Appunti Scienza della costruzioni

Scienza delle Costruzioni

Trave: solido tridimensionale generato per estensione di un'area a sezione costante o variabile.

GG: lunghezza asse trave

Linea d'asse: luogo dei baricentri delle sezioni trasversali.

NB: una dimensione prevale rispetto alle altre.

• l > d_max
• l > (7 ÷ 8) d_max

Semplificazione:

• asse rettilineo
• sezione costante
• sezione non ruota durante l'estensione

Nel piano una trave può seguire, in generale, una rototraslazione (moto rigido nel piano) governato dai cambiamenti di 3 variabili (u, v, ϑ).

(moti del corpo)

CIR: unica punto del piano che durante il moto del corpo non compie spostamenti e ha velocità nulla.

Tutti i punti del corpo ruotano attorno al CIR.

Regole atto di moto rigido piano:

1. Se esiste il CIR allora il solido è soggetto alle regole dell'atto di moto rigido. Se non esiste il solido non si muove.

2) |u_s| = |CS_a|

La velocità di un punto è proporzionale alla distanza dal CIR

Teorema di Chasles:

Se conosco la direzione delle velocità posso trovare l'intersezione delle rette ⊥ alle velocità u_s e u_a.

Vincoli: condizioni imposte sul moto del corpo.

Caratteristiche:

• Puntuali: dimensioni nulle
• Perfetti: non c'è la presenza o tolleranza di “giochi” e attrito
• Bilateri: se è imparto un movimento (o reversibile) lo è anche quello opposto
• Olonomo: solo equazioni di vincolo senza derivate (razionali)

Tipi di vincolo:

• Incastro
  • u_A = 0
  • v_A = 0
  • ϕ_A = 0
  • 0 gdl ⇒ ≠ CIR
  • 3 gdr
• Cerniera
  • u_A = 0
  • v_A = 0
  • ϕ_A ≠ 0
  • 2 gdr
  • 1 gdl
• Manicotto
  • v_A^X = 0
  • ϕ_A = 0
  • u_X ≠ 0
• Pattino
  • u_A^X ≠ 0
  • v_A = 0
  • ϕ_A ≠ 0

STRUTTURA: ARCO A TRE CERNIERE (anche improvvise)

• 2 aste
• 1 cerniera relativa
• 1 equilibrio assoluto per ogni asta

L’arco a tre cerniere è non labile se le cerniere non sono allineate

ANELLO CHIUSO ISOSTATICO

È equivalente ad un corpo rigido internamente isostatico

maglia chiusa

interno a corpo isostatico

ES INTERNAMENTE LABILE

INTERNO A CORPO ISOSTATICO

QUADRILATERO ARTICOLATO

• 2 bielle che connettono due aste
• 2 aste vincolate a terra ciascuna con una cerniera
• 3 cerniere interne non allineate.

interamente non labile, equivalente ad un corpo rigido

La struttura è labile solo se le cerniere fisse e l’intersezione degli assi dei due carrelli sono allineati.

MECCANICA DEI CONTINUI

PROVA MONOASSIALE

A F_o i piani cristallini iniziano a scorrere superando il valore massimo di attrito nello scorrimento.

Si adotta un modello REVERSIBILE (senza attrito)

Osservazione: La forma della sezione non cambia il comportamento del materiale.

Definizione: σ = ^F/_Ao

Definizione: ε = ^ΔL/_lo

Consideriamo ora il nostro tetraedro iscritto in una sfera

NB. Il limite porta la forza di volume a zero senza approssimazioni!

Siamo arrivati al risultato sperato:

t_(0,n) = t_(0,ex) n_x + t_(0,ey) n_y + t_(0,ez) n_z

t_n = [ t_x | t_y | t_z ] [ n_x | n_y | n_z ]

Relazione di Cauchy

Esempio: Nel fluido

t_n = [ -p 0 0 0 -p 0 0 0 -p ] n = - p I n = - p n

TENSIONI E DIREZIONI PRINCIPALI DI SFORZO

Riassumendo: t_n = σ・n

σ = [ t_x, t_y, t_z ] = σ^T

Definiamo σ = n・t_n = n・σ・n = n_i σ_ij n_j

τ = t_n - σ

τ = σ_n - σ e n = ( σ - σ_I ) n

con I tensore identità

PROBLEMA! ∃ n̂ / τ = 0 ?

τ = 0

σ - σ I n̂ = 0

è un sistema lineare omogeneo!

Soluzioni

• n̂ = 0
• n̂ ≠ 0

con det ( M(σ) ) = 0

det [ M(σ) ] = det [ σ - σ I ] = det [ σ_xx - σ τ_yx τ_zx ]

[ τ_xy σ_yy - σ τ_zy ]

[ τ_xz τ_yz σ_zz - σ ]

Cosa succede cambiando sistema di riferimento ad un vettore?

V = [ V_x V_y V_z ]

V' = [ V'_x V'_y V'_z ]

e_x' • e_y' = e_z' = 1      mutuamente ⊥

V_x' = V • e_x'

V_y' = V • e_y'

V_z' = V • e_z'

V • e_x' = e_x'^T V

V' = [ V'_x V'_y V'_z ] = [ e_x'^T e_y'^T e_z'^T ] • V

R^T matrice 3x3

V' = R^T • V

R = [ e_x e_y e_z ]      matrice di rotazione dell'oggetto

Consideriamo ora

R^T • R = [ e_x'^T e_y'^T e_z'^T ] [ e_x' e_y' e_z' ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = I      =>    R^T = R^-1

l² = |V'|² = V^T • V

l'² = |V'|² = (V'^T • V')

Sapendo che V' = R^T • V e che R^T = R^-1

l'² = (R^T • V)^T (R^T • V) = V^T R  ••  R^T V = V^T • V = l²

Concludiamo che la lunghezza del vettore è un'invariante.

(σ_n - σ_n) = (σ_xx - σ_yy) / 2 cos(2α) + sin(2α) + (τ_xy)²[sin(2α)+cos(2α)]

Equazione circonferenza

(σ_n - σ_xx) (σ_n - σ_yy) / 2 + (τ_xy)² + (τ_c)² = r²

σ₁ = max σ_n

(τ_xy)_max = r

CIRCONFERENZA DI MOHR

tg(2α) = τ_xy / (σ_xx - σ_yy) = 2τ_xy / (σ_xx - σ_yy)

α̂ = 1 / 2 arctg (2τ_xy / (σ_xx - σ_yy)) ± α / 2

α̂ angolo di rotazione del cubetto per trovare sulle facce σ₁ e σ₂ dette TENSIONI PRINCIPALI

σ₁, σ₂ rappresentano i valori max e min della componente normale o al variare di tutte e giaciture nel piano

NB: Rotazioni di α nel piano fisico sono espresse da rotazioni di α nel piano di Mohr