Appunti di Analisi matematica 1

INSIEME R

Rⁿ numeri reali   a, b, c ∈ R

si dice campo ordinato in quanto posso ordinare gli elementi   a ≤ b ; a ≥ b

R (+ , ⋅) → ha queste operazioni

• assiomi
• ¹ associativa   a + (b+c) = (a+b) + c   per il +

(a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c)     per il ⋅

• ² commutativa   a + b = b + a

a⋅b = b⋅a

• ³ distributiva   c ⋅ (a+b) = (c⋅a) + (c⋅b)
• ⁴⁾ esiste un elemento neutro rispetto alla somma ed è 0, infatti   a + 0 = a
• ⁵⁾ “ “        al prodotto ed è 1, infatti   a ⋅ 1 = a
• ⁶⁾ ∀a ∈ R     opposto di a   ⇒   a : a+(−a)=0          x la somma
• ⁷⁾ ∀a ∈ R\{0}     inverso di a   ⇒   a⁻¹ : a⋅a⁻¹=1

       con   a⁻¹=1/a     x il prodotto

• ⁸⁾ X, Y ∈ R con Y ≠ 0    ⇒   X^Y ≡ X ⋅ Y⁻¹

POTENZE E RADICALI

N = { 1, 2, 3, ... }

N₀ = { 0, 1, 2, ... }

∀ x ∈ R \{ 0 },   n ∈ N

  ⇒ Xⁿ = X ⋅ X ⋅ X ⋅ ... ⋅ X

                                             n VOLETE

e   X⁻ⁿ = 1/Xⁿ    con   X ≠ 0    X⁰ = 1

If   X > 0   (∈ R⁺)   ⇒ ∃   ∀ e'    ∀ n ∈ N   X   ⇒ Yⁿ = X   ⇒ Y = ^n√X

– se n è pari   ∀ X   esiste per X ∈ R⁺

– se n è dispari        X   esiste per    ∀ X ∈ R

X^m/n               m,n ∈ N         ≡   ^n√(X^m)

                          se n è pari   X > 0

                          se n è dispari                                 ∀ X ∈ R

X⁰ = 0                X^m/n = ¹/_n√X^m

                                           ∀ X > 0      se n dispari   per   X ≠ 0

Potenze con esponenti reali

x⁰ any a ∈ ℝ - {0}

• x^a per a ∈ ℝ, x > 0
• a ∈ ℤ per x < 0

x⁰ per x > 0

x^-n per x ≠ 0

Conseguenze (teoremi)

1. a ≤ b o a ≥ b
2. se a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b
3. simmetria a ≥ b ⇒ b ≤ a
4. se a ≤ b ⇒ ∀ c ∈ ℝ ⇒ a + c ≤ b + c
5. se a ≥ b≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0
6. a|b ≥ 0

Valore assoluto (o modulo)

∀ x ∈ ℝ

|x| = {x se x ≥ 0

-x se x < 0

|x + 1| = {x + 1 se x + 1 ≥ 0

- (x + 1) se x + 1 < 0

Proprietà

|x + y| ≤ |x| + |y| → disuguaglianza triangolare

|x| ≥ 0 ∀ x ∈ ℝ

|x - y| ≥ ||x| - |y||

Logaritmo

∀ x ∈ ℝ⁺, a ∈ ℝ a > 0 e a ≠ 1 ⇒ log_a x = y ; a^y = x

Proprietà e regole

1. log_a (b⋅c) = log_a b + log_a c
2. log_a (b^c) = c log_a b
3. log_a (b/c) = log_a b - log_a c
4. log_a b = log_c b / log_c a → cambio di base

log_>a 1 = 0

y = log_ax

Dominio x > 0

f: ℝ⁺ → ℝ

x → log_ax

x₁ <> x₂

log_a x₁ <> log_a x₂   e unicamente

f: [ [ in ) ) y

f^-1(f(x)) = x

1. log_ax

Intervalli (INSIEMI LIMITATI)

• [a, b] = { x ∈ ℝ, a ≤ x ≤ b }
• (a, b) = { x ∈ ℝ, a < x < b } = [ a, b [
• (a, b] = { x, a < x ≤ b }
• [a, b) = { x, a ≤ x < b }

Intervalli illimitati

• [a, +∞)
• (−∞, b]

→ INTERVALLO LIMITATO SUPERIORMENTE

→ INTERVALLO LIMITATO INFERIORMENTE

ℝ = (−∞, +∞) → INTERVALLO ILLIMITATO

• FUNZIONE PERIODICA

∃T>0 | ∀x ∈ D ⇒ ∃x₁ ∈ D_A (f(x₁ + T)) = f(x)

Proprietà: D illimitato perché se x ∈D ⇒ (x+T) ∈D … (x+mT) ∈D ∀ m∈ℕ

f(x+m) = f(n) ⇒ f(x+mT) = f(x) ∀ m∈ℕ

• FUNZIONE LINEARE

f(x) = mx+q con m, q∈ℝ

Se q=m=0 ⇒ f(x) = q ⇒ f costante

D: ℝ

Im(f) = [β]

NON INIETTIVA; non suriettiva su R; funzione pari

Se q=m≠0 ⇒ D, R Im(f)= ℝ

INIEZIONE; è suriettiva su R ⇒ BIIETTIVA; crescente se q+m>0, decrescente se m C(R)

PF: La funzione f è limitata superiormente se E(f) è limitato superiormente

f è limitata inferiormente se E(f) è limitato inferiormente

f è limitata se E(f) è limitato.

E(f) = {y ∈ R: y = f(x)

x ∈ A} -> limitato se ∃k ∈ R⁺: |f(x)| ≤ k

y = sen x

E = [-1,1] -> è limitato con k=1 => |sen x| ≤ 1, ∀x ∈ R

y = x²

R => R⁺₀ -> è limitato inferiormente.

Teorema superiore di una f / inferiore

PF: Λ = sup f(x), x∈A = sup E(f)

λ = inf f(x), x∈A = inf E(f)

y = sen x

Λ = 1 λ = -1

y = x²

Λ = +∞ λ = 0

1. a) Se Λ ∈ E(f) => ∃ x ∈ A | f(x) = Λ
2. a) a si dice massimo assoluto della funzione
3. Se λ ∈ E(f) => ∃ x ∈ A | f(x) = λ
4. b) b si dice minimo assoluto della funzione

a = ∃ ù in x ∈ A | f(x) = M

Etringere il dominio

y = x²

[ -1,1 ] -> [ 0,1 ]

Λ ≡ M ≡ 0,

λ ≡ -1,1

Funzione con base ed esponente variabile

y = x ^ x

x > 0

log y = log x^x - x log x

=> y = e ^ x log x