità di N, cioè i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli elementi di N. Un insieme A ⊂ R è al più numerabile se è finito o numerabile.

Teoremi sugli insiemi

Teorema: L'unione di insiemi numerabili è numerabile. Il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile.

Teorema: R non è numerabile. Un insieme A ⊂ R ha la potenza del continuo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con R.

L'insieme Rⁿ

Dato un insieme X chiuso rispetto ad un’operazione di somma e prodotto che soddisfano A1n e A2n, diciamo che X è uno spazio vettoriale.

Dati due vettori di Rⁿ, x = (x₁, x₂, ...x_n) e y = (y₁, y₂, ...y_n), si chiama prodotto interno (o prodotto scalare) tra x e y il numero reale (x|y) = x₁ y₁ + x₂ y₂ + ... + x_n y_n. Due vettori x, y ∈ Rⁿ si dicono ortogonali se (x|y) = 0.

La norma di un vettore x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Rⁿ è: ∥x∥:= √x₁² + x₂² + ... + x_n². La norma di un vettore x ∈ R è il suo valore assoluto (o modulo).

Si può facilmente dimostrare (applicando, quando occorre, il teorema di Pitagora) che in R, R² e R³ la norma di un vettore coincide con la distanza del vettore stesso dall’origine.

Distanza e intorni sferici

Si dice distanza tra due vettori di Rⁿ, x = (x₁, x₂,...,x_n) e y = (y₁, y₂, ..., y_n), la quantità: d(x,y) := ∥x − y∥.

Si dice intorno sferico di centro x₀ ∈ Rⁿ e raggio r > 0, e si denota con B_r(x₀), l’insieme: B_r(x₀) = {x ∈ Rⁿ / d(x,x₀) < r}.

Insiemi limitati, maggioranti, minoranti

Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice limitato se esiste un intorno sferico dell’origine che lo contiene, cioè se ∃r > 0 tale che E ⊂ B_r(0).

Dato un insieme E ⊂ R, si dice maggiorante di E un numero M ∈ R, se esiste, tale che x ≤ M ∀x ∈ E, si dice minorante di E un numero m ∈ R, se esiste, tale che x ≥ m ∀x ∈ E.

E ⊂ R si dice limitato superiormente se ha almeno un maggiorante, si dice limitato inferiormente se ha almeno un minorante.

Dato A ⊂ R limitato superiormente, si dice che α ∈ R è l’estremo superiore di A e si scrive α = sup A se α è il più piccolo dei maggioranti di A, cioè se α ≤ α per ogni α maggiorante di A.

Dato A ⊂ R limitato inferiormente, si dice che β ∈ R è l’estremo inferiore di A e si scrive β = inf A se β è il più grande dei minoranti di A, cioè se β ≥ β per ogni β minorante di A.

Dato A ⊂ R, si dice massimo di A e si indica con max A, il punto M ∈ A, se esiste, tale che M ≥ x ∀x ∈ A, si dice minimo di A e si indica con min A, il punto m ∈ A, se esiste, tale che m ≤ x ∀x ∈ A.

Punti interni, esterni e di frontiera

Il vettore x₀ si dice punto interno ad E se esiste un suo intorno sferico tutto contenuto in E, cioè se ∃r > 0 tale che B_r(x₀) ⊂ E.

Il vettore x₀ si dice punto esterno ad E se è interno a E^C (dove con E^C si indica il complementare di E in Rⁿ, cioè: E^C = Rⁿ\E).

Il vettore x₀ si dice punto di frontiera per E se non è né interno né esterno ad E.

Punti di accumulazione e punti isolati

Dato A ⊂ Rⁿ, un punto x₀ ∈ Rⁿ si dice punto di accumulazione per A ⊂ Rⁿ se ogni intorno sferico di x₀ contiene un punto di A diverso da x₀, cioè se ∀ε > 0 ⇒ (B_ε(x₀)\{x₀})∩A ̸= ∅.

