Appunti di scienza delle costruzioni

R^o = o

dn_x

dn_y

SFT - t_xd_xdy - t_yd_ydz t_zt_mdΩ_m

dn_z dn_mx dn_yz dn_z dΩ_mz

Σ_Nd_m

• t_V = Σ_n ^-

• M(`a`): o

t_x = t_xx t_xy t_xz

t_xy t_yy t_yz

t_xz t_yz t_z t_z

G_zx+G_yd_xy t_xyd_xy

G_yz+G_xd_yz t_zx

dV = ^d_xd_yd_z/₃

t_xyd_x - t_yxd_y = 0

È possibile esprimere il tensore degli sforzi s come:

_sS = p^II + g^'

p^I rappresenta lo stato di sforzo idrostatico:

p^I =

• (_x + _y + _z) / 3
• _xy
• _xz
• _xy
• (_y - _x + _z) / 3
• _yz
• _xz
• _yz
• (_z - _x - _y) / 3

Se il materiale è elastico:

• p^I: è responsabile solo del cambio di volume ma non di forma;
• g^': è responsabile dei cambiamenti di forma a volume costante.

N.B. I_p^I =

• 2(_x - _y - _z) / 3
• + 2(_y - _x - _z) / 3
• + 2(_z - _x - _y) / 3

=> I_p^' = 0 => I_s = lo stato di sforzo è puramente deviatorio

Le stesse considerazioni valgono per la parte idrostatica e quella deviatrice del tensore di deformazione infinitesima:

= ^' + _m / 3 I

Le legame costitutivo

non dipendono della natura del materiale

costituente a legami tensionali e deformazioni

(ambiti e origini di un elemento di volume e tutte

le possibili deformazioni che può subire)

studio del solido elastico

(elasticità lineare)

si evidenziano le proprietà sulla base di

considerazioni di tipo energetico

• S_F= contorno libero: sono note leforze da sup. P,sono quindi richiestigio spostamenti.
• su S^̅ = contorno vincolato: e noto lo spostamentoU̅ = per semplicitàU^o = 0 (incastro)
• su V_F = volume: sono note forze di massa F

il solido è in equilibrio sotto l’azione delle forze P e F

che producono uno stato di sforzo [S] in tutto il volume

· il solido subisce spostamenti S e deformazione [E]

∫_V P • S dɣ + ∫_SF P • S dσ

= ∫_V {σ_xε_x + σ_yε_y + σ_zε_z + τ_xyγ_xy + τ_xzγ_xz + τ_yzγ_yz} dV

se incrementiamo le forze di una quantità:δF,δP e glisforzi δS, il solido subisce incrementi di spostamentoe def.: δU,

Consideriamo il potenziale elastico complementare

Ψ = Ψ ( σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx ) in componenti cartesiane

Ψ = Ψ ( σ₁, σ₂, σ₃, α, β, γ ) in componenti principali

dove α, β, γ sono gli angoli di Eulero che definiscono la posizione della terna principale rispetto agli assi cartesiani.

Espressa così, Θ risulta evidente che esso dipende solo dal modulo della tensione principale σ₁, σ₂, σ₃ (dall'orientazione della terna nulla dipende) quindi Θ riserva lo scalare (definito dai 3 angoli di Eulero α, β, γ)

Poiché l'ipotesi che le proprietà meccaniche del materiale sono identiche in tutte le direzioni uscenti dal punto considerato allora Ψ non dipenderà più dall'orientazione della terna: Ψ = Ψ ( θ₁, θ₂, θ₃ )

Questo sistema è detto di isotropia

Ψ = ¹⁄₂ (σ₁₁² + σ₂₂² + σ₃₃² + 2τ₁₂² + 2τ₁₃² + 2τ₂₃² + σ₁₁σ₂₂ + σ₂₂σ₃₃ σ₃₃σ₁₁)

In condizione di isotropia Ψ permette di assumere se si assumono unicamente le tensioni principali, ovvero devono esistere le relazioni σ_im = σ₂₂ + σ₃₃; σ₁₂ = σ₁₃ = σ₂₃ = 0, cioè Ψ non dipende dalla direzione

ed è possibile ridurre le 6 costanti elastiche cij con i, j = 1, 2, 3 a 2 sole costanti indipendenti

σ₁₁ = σ₁₂ = σ₂₃ = 1/E

σ₁₂ = σ₁₃ = σ₂₃ = ν/E

E = Modulo elastico longitudinale o Modulo di Young

ν = Coefficiente di contrazione trasversale o Coefficiente di Poisson

Ψ = ¹⁄_2E [ (σ₁² + σ₂² + σ₃²) - 2ν (σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₃σ₁)]

possiamo ricavare allora ci = ͯ e ....

Per ricavare E e che coore esprimere Ψ in termini di componenti cartesiane di tensione, possimo introdurre gli invarianti i1, i2

I₁ = ∑_i=1^∑3 σ_i + σ₁₁ + σ₂₂ + σ₂₃

I₂ = σ₁₁σ₂₂ - σ₁₃² + ∑²tx² + τ_x² + τ₂² - 6 σ_lx + 6σ_le + 6γ²