Appunti Analisi matematica 1

ASSIOMA DEI NUMERI REALI

R –> campo ordinato e completo –> 2 operazioni

·

Somma e prodotto (+ e ) –> operazioni binarie

Relazione d’ordine (≥) –> ordinamento (numeri più grandi o più piccoli di altri)

PROPRIETA’ ALGEBRICHE a (b + c) (a + b)

Proprietà ASSOCIATIVA –> se ad sommo = se ad

c є R)

sommo (V a,b,c

(nota che le somme vengono “sommate” con numeri singoli)

· · · ·

Prodotto –> a (b c) = (a b) c

V = quantificatore

Proprietà COMMUTATIVA –> a + b = b + a, a · b = b · a (V a,b є R)

Proprietà DISTRIBUTIVA –> il prodotto si distribuisce sulla somma, ma non

l’inverso

· + · ·

a (b c) = (a b) + (a c) (V a,b,c є R)

RELAZIONE D’ORDINE (≥) –> risulta totale –> grazie a proprietà dicotomia

Riflessiva: a ≥ b (V a є R)

Antisimmetrica: a ≥ b , b ≥ a => a = b

Transitiva: a ≥ b , b ≥ c => a ≥ c (V a,b,c є R)

*=>* –> simbolo di implicazione che da veridicità o falsità assoluta della tesi

Sx –> ipotesi (condizione sufficiente)

Dx –> tesi (condizione necessaria)

PROPRIETA’ DICOTOMIA: V a,b є R si ha a ≥ b o b ≥ a –> numeri tutti ordinati a

coppie

a ≤ b quando b ≥ a

a > b quando a ≥ b e a ≠ b

a < b quando b > a

se (a ≥ b) –> (a + c) ≥ (b + c) –> a è sempre maggiore/uguale a b

se (a ≥ b) –> (a · c) ≥ (b · c) –> a è maggiore/uguale a b solo se c è un numero

positivo (c > 0) ≠ ·

Elementi neutri (V a є R) Ǝ 0 1 tali che a + 0 = a , a 1 = a



0 –> elemento neutro della somma (a+0=a)

·

1–> elemento neutro del prodotto (a 1=a)

Numero opposto –> a + (-a) = 0 V a є R Ǝ -a є R tale che a + (-a) = 0

·

Numero reciproco –> a 1/a = 1 V a є R - {0} Ǝ 1/a (a^-1) є R - {0}

·

tale che a 1/a = 1

Relazione tra ordinamento e algebra:

se a ≤ b e c є R => a + c ≤ b + c

se a ≤ b e c ≥ R => a · c ≤ b · c

Assioma di completezza

A ≠ / , B ≠ / appartenenti ad N tali che A precede B, cioè a ≤ b (V a є A, V b є

B)

Allora Ǝ c є R (detto elemento separatore) tale che:

c ≥ a (V a є A)

c ≤ b (V b є B)

c è un numero sempre maggiore di a e minore di b (compreso tra a e b)

Sottoinsiemi numerici notevoli:

N –> numeri naturali –> {1,2,3,4,5,6….} –> proprietà induttiva verificata –> il

successivo si ottiene aggiungendo 1 al numero precedente

+ piccolo sottoinsieme di R –> no reciproci e opposti (+, ·)

1) 1 є N

2) n є N, n+1 є N

Z –> interi relativi –> {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} –> opposti presenti, no

reciproci (+, -, ·)

Q –> razionali –> {m/n tale che m є Z, n є N, m < n e primi tra loro} (+, -, ·,

÷)

Retta

Retta reale r –> orientata con riferimento cartesiano

Proprietà del continuo –> se dividi la retta in due, tra le due parti c’è

sicuramente 1 punto (punto separatore c)

3u 2u u 0 u 2u 3u 4u

Ascisse -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ou = 1

2Ou = 2

3Ou = 3

Funzione ascissa

X: r –> R

Se P є r allora x(P) è la lunghezza relativa (con segno) del segmento che ha per

estremi l’origine e il punto P

OP se P segue 0

x (P) = - PO se P precedente 0

La funzione ascissa è iniettiva (associa ad ogni punto di “A” uno e un solo punto

di “B”)

Se P1 ≠ P2 є R –> x (P1) ≠ x (P2)

E suriettiva, cioè –> V x є R Ǝ P є r, tale che x = x (P)

Funzione modulo/ valore assoluto

La funzione |·| è definita in R che associa a x є R la lunghezza del segmento che

ha per estremi l’origine 0 e il punto di ascissa x

y x

y = |x|

|x| = |

x| -x

x -x

x

Proprietà

1 Positività –> |x|≥ 0 e |x|= 0 x = 0



2 Simmetria –> |x| = |-x| V x є R

*funzioni pari –> f (x) = f (-x) (es. x², cos x)* *funzione dispari –> f (x) = - f

(x) (es. sin x, tg x)*

3 -|x|≤ x ≤ |x|

4 |x| ≤ a

5 |x · y| = |x|·|y|, |1/x| = 1/|x| se x ≠ 0, |x/y|= |x|/|y| se y ≠ 0

6 disuguaglianza triangolare

|x + y| ≤ |x|+|y| V x , y є R

proprietà numero 3

- |x| ≤ x ≤ |x| –>

- |y| ≤ y ≤ |y|

- (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|)

- a a

-a ≤ x + y ≤ a

proprietà numero 4

|x| ≤ a –> –> |x + y| ≤ |x|+ |y|

Distanza euclidea su R

Siano x, y ϵ R, poniamo d (x, y) = │x - y│. Tale funzione fornisce la lunghezza

del segmento che ha per estremi i fattori di ascisse x e y.

0

d (x, y) x y

Proprietà

① Positività: d (x, y) ≥ 0 e d (x, y) = 0 x = y



│x - y│ x – y = 0 x = y

 

② Simmetria: d (x, y) = d (y, x) –> |x – y| = |y – x|

③ Disuguaglianza triangolare: ogni lato ha lunghezza < della somma delle

lunghezze degli altri 2

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y)

|| z

|x – y| = |x – z + z – y| = |a + b| ≤ |x - z| + |z - y|

|| || y

d (x, z) d (z, y)

x

Intorno sferico

|x - 1| < 1 –> |x - x₀| < r –> (x₀ - r, x₀ + r) –> intorno sferico

Dato r > 0 e x₀ ϵ R, si dice intorno sferico di x₀ di raggio r l’insieme:

Iᵣ (x₀) = {x ϵ R / x₀ - r < x < x₀ + r} = {x ϵ R / │x - x₀│ < r}