Appunti riscritti di Analisi 1

SIMBOLI QUANTIFICATORI E LOGICA

• ∃ - Esiste (Almeno un) (Quantificatore esistenziale o di sussistenza)
• ∃! - Esiste uno e uno solo
• ∀ - Per ogni (Quantificatore universale)
• ∃>1 - Almeno uno
• ∃!(1) - Più di uno
• • - Tale che
• •- L'insieme di quantificazione è relativo
• •=(3ole) Soggetto di delimitazione
• •≡• Se e solo se (Equivalenza logica)
• ∨ - "O" (Vel inclusivo)
• •̶- Non (Negazione)
• ∧ - "E" (Operatore logico)
• E - "Guadagni"
• A - "Non guadagni"

LOGICA

PROPOSIZIONE - Affermare un insieme delle quali si può stabilire un valore, lo vero o lo falso. Il colosso proposizionale stabilisce le relazioni fra proposizioni.

P(x) => Q(x) (P(x) implica Q(x)) significa che se P(x) è vera lo è anche Q(x).

Q(x) - Condizione necessaria per P(x). Se P(x) => Q(x) non necessariamente Q(x) => P(x).

PROPRIETÀ TRANSITIVA IMPLICAZIONE: Se P(x) => Q(x) e Q(x) => R(x) allora P(x) => R(x).

DOPPIA IMPLICAZIONE: Se P(x) => Q(x) e Q(x) => P(x) allora P(x) Q(x). Quindi P(x) è vera se e solo se lo è Q(x) e viceversa si sono condizione necessaria e sufficiente l'una per l'altra. P(x) e Q(x) sono equivalenti e hanno la stessa tavola di verità.

Tavola di verità:

1. P - V F
2. Q - V V F F
3. P ∧ Q - V F F F
4. P ∨ Q - V V V F
5. P => Q - V F V V

TEORIA DEGLI INSIEMI

Un insieme A è una collezione di oggetti, elementi dell'insieme.

A = {a, b, c} a ∈ A d ∉ A φ -> insieme vuoto

B : ={x : x ha una proprietà p} es. B := {x : x < 2 m, m = 0, 1, 2...}

A = B <=> A ha gli stesso elementi di B

A ⊂ B <=> ∀ x ∈ A => x ∈ B ==> A è un sottoinsieme di B

A ⊂ B ⟹ (∀ x ∈ A, x ∈ B) (∃ y ∈ B : y ∉ A) ----> A è strettamente incluso in B

Ciò ogni insieme ha per sottoinsieme φ ed è sottoinsieme di un insieme universo U ≠ φ. Se A ⊂ B oltre A ≠ B questo è sotinsieme proprio.

P(N - insieme delle parti di A, ovvero dell'insieme fatto dei tutti i sottoinsiemi compresi di A stesso, es. A= {1, 2, 3})

P(A)= {φ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}

OPERAZIONI CON GLI INSIEMI

Intersezione -> A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}

Se A ∩ B = φ ----> A e B sono disgiunti

Unione -> A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}

Proprietà

• Associativa intersezione -> (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Commutativa intersezione e unione -> A ∩ B = B ∩ A A ∪ B = B ∪ A
• Idempotenza -> A ∩ A = A A ∪ A = A
• Distributiva di e rispetto a ∩ -> (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
• Distributiva di rispetto a ∪ -> (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
• Associativa unione -> (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Assorbimento -> A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A

INSIEMI NUMERICI

Numeri Naturali (ℕ)

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

• È possibile definire somma e prodotto interno ad ℕ
• Sono ordinati
• Possiamo considerarli come un ordinamento; definito da una relazione binaria per la quale valgono le proprietà:
• Riflessiva: a ≤ a
• Antisimmetrica: a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
• Transitiva: a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c
• Si può dimostrare che:
• Preso un insieme qualsiasi A ⊂ ℕ, questo ammette un elemento minimo.
• I naturali sono infiniti rispetto a f: ℕ → ℕ : f(n) = n + 1
• Questa clausura f: ℕ → ℕ e ricompaiono (vedremo) tutti {1, 2, 3, ...} ? e il numero positivo associato ad ogni elemento al suo successivo.
• Nota: se a poi di un insieme infiniti senza elementi, punto principale.

Dimostrazioni per Assurdo

Si dimostra che P e vero assumendo ¬P e giungendo ad uno contradüttere.

DIM √2 non è un razionale

Supponiamo che lo sia, cioè θ² si può scrivere come √2 = P consendo con p t q con q primi

Puo che B sono resocitino ad una limitazione. Numero.

2 = P², quindi 2q² = p² e quindi p₁ e pari.

Posto p = 2 ⋅ n ⇒ 2q² = 2n² ⇒ q² = 2n² quindi anche q₁ e pari con

P e q non sono coprimi e si cadere in assurdo.

DIM Non esiste un numero non reale minimo fra quelli > 0

Supponiamo invece che ∃ p₀ ∈ Q : ∀q > 0 ∈ Q = ⇒ 0 ≤ q ≤ 0

Ancbo p₀ e un razionale ed è < p che non può quindi essere l’elemento minore che quindi non esiste.

VALORE ASSOLUTO

|x| = { x se x ≥ 0        –x se x < 0

Proprietà:

• |x| < k ⇔ –k < x < k
• |x| ≤ k ⇔ –k ≤ x ≤ k
• |x · y| = |x| · |y|
• |x/y| = |x|/|y|

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

• |x + y| ≤ |x| + |y|
• |x – y| ≥ ||x| – |y||

CALCOLO COMBINATORIO

PRINCIPIO FONDAMENTALE

Preso un esperimento A risultato in due fasi distinte e indipendenti: se nella prima si hanno m₁ possibili risultati e nella seconda m₂, in tutto l'esperimento avrà m₁ · m₂ possibili risultati.

Quando si vogliono scegliere k oggetti scelti fra n si possono considerare i seguenti parametri:

• Conta o non conta l'ordine di estrazione
• Con o senza ripetizione (se un oggetto può esser estratto k volte)

DISPOSIZIONI SEMPLICI (SENZA RIPETIZIONI)

Vogliamo disporre k oggetti presi da un insieme di n: conta l'ordine.

Il primo può essere scelto in n modi, poi saranno (n–1), poi (n–k+1)

D_n,k = n(n–1)(n–2)...(n–k+1)     con k ≤ n

DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONI

Conta l'ordine, vogliamo disporre k oggetti scegliendoli (anche più di una volta) tra m

Permutazioni con Ripetizione

Si dice le permutazioni (conta l'ordine) di n oggetti di cui m₁ uguali fra di loro, m₂ uguali fra di loro, ... m_k uguali fra di loro (con m₁ + m₂ + ... + m_k = n)

Formula di Stirling

In generale è possibile approssimare n! con questa formula

Numeri Complessi

* Vedi Riassunti di Geometria *

Funzioni

Una funzione g: A → B è una relazione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

f(x) = y con x ∈ A e y ∈ B

Si chiama immagine del sottoinsieme C ⊆ A tramite f il sottoinsieme f(C) ⊆ B

Grafico

graf f = { (x, y) ∈ A × B: x ∈ A (y = f(x)) }

• Funzione lineare → f(x) = 2x con a ∈ ℝ
• Funzione definita puntualmente f(x) = ¹⁄_x-1 x ≠ 1 5     x = 1
• Funzione composta g: A → B h: B → C h ∘ g composizione se h(g(x)) = g(f(x)) ∀ x ∈ A

Vale l'associativa (g ∘ h) ∘ l = g ∘ (h ∘ l)

Non vale la commutativa g ∘ f ≠ f ∘ g

Funzioni Iperboliche

Seno Iperbolico

sinh x = (e^x - e^-x) / 2

Coseno Iperbolico

cosh x = (e^x + e^-x) / 2

Tangente Iperbolica

tanh x = sinh x / cosh x

• cosh² x - sinh² x = e^2x + 1/2 - e^-2x - e^2x/4 - e^-2x/4 = 1
• sinh 2x = (e^2x - e^-2x) / 2 = 2 sinh x cosh x
• cosh 2x = (e^2x + e^-2x) / 2 = cosh² x + sinh² x

Operazioni tra Funzioni

• (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
• (f · g)(x) = f(x) · g(x)
• (cf)(x) = c f(x)
• (f/g)(x) = f(x) / g(x)

Vedi le proprietà delle operazioni

* Nel libro grafici di F. Elefante-Dini *