Un punto x₀ ∈ Rⁿ si dice punto isolato di A se: 1. x₀ ∈ A; 2. x₀ non è punto di accumulazione per A.

L’insieme dei punti di accumulazione per un insieme A si chiama insieme derivato di A e si indica con A′. Quindi A′ = {x ∈ R/x punto di accumulazione per A}.

Relazione tra punti interni/esterni/di frontiera e punti di accumulazione/isolati

A_i ∪ A_e ∪ ∂A = Rⁿ. Sia A ⊂ Rⁿ e sia x₀ punto esterno ad A. Allora x₀ non è punto isolato di A e non è punto di accumulazione per A. Sia A ⊂ Rⁿ e sia x₀ punto interno ad A. Allora x₀ è punto di accumulazione per A.

Sia A ⊂ Rⁿ e sia x₀ punto isolato di A. Allora x₀ è punto di frontiera di A. Se x₀ è punto di accumulazione per A non può essere punto esterno ad A; se è punto isolato di A, non può essere punto esterno ad A.

Sia A ⊂ Rⁿ e sia x₀ punto di frontiera di A. Allora x₀ è punto di accumulazione per A se e solo se non è punto isolato di A.

Aperti e chiusi di Rⁿ

Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice aperto se ogni suo punto è interno ad E. Un insieme E ⊂ Rⁿ si dice chiuso se il suo complementare E^C è aperto. Un insieme E ⊂ Rⁿ è chiuso se e solo se possiede la sua frontiera, cioè se e solo se E = E_i ∪ ∂E. Equivalentemente, E ⊂ Rⁿ è chiuso se e solo se ∂E ⊂ E. Gli unici insiemi di Rⁿ (n = 1, 2, ...) che siano contemporaneamente aperti e chiusi sono Rⁿ e ∅.

Parte 2: Le funzioni

Le funzioni: prime definizioni

Dati due insiemi non vuoti, A e B, si dice funzione (o applicazione, o corrispondenza) da A in B una legge che a ogni elemento x ∈ A associa uno e un solo elemento y ∈ B. In simboli, una funzione si rappresenta nel seguente modo: f:A→B.

Dati due sottoinsiemi A ⊂ Rⁿ e B ⊂ R, si dice funzione (o applicazione, o corrispondenza) da A in B e si indica con f : A ⊂ Rⁿ → B ⊂ R una legge che a ogni elemento x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ A associa uno e un solo elemento y ∈ B. Si scrive anche: y = f(x) = f(x₁, x₂, ..., x_n).

Nel caso particolare di n = 1, si hanno le funzioni reali di variabile reale: f : A ⊂ R → B ⊂ R che a ogni elemento x ∈ A associano un elemento y ∈ B, secondo la regola: y = f(x).

Data una funzione f : A ⊂ Rⁿ → B ⊂ R, il grafico della funzione f, indicato con Graf(f), è il sottoinsieme di Rⁿ× R = Rⁿ+1 costituito dalle coppie Graf(f) = {(x,f(x)) ∈ Rⁿ+1/x ∈ A} = {(x₁, x₂, ..., x_n, f(x₁, x₂, ..., x_n)) ∈ Rⁿ+1/(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ A}.

Per funzioni reali di variabile reale, f : A ⊂ R → B ⊂ R il grafico di f è Graf(f) = {(x, f(x)) ∈ R², x ∈ A}.

Sia f : R² → R una funzione. Si chiamano curve di livello di f gli insiemi del tipo S_c(f) = {x ∈ R^s : f(x₁, x₂) = c} con c ∈ R. In altre parole, la curva di livello S_c(f) è l’insieme dei punti di R² su cui f assume il valore costante c. Laddove la funzione f risulti ovvia, scriveremo S_c in luogo di S_c(f).

Dominio, codominio, immagine, suriettività, iniettività

Data una funzione f : A ⊂ Rⁿ → B ⊂ R, il sottoinsieme A è detto dominio (o insieme di definizione) della funzione f. Il sottoinsieme B è detto codominio della funzione f. Il dominio di f si indica con Dom(f). Il codominio di f si indica con Codom(f).

Data una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R si dice immagine di f e si indica con Im(f), il sottoinsieme di punti y del codominio R tali che esiste almeno un elemento x nel dominio tale che sia y = f(x). In simboli: Im(f) = {y ∈ R/∃x ∈ A tale che y = f(x)}. L’elemento y tale che y = f(x) è detto immagine di x mediante f e l’elemento x ∈ A tale che y = f(x) detto controimmagine di y mediante f.

Una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R si dice suriettiva se Im(f) = R, cioè se: ∀y ∈ R ∃x ∈ A tale che y = f(x).

Data una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R la funzione si dice iniettiva se x ̸= y ⇒ f(x) ̸= f(y) ∀x,y ∈ A. Data una funzione f :A ⊂ Rⁿ → R, f è iniettiva se e solo se f(x) = f(y) ⇒ x = y ∀x,y ∈ A.

Una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R si dice biiettiva se è sia iniettiva sia suriettiva.

Funzioni pari e dispari, funzioni periodiche

Una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R si dice pari se f(−x) = f(x) per ogni x ∈ A, mentre si dice dispari se f(−x) = −f(x) per ogni x ∈ A.

Una funzione f : A ⊂ R → R si dice periodica (di periodo p ̸= 0) se f(x+kp) = f(x) ∀k ∈ Z.

Funzioni elementari

• La funzione y = f(x) = xⁿ con n ∈ N è detta funzione potenza. Tutte le funzioni potenza hanno il grafico che passa dal punto (1,1), infatti 1ⁿ = 1 n ∈ N pari.
• y = f(x) = a^x con a > 0, a ̸= 1. Si chiama funzione esponenziale.
• y = f(x) = log_a(x) con a > 0, a ̸= 1. Si chiama funzione logaritmo.
• y = f(x) = sinx e y = f(x) = cosx. Per entrambe le funzioni, il dominio è Dom(f) = R, l’immagine è Im(f) = [−1,1]. Sono funzioni periodiche di periodo 2π. Non sono né iniettive né suriettive. Il sin x è una funzione dispari, il cos x è una funzione pari.
• y = f(x) = |x|. Si chiama funzione valore assoluto.

Grafico di trasformazioni di funzioni

• Grafico di f(x)|. Si ribalta sopra l’asse delle ascisse la parte di grafico che sta sotto tale asse.
• Grafico di f(|x|). Si ribalta a sinistra dell’asse delle ordinate la parte di grafico che sta a destra di tale asse (cancellando la parte di grafico che nella f originaria sta a sinistra dell’asse delle ordinate, cioè la parte di grafico corrispondente a {x < 0}).
• Grafico di f(x)+k, con k > 0. Si trasla il grafico in alto di k. (Se k < 0 lo si trasla in basso).
• Grafico di f(x−l), con l > 0. Si trasla il grafico a destra di l. (Se l < 0 lo si trasla a sinistra).
• Grafico di −f(x). Si ribalta il grafico rispetto all’asse delle ascisse.
• Grafico di f(−x). Si ribalta il grafico rispetto all’asse delle ordinate.

Dominio di funzione

Ci sono sostanzialmente tre regole da seguire quando si deve calcolare il dominio di una funzione f : A ⊂ Rⁿ → R.

• Ogni denominatore di una frazione deve essere diverso da zero;
• Ogni radice di indice pari deve avere radicando non negativo;
• Ogni logaritmo deve avere argomento strettamente maggiore di zero.

Funzione composta

Siano date due funzioni, g:B⊂R→R e f:A⊂R→R. Se Im(g) ⊂ Dom(f) = A, risulta definita una funzione su B a valori in R, detta funzione composta di f e g, e indicata con f ◦ g, definita nel seguente modo: (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Si ha quindi: f ◦ g :B ⊂ R → Im(g) ⊂ A ⊂ R → R x → g(x) → f(g(x)). La funzione composta f ◦ g si legge “f composto g”.