Appunti statistica medica e epidemiologia

MediaEs 1: Perdita media di peso (Kg) dopo la dieta misurata su soggetti diversi

3.8, 3.4, 2.9, 4.3, 10.3, 5.4, 4.9

Qual è stato l'effetto medio della dieta?

3.8 3.4 2.9 4.3 10.3 5.4 4.9 35 = = = 5X́ kg

7 7

Interpretazione: se la dieta avesse avuto lo stesso effetto su tutti i soggetti, tutti avrebbero perso 5 kg.

NB: si usa la media solo per caratteri quantitativi!!!

Es 2: Lunghezza supina (cm) in un campione di 60 neonati

51.0 46.5 48.7 54.5 46.0 51.2 55.0 50.2 44.4 56.3 49.4 47.8 50.0 48.2 52.2 51.1 50.2 53.4 49.2 46.5

49.0 49.7 52.9 48.9 47.0 54.7 50.3 47.4 50.4 51.5 52.5 44.5 50.8 51.2 50.8 52.3 47.7 50.5 49.5 50.9

51.5 49.8 46.2 49.5 50.0 48.2 48.5 51.7 52.9 51.6 51.8 53.0 48.9 54.0 52.5 50.8 53.8 49.5 50.5 52.7

Media aritmetica di tutti i 60 valori di lunghezza supina: = (51.0 + 49.4 + ... + 51.6 + 52.7)/60 =X́ 3021.7/60 = 50.361

Interpretazione: il valore 50.361 mi dice che, se tutti i bambini avessero la stessa lunghezza alla nascita, misurerebbero 50.361 cm.

Es 3: numero di

componenti della famiglia…che equivalea… Somma di colonna

Se la variabile continua è raggruppata in classi, nel calcolo dellamedia, prendo il valore centrale di classe.

Per esempio, nella tabella riportata a lato, non conosco esattamente idue valori dell’intervallo 150-154 e assumo che siano entrambi parial valore centrale, ovvero 152. Si procede in modo analogo per tuttele altre classi.

Interpretazione

Il valore 172.9 indica che se tutti i soggetti fossero alti uguali,sarebbero tutti alti 172.9 cm

Media ponderata

Immaginiamo di dover calcolare l’altezza in metri di 85ragazzi di 3 classi diverse.

Come possiamo procedere, in questo caso, per calcolareefficacemente la media globale? Ci si riconduce alconcetto di media ponderata (o media pesata)

Proprietà della media aritmetica 1)1)1)1)1)1)1)1)

La media aritmetica è sempre compresa tra il più piccoloed il più grande dei valori osservati.

2) La somma delle differenze tra i valori e la

La media aritmetica è pari a zero. La media aritmetica può non coincidere con nessuno dei valori osservati nell'insieme di dati in studio. {3.8, 3.4, 2.9, 4.3, 10.3, 5.4, 4.9} 5 Kg non è un valore presente nell'insieme delle osservazioni:

Media: considerazioni finali

La media aritmetica è considerata la migliore e più comune misura di posizione, perché tiene conto dei valori di tutte le osservazioni. Tuttavia, la media può non essere rappresentativa se fra i dati vi sono pochi valori molto distanti dagli altri, verso l'alto o verso il basso.

DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA

Analizziamo come appare la distribuzione della frequenza su un generico istogramma. Una distribuzione di frequenza è asimmetrica quando la media aritmetica non coincide con il massimo centrale della curva di frequenza (moda). Viceversa, se la media aritmetica coincide con la moda si tratta di una distribuzione di frequenza simmetrica.

Distribuzione di frequenza

Numero medio di morti per paese

Il numero medio di morti per paese è 240/7 = 34,3 per una popolazione di 5 milioni. Tuttavia, il valore 34,3 non rappresenta adeguatamente le osservazioni del mio campione: è maggiore di 6 delle 7 osservazioni effettuate, ed è 5 volte più piccolo dell'osservazione maggiore (USA). Dal momento che la media tiene conto del valore numerico di ogni osservazione del campione, può essere notevolmente distorto da un singolo valore "estremo". In questi casi, una misura robusta della tendenza centrale è la mediana. Vediamo allora di introdurre tale concetto.

