Appunti riscritti di Analisi 2

SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CONVERGENZA PUNTUALE

Si definisce SERIE DI FUNZIONI un oggetto del tipo

Definiamo ora una SUCCESSIONE DI FUNZIONI

Fissato un intervallo I ⊆ R limitato o illimitato, e consideriamo una famiglia di funzioni f_n(x) di tipo preposto. O diversamente, f_n = {costanti di parametri...} dipendenti da un parametro n ∈ N e tali che ∀n ∈ N f_n: I → R.

Definiamo S_n (x) = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x) + ... + f_m(x) = Σ_m=1^M f_m(x)

• SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI notando che è un particolare tipo di successione di funzioni. Esendo le funzioni f definite su I, lo sarà anche {S_m(x)}.

Dalla definizione di serie si ha che

Una successione di funzioni è quindi un'applicazione da N all'insieme delle funzioni.

DEF

Si dice che la successione di funzioni f_n(x) CONVERGE PUNTUALE per n → +∞ alla funzione f(x) solo ∀x ∈ I FISSATO si ha che

f(x) = lim_m→+∞ f_m(x)

Essendo x fissato si ha una successione numerica

RHK lim_m→+∞ f_m(x) = f(x) ⇔ ∀ε>0 ∃ _,x > 0

∀m > _,x ⇒ | f_m (x) - f(x) | < ε

RHK un reale è successo se rispetta tra f(x), categorie di punti e

f: I → R funzione

Si dice che una successione se le f_n(x) sono continue in I entro f(x) (↵) I.

ESEMPI

• Consideriamo la successione di funzioni: {xⁿ} dove quindi f_n(x) = xⁿ con n ∈ ℕ e I = [0,1] e osserviamo che tutte le f_n(x) sono continue in ℝ.

Si ha che lim_n→∞ xⁿ = {(1 se x=1(0 se x ∈ [0,1))∴: ho lim xⁿ dove x < 1∴: ho lim xⁿ dove x < 1

Quindi f(x): [0,1] → ℝ è un salto discontinuo, un salto di ampiezza 1, nonostante le funzioni siano continue.

CONVERGENZA UNIFORME

DEF Si dice che la successione di funzioni {f_n(x)} converge uniformemente alle funzioni f(x) ∀ x ∈ I fissato se ∀ε>0 ∃δ= δ_ε>0. ∀n> N → |f_n(x) - f(x)| < ε

Notare che il δ in questione non è fisso e che si ha un criterio operativo perchè se il δ esiste αε opere solo di ε e non da x ∈ I si ha convergenza uniforme che è una condizione più forte e sufficiente della puntuale. In particolare la conv. unif. permette di preservare la continuità nel passaggio al limite, ovvero, è vero che, se le f_n(x) sono continue, anche f(x) è in I.

ESEMPI

• {f_n(x)} = {xⁿ} in I = (0,1)

In questo intervallo non si ha più lo discontinuo un preciso.

∀ x ∈ I lim_n→∞ xⁿ = f(x) = 0

Verifichiamo la convergenza puntuale: ∀ x ∈ [0,2] lim_n→+∞ ^nx/_1+n²x² =

= lim_n→+∞ xn/(_n/(1+n²)) = 0 Quindi la funzione limite è f(x) = 0.

Studiamo ora la convergenza uniforme in [0,2].

| f_n(x) - f(x) | < ε |^nx/_1+n²x² - 0 | = ^nx/_1+n²x² < ε

Vogliamo applicare Th. 1.1 per calcolare il sup. Facciamo le derivate.

d/dx f_n(x) =

d f_n/dx = ^{n(1+n2x2) - nx·2n2x}/_(1+n²x²)² = ^{n + n3x2 - 2n3x2/_{(1 + n2x2)2} = n-n3x2/_{(1 + n2x2)2}}

f'ʹ_n(x) = 0 → n-n³x² = 0 → 1-n²x² < 0 x = ±¹/_n ; X = ±¹/_n

f'ʹ_n(x) > 0 essendo den > sempre si ha 1-n²x² > 0 1 > n² ; -¹/_n < x < ¹/_n

Quindi si ha una massima in 1/n, che approssima ad 1 ottenni [I] e guarda quanto est. sup.

Sup_x∈[I]| f_n(x) - 0 | = ^nx/_1+n²x²

^max_x∈[0,2] ^nx/_1+n²x² Sostituendo x=¹/_n si ha

n·1/n/1+n2·1/n2 = 1/1+1 = 1/2

Quindi il max è costantemente uguale a 1/2 e ottenendo con precisione qualunque ε > 0 scegliendo ε_giàa piacere per ogni [0,2] non si ha convergenza un.

Se uno considera invece [1,2] si ha che le derivate è sempre negative e perciò les fin (decrescen) son massimizzati sempre in 1

Quindi sup_x∈[1,2]| f_n(x) - f₀(x) | = ^max_x∈[1,2] ^nx/_1+n²x² =

Quindi fissato x ∈ [0, 1/2], lim S_n(x) = lim ^{1 - xn+1}/_{1 - x} → 0 = ¹/_{1 - x} quando 0 ≤ x < 1

Abbiamo trovato lo stesso limite, verifica la convergenza uniforme.

sup | S_n(x) - S(x) | = sup ^{1 - xn+1}/_{1 - x} =

→ sup ^x/_{1 - x} | x¹ |.

sia lim ¹/_2ⁿ = 0 si ha convergenza uniforme.

Dato che S_n(x) unif. ¹/_{1 - x} si può applicare T¹M uniforme l’errore e integrale:

∫^1/2₀ xⁿ = ∫^1/2₀ xⁿ = ∫^1/2₀ ¹/_{1 - x} dx = - ln (1 - x)^^1/2₀ =

- ( ln 1/2 - ln 1 ) = - ln 1/2 = ln 2

Notiamo che se avessimo considerato ∑_n=1^∞ xⁿ si avverrà anche S_n(x)

= x + x² + .... + xⁿ

(1-x)S_n(x) = S_n(x) - x S_n(x) =

= (x + x² + ... + xⁿ) - ( x² + x³ + ... + xⁿ + xⁿ⁺¹) = x - xⁿ⁺¹

=> S_n(x) = ^{x - xn+1}/_{1 - x} ⇒ S_n(x) = ^x/_{1 - x} = S(x)

Allora anche in questo caso si verifica la convergenza uniforme, quando il valore delle somme vive non il carattere della serie.

Curvez paralleleuz) ol' lesum positivi dell bjs distan - pari

CRITERIO DI D'ALEMBERT

THM 1.0Sia ∑a_nxⁿ serie di potenze, supponiamo che ∃ M*: ∀n>n^*

⇒ a_n ≠ 0.

Allora se ∀ lim_{n → ∞} |a_n/a_n+1| = L ⇒ L = R con R raggio di conv.

CRITERIO DI CAUCHY

THM 1.00Sia ∑a_nxⁿ serie di potenze e supponiamo che ∃ lim_{n → ∞} √ⁿ|a_n| = L

Allora R = ¼/(L¼)

(se L ¼ = 0 ⇒ R = +∞, se L = +∞ ⇒ R = 0)

ESEMPIO

∑ ^∞_n=0 ((2n)!/(n!)²) xⁿ

Applico crit. D'Alembert: a_n = ((2n)!/(n!)²)

lim_{n → ∞} |a_n/a_n+1| =

lim_{n → ∞} ((2n)!/(n+1)!)²