Appunti prima prova itinere, Geometria e algebra lineare

DEFINIZIONI

LAPLACE: la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici non dipende dalla

linea

II LAPLACE: la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di un’altra è uguale a zero

COMBINAZIONE LINEARE: una linea che si ottiene sommando/sottraendo altre linee della matrice

DIPENDENTI e INDIPENDENTI: si verifica ponendo

R = 3R +4R – 2R

1 2 5 6

R – 3R +4R – 2R = 0 allora sono tutte dipendenti

1 2 5 6

L'unico modo per cui una linea sia dipendente è che per ottenere un eq = 0 solo quando tutti i coefficienti sono

uguali a zero : Il determinante del prodotto di matrici è uguale a fare il prodotto dei determinanti dei singoli fattori

TEOREMA Binet

ROUCHÈ: Un sistema lineare AX = B ammette soluzioni solo se il rango di A è uguale al rango di A’ = A=[A|B]

Per ottenere il numero di soluzione generica devo trasformare il sistema in un sistema quadrato MX’ = B’

∞

n-r

Se voglio solo il numero di soluzione è

SISTEMA OMOGENEO: sono sempre risolubili

AX = B X = X* + Xo

: sia un sistema risolubile, allora X* è soluzione se solo se

TEOREMA Xo è la soluzione del sistema omogeneo associato (che corrisponde al vettore di direzione)

X* è la soluzione particolare (soluzione del sistema lineare – soluzione del sistema omogeneo)

E corrisponde al punto di passaggio

5 5 5

− −

−

3 3 3 \ ∈ �

= \ ∈ � = 0 �

�� � ��

1 4

+ 3

3 3

5

5 5 5

⎡− ⎤

⎡− ⎤ ⎡− ⎤

−

3

3 3 3

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= + ∗ +

4

4 1

1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

3

3 3

3 ⎦

⎣ ⎦

⎣

⎦

⎣

0

AX = 0

SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO:

SPAZIO VETTORIALE

TEOREMA vettori indipendenti: l’insieme x è linearmente dipendente sse uno dei suoi elementi è

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnncombinazione lineare dei rimanenti

TEOREMA del rimpiazzamento: X = {v , v , …, v } spazio V campo K,

Sia un insieme generatore di uno vettoriale sul e

1 2 n

Y= {w , w , …, w }

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsi un insieme si vettori linearmente indipendenti di V

1 2 m

Allora m ≤n

Mmmmmmmmmmmmmmmm

DIMOSTRAZIONE

TEOREMA delle basi: Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la medesima dimensione

DIMOSTRAZIONE

B , B sono vettori dello spazio V

1 2

Considero

B insieme generatore

come

1

B insieme indipendente

come

2

Pertanto, |B2| ≤ |B1|, ma se considero che indipendente

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnB insieme

1 generatore

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnB insieme

2

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAllora |B1| ≤ |B2|.

Quindi |B2| = |B1|

TEOREMA delle coordinate: v V, base B,

Dato e fissata la

∈

n – pla (α , α , ..., α ) K

mmmmmmmmmmmmm la e univocamente determinata.

∈

1 2 n

v = α v + α v + ... + α v

1 1 2 2 n n

DIMOSTRAZIONE (β , β , ..., β ) ≠ (α , α , ..., α )

Supponiamo che esistano β , β , ..., β K, con tali che

∈ 1 2 n 1 2 n

1 2 n

v = β v + β v + ... + β v

1 1 2 2 n n

Allora possiamo scrivere che

0 = v − v = (α1 − β1) v1 + (α2 − β2)v2 + ... + (αn − βn)vn.

Poiché v , v , …, v devono essere indipendenti, visto che sono vettori di una base, ma se

1 2 n

(β , β , ..., β ) ̸ = (α , α , ..., α ) non posso aver tutti i coefficienti nulli, quindi, non sarebbero indipendenti

1 2 n 1 2 n

Quindi esiste una sola ennupla per rappresentare un vettore in una determinata base

TEOREMA del sottospazio: Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V e un

a, b K v, w W,

sottospazio se e solo se per ogni e per ogni

∈ ∈

av + bw W.

sia ∈

TEOREMA della chiusura lineare: chiusura lineare

La di X K è il più piccolo sottospazio di K contenente X.

n n

⊆

DIMOSTRAZIONE

Ogni sottospazio W di K , contiene ogni combinazione lineare dei suoi elementi, quindi, se X W, contiene L(X).

n ⊆

(MATRIOSCHE)

TEOREMA 1 del sistema omogeneo e dei sottospazi: L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo

AX = 0, di m equazioni in n incognite, è un sottospazio di R avente dimensione n − k, essendo k la caratteristica A.

n

TEOREMA 2 del sottospazio e dei sistemi omogenei: Ogni sottospazio W di R , di dimensione k (1 ≤ k ≤ n − 1), può

n

rappresentato come l’insieme delle soluzioni sistema lineare omogeneo

essere di un opportuno di n – k equazioni

in n incognite.

DIMOSTRAZIONE

B = {v , ..., v } -> base di W

1 k

u = [x , x , ..., x ] generico vettore di R

t n

1 2 n -> [v1| v2| … | u]

Matrice A (n, k+1)

U ϵ W sse rango di A = k = dimensione di W

….

TEOREMA fondamentale delle applicazioni lineari: V e W spazi vettoriali

Se sono sullo stesso campo K, e

B = {v , . . ., v } base di V, n vettori di W, w , . . ., w

e una fissati ad esempio , esiste un’unica applicazione lineare

1 n 1 n

f: V → W tale che f(vi) = wi, i = 1, . . ., n

DIMOSTRAZIONE

Se prendo un generico vettore di V (v ϵ V)

combinazione lineare

Posso vedere quella v come degli elementi della base B

= + + ⋯ +

combinazione lineare base di B,

Allo stesso modo posso vedere f(v) come una degli elementi della ma “sottoposti

“alla funzione () = ( ) + ( ) + ⋯ + ( )

), f(v ), …, f(v ) immagini di v

f(v sono delle e quindi elementi di W posso rinominarli come w , w , …., w

Però 1 2 n 1 2 n

, viene soddisfatta

In questo modo la condizione del teorema, ovvero f(vi) = w i

+ + ⋯ +

() =

verificare che l’applicazione sia lineare

Adesso bisogna

Prendo due vettori (v, u ϵ V)

• Prendo due scalari (α, β ϵ K)

• f (au + bv ) = af(u) + bf(v)

E applico la formula

• verificare l’applicazione sia unica

Adesso bisogna che (lo faccio per assurdo)

g: V → W

Prendo un’altra funzione lineare che soddisfa tutti i requisiti del teorema

• Prendo un generico vettore

• + + ⋯ +

=

Scrivo g(v) come

• () ) = ( ) + ⋯ + ( )

= ( + + ⋯ +

g(v ) = w , … , g(v ) = w

Posso vedere

• 1 1 n n

) )

• ( ( + ⋯ + = ()

+ ⋯ + =

Quindi g(v) = f(v), il che significa f = g

TEOREMA 1 del nucleo e dell’immagine: Il nucleo è un sottospazio di U, l’immagine è un sottospazio di V

DIMOSTRAZIONE dimostra che ker F sia una un sottospazio di U

Il primo step è quello di

• due vettori (u, v ker f) verificare f(v) = 0, f(u) = 0

Per farlo devo prendere e che la funzione siano vere

∈

Per farlo applico la definizione di applicazione lineare

f(au + bv ) = af(u) + bf(v) =