La mediana

La mediana è quel valore della variabile tale per cui l'insieme delle osservazioni risulta essere per metà inferiore e per metà superiore ad essa. È dunque il valore che si trova nella posizione centrale della sequenza ordinata. Rispetto alla media aritmetica, la mediana è meno sensibile ai valori estremi delle osservazioni.

Esempio:

I dati seguenti...

Esprimono il peso, in chilogrammi, perso dopo una certa dieta:

La media di 5.49 kg non è un valore tipico dell'insieme di osservazioni, dato che un solo valore su 7 risulta superiore alla media.

Procediamo dunque con il calcolo della mediana:

1. Si ordinano le osservazioni:
2. Si individua quella modalità che è più grande del 50% delle osservazioni e più piccola del restante 50%.

Prestiamo attenzione a come il valore di 4.3 non dipenda dal valore assunto dall'osservazione più elevata (o più piccola).

Calcolo della mediana

Caso 1

Per n dispari, la mediana è quel valore che occupa la posizione (n+1)/2 nell'insieme ordinato:

Tornando all'esempio precedente si ha che:

(7+1) / 2 = 4° posizione 3.4, 3.8, 4.3, 4.9, 5.4, 13.8 → {2.9,

Caso 2

Per n pari, la mediana è il valore centrale tra quello che occupa la posizione n/2 e [(n/2)+1] nell'insieme ordinato.

Caso 3

Nel caso di lunghe serie di variabili quantitative

La relativa assumeva il valore di 0,5. La mediana non risente dei valori estremi o di osservazioni anomale: è detta perciò una statistica robusta.

La moda

La moda di una distribuzione di frequenza è, in statistica, la modalità, il valore o la classe di modalità o di valori, caratterizzata dalla massima frequenza. In altre parole, è il valore che compare più frequentemente. La moda è l'unico indice di posizione che può descrivere variabili qualitative. Può non essere unica, ovvero possono esistere più valori modali (come già detto in precedenza).

Come possiamo distinguere facilmente il tipo di distribuzione?

Ora che abbiamo definito la moda, la mediana e la media, possiamo capire se siamo di fronte a una distribuzione simmetrica o asimmetrica (positiva o negativa), semplicemente confrontando tali indici.

NB

Distribuzione simmetrica

Distribuzione asimmetrica

Concentrazione di cloro nel sudore

Età alla

Media aritmetica- È la migliore e più comune misura di tendenza centrale perché tiene conto del valore di tutti i dati;

Può- non essere rappresentativa se fra i dati vi sono pochi valori molto lontani dagli altri, verso l'alto o verso il basso;

Interpretazione: se l'età alla diagnosi di fibrosi cistica fosse la stessa per tutti i pazienti, ciascun paziente affetto da fibrosi cistica sarebbe diagnosticato a 9 anni dalla nascita.

Mediana- La mediana non è influenzata dai valori estremi eventualmente presenti, ma solo dal fatto che essi siano sotto o sopra il centro dell'insieme dei dati.

Quando i valori sono molto concentrati in gruppi distinti e separati da grandi intervalli, la mediana può essere di scarsa utilità.

Interpretazione: la metà dei pazienti è diagnosticata all'incirca entro 4 anni dalla nascita, mentre

L'altrametà dopo tale limite. Moda- È il valore tipico dei dati (si presenta più spesso)- Non tiene conto degli altri valori- Interpretazione: la maggior parte dei pazienti è diagnosticata a 3 mesi (0-3 mesi).

*Per quanto riguarda le interpretazioni dei vari indici di posizione svolte sopra, sono riferite all'esempio sulla fibrosi cistica che si può trovare alla pagina precedente.

I quantili (percentili/centili) Oltre alla mediana, che divide a metà un insieme di dati ordinati, importanti sono anche i cosiddetti quantili, utilizzati in statistica per frazionare in N parti uguali un insieme di dati numerici disposti in ordine progressivo crescente (o decrescente). I principali