Appunti per la prova scritta di Analisi II

BREVI APPUNTI SU ANALISI II

Francesco Di Leo

21/06/2022

Indice

1 MASSIMI E MINIMI IN 3

n

R

1.1 DERIVATE PARZIALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Derivate parziali di funzioni a 2 variabili . . . . . . . . 5

1.1.2 Derivate parziali di funzioni a 3 variabili . . . . . . . . 5

1.1.3 Derivate parziali seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Gradiente di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 MASSIMI E MINIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Matrice Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Ricerca di massimi e minimi . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Massimi e minimi vincolati . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Parametrizzare la frontiera . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI 13

2.1 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE . . . 14

2.1.1 Equazioni dierenziali a variabili separabili . . . . . . . 14

2.1.2 Equazioni dierenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Equazioni dierenziali di Bernoulli . . . . . . . . . . . 15

2.1.4 Equazioni dierenziali omogenee . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE . 17

2.2.1 Equazioni dierenziali lineari . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Equazioni dierenziali lineari non omogenee . . . . . . 19

2.2.3 Metodo di Lagrange o della variazione delle costanti . . 19

2.2.4 Metodo di somiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5 Equazioni dierenziali non lineari . . . . . . . . . . . . 20

3 INTEGRALI MULTIPLI 22

3.1 INTEGRALI DOPPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Integrali doppi su domini normali . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Matrice Jacobiana e Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.3 Integrali doppi per sostituzione . . . . . . . . . . . . . 25

1

3.1.4 Sostituzione in coordinate polari . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.5 Sostituzione in coordinate polari ellittiche . . . . . . . 27

3.1.6 Area di insiemi con gli integrali doppi . . . . . . . . . . 27

3.2 INTEGRALI TRIPLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1 Integrali doppi su domini normali . . . . . . . . . . . . 28

3.2.2 Sostituzione in coordinate cilindriche . . . . . . . . . . 29

3.2.3 Sostituzioni in coordinate sferiche . . . . . . . . . . . . 30

3.2.4 Sostituzioni in coordinate sferiche ellittiche . . . . . . . 31

3.2.5 Integrazione per li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.6 Integrazione per strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.7 Volume di insiemi con gli integrali tripli . . . . . . . . 32

3.3 INTEGRALI CURVILINEI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Parametrizzazione di curve fondamentali . . . . . . . . 34

3.3.3 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.4 Integrali curvilinei (di prima specie) . . . . . . . . . . . 35

3.3.5 Integrali curvilinei (di seconda specie) . . . . . . . . . . 36

3.4 CAMPI VETTORIALI CONSERVATIVI E IRROTAZIONALI 38

3.4.1 Campi vettoriali conservativi . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.2 Campi vettoriali irrotazionali . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5 INTEGRALI DI SUPERFICIE . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5.1 Area di una supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5.2 Integrali di supercie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.5.3 Flusso attraverso una supercie . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 FORMULE UTILI PER IL CALCOLO INTEGRALE . . . . . 45

2

Capitolo 1

MASSIMI E MINIMI IN n

R

1.1 DERIVATE PARZIALI

Nei corsi di analisi 1 abbiamo studiato le funzioni di una variabile

→

f : I R

e abbiamo denito i principali operatori quali e .

derivate integrali

Deniamo ora il concetto di funzioni a più variabili, esse sono del tipo:

→

f :Ω R

ove è un sottoinsieme di .

n

Ω R

Dunque la funzione denita sopra è a variabili: .

n f (x , x , . . . , x )

1 2 n

Ci concentreremo a studiare principalmente le funzioni a 2 e 3 variabili

che sono rispettivamente: tale che

2

⊂ →

f : Ω f = f (x, y)

R R

e tale che

3

⊂ →

f : Ω f = f (x, y, z)

R R

Da ciò si deduce che il graco di una funzione a 2 variabili è rappresentato

in mentre il graco di una funzione a 3 variabili è rappresentato in .

3 4

R R

Osserviamo che in tutti i casi non è altro che il dominio della funzione a

Ω

più variabili (proprio come accadeva in una variabile).

Deniamo ora il concