Appunti riscritti di Analisi 2

Name: Appunti riscritti di Analisi 2
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Author: leonardoperi

Revisionato il 31/05/2026

di leonardoperi

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Appunti presi a lezione (prof Zecca - Bisconti) e riscritti integrando con lo studio del libro (Anichini Conti).Contengono le dimostrazioni richieste all'orale ed esercizi da scritto e sono …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bisconti Luca

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2017-2018

168 pagine

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SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CONVERGENZA PUNTUALE

Si definisce SERIE DI FUNZIONI un oggetto del tipo f(x)=∑_m=1^∞f_m(x)

Definiamo ora una SUCCESSIONE DI FUNZIONI {f_n(x)}_n∈ℕ. Fissiamo un intervallo I⊆ℝ limitato o illimitato, aperto o chiuso, e consideriamo una famiglia di funzioni f_n(x) di tipo prefissato (es. potenze, funzioni trigonometr...) dipendente da un parametro n∈ℕ e tali che ∀n∈ℕ f_n: I→ℝ.

Definiamo S_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+f₃(x)+...+f_n(x)=∑_m=1ⁿf_m(x) SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI, notando che è in particolare tipo di successione di funzioni. Essendo le funzioni f definite in I, lo sarà anche {S_n(x)}.

Della definizione di serie si ha che, ∑_m=1^∞f_m(x)=f(x)=S(x) dove S(x)=f(x)=lim S_n(x)_n→+∞

Una successione di funzioni è quindi un'applicazione da ℕ all'insieme delle funzioni.

DEF 5: Si dice che la successione di funzioni {f_n(x)} CONVERGO PUNTUALMENTE per n→+∞ alla funzione f(x) se ∀x∈I FISSATO si ha che f(x)=lim f_n(x)_n→+∞

Essendo x fissato si ha una successione numerica. Difatti esistono ε∈ℝ e δ∈x RHK lim f_n(x)=f(x) . Si p.p che ∀ ε>0 ∃ δ=δ_x>0 t.c.

∀ n ε δ_x => |f_n(x)−f(x)| 0 ∃ δ = δ(x) > 0 tale che

∀ n > δ ∈ x ⇒ | fn(x) - f(x) | < ε

Rmk: un reale è successivo ottiene tra f(x), collezone di funzioni e

f: I→R, funzione

Si ha che non necessariamente se le f_n(x) sono continue in I allora f(x) lo è.

Esempi

Considerare la successione di funzioni f_n(x) = {xⁿ} dove quindi f_n(1) = xⁿcon n ∈ ℕ e I=[0,1] e osservare che tutte le f_n(x) sono continue in I.Si ha che lim xⁿ = n→+∞ 1 if x=1 (si ha lim xⁿ =1) n→+∞ 0 if x ∈ (0,1) (si ha lim xⁿ dove x ∈ (0,1)) n→+∞Quindi f(x): [0,1] → ℝ è un grafico discontinuo,un salto di ampiezza 1, nonostante le funzioni siano continue.

Convergenza uniforme

DEF: Si dice che la successione di funzioni f_n(x) converge uniformemente alle funzioni f(x)∀ x ∈ I fissato se ∀ ε > 0 ∃ δ=δ_ε > 0 ∀ n

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