Appunti prima prova itinere, Analisi 1

DIMOSTRAZIONE

+

= ∈

2

4. Q denso in R

∀, ∈ ℎ < ∃ ∈ ℎ < <

DIMOSTRAZIONE +

Visto che non posso fare (es: z non è un numero razionale)

= =

√3, √2,

2

Allora applico proprietà Archimede su e

< → − > >



( − ) > < −

Sia >

 −1

Allora > − 1 ≤ → ≤

−1 1

Quindi: soluzione:

= + < + − < <

5. Ogni numero reale è estremo (inferiore o superiore) di un insieme di razionali

DIMOSTRAZIONE (per assurdo)

Sia definiamo {

∈ = ∈ | ≤ }

Devo provare che x è il sup (X)

Se per assurdo si avesse allora esisterebbe y non sarebbe un

< ∈ ℎ < < 

maggiorante

Quindi x=sup(X)

TEOREMA di de Moivre:

|z* z’| = |z| * |z’|

• Arg(z*z’) = arg(z) + arg(z’)

•

DIMOSTRAZIONE ′ ′ ′ ′

) ))

= �cos() + ()� = (cos( + (

′ ′ [cos() (′) + cos() (′) + i sen() (′) − sen() + (′)]

= ∗

∗

′ ′ somma

[cos( + ′) + ( + ′)]

∗ = ∗ 

() + () () + () (′) − (′)

= = ∗ =

′ ′ ′ ′

) ) ) )

′ ′ cos( ʹ cos( cos(

+ (′) + (′) − (

[cos() cos (′) − cos() (′) + () cos() + ()(′)]

= ′ 2 ′ 2

) )

ʹ − cos(′) (′) + (′) cos(′) + ( ]

[cos( ′ ′ )

�− �+(−

′ ′ divisione

∗ = ∗ 

+

TEOREMA successioni infinitesime: Sia

una successione limitata

}

{

= una successione infinitesima

= { }

è una successione infinitesima

= { ∗ }

DIMOSTRAZIONE

- Siccome a è limitata allora esiste M > 0 in cui |

| <

ε ≥ 0 in cui | |

− 0 ≤

- Siccome b è un infinitesimo (b -> 0) e anche convergente allora avrò una

| | |

| | |

: ∗ = ∗ ≤ ∗

TEOREMA di permanenza del segno:

è CONVERGENTE tale che definitivamente si abbia

Sia allora

}

{

= ≥ 0, lim ≥ 0

→ +∞

DIMOSTRAZIONE

Siccome a è convergente allora avrò: e

lim = ∀ > 0 ∃ ∈ ∀ ≥

n

→ +∞

Allora inoltre devo scegliere una n in modo tale che a ≥ 0

| − | ≤ , 0 n

Quindi 0 ≤ ≤ +

Adesso devo dimostrare (per assurdo) che la ≥ 0

Se devo comunque mantenere la disequazione di prima (0

< 0 ≤ ≤ + )

Per farlo allora devo dire che 0 ≤ ≤ −

Pertanto, assurdo visto che abbiamo detto che bisogna mantenere la disequazione di

+ < 0,

prima (che diventerebbe 0 ≤ ≤ + < 0)

TEOREMA di monotonia:

e successioni convergenti tc

Siano e

} { }

{ lim = lim = ′

→ +∞ → +∞

Se definitivamente allora

≤ ≤ ′

DIMOSTRAZIONE

una successione uguale a

Sia }

{ = −

allora anche il

Allora converge a siccome (teorema della permanenza del

}

{ ≥ 0 lim

′ − , ≥ 0

→ +∞

segno) ′ ′

Pertanto, , quindi

− ≥ 0 ≤

TEOREMA del confronto + COROLLARIO:

successioni convergenti

Siano ,

}, { } { }

{ , lim = lim = ′ lim = ′′

→ +∞ → +∞ → +∞

′

Se definitivamente allora

≤ ≤ ≤ ≤ ′′

DIMOSTRAZIONE

Si applica il teorema di monotonia due volte: ′ ′′

≤ ′ ≤ ′ ′′

sono successioni convergenti

COROLLARIO: Se e

}, { } { } { } { } }

{ {

, → , → →

, = ′′

allora lim =

→ +∞

CRITERIO di convergenza per le successioni monotone:

Ogni successione (definitivamente) monotona è regolare (o convergente o divergente)

CRESCENTE e LIMITATA superiormente converge

Se

• }

{ 

CRESCENTE e ILLIMITATA diverge +∞

Se

• }

{ 

DECRESCENTE e LIMITATA inferiormente converge

Se

• }

{ 

DECRESCENTE e ILLIMITATA diverge -∞

Se

• }

{ 

DIMOSTRAZIONE CRESCENTE e LIMITATA superiormente”)

Dimostro solo per il primo caso (“{ }

Per l’assioma di Dedekind (se un insieme è superiormente/inferiormente limitato allora ha un estremo

superiore/ inferiore) l’insieme deve avere un estremo superiore (che chiamo

{ | ∈ } )

Definizione di superiore: },

{

∀ > 0 ,

− ≤

Siccome la successione è crescente, vuol dire che avrò

∀ ≥

− ≤ ≤ ≤

Quindi si avrà che è la definizione di limite per difetto

− ≤ ≤

Carattere della serie geometrica:

= 1 + ∞

⎧ = −1

⎪ > 1 + ∞

+∞

∑

=0 < −1

⎨

⎪ 1

−1 < < 1

⎩ 1−

DIMOSTRAZIONE

q = 1

• +∞ (

� 1 = lim �� 1 � = lim + 1) = + ∞

→ +∞ → +∞

=0 =0

q = -1

• +∞ =

�(−1)

=0

Se q≠ 1 allora +∞ +1

1 −

� = lim �� � = lim � �

1 −

→ +∞ → +∞

=0 =0

q > 1

• +1

1 − = +∞

lim � �

1 −

→ +∞

q < -1

• +1 +1 non esiste

||

( ) (−1)

lim ∗

=

→ +∞

-1 < q < 1

• +∞ +1

1 − 1

=

� = lim � � 1 −

1 −

→ +∞

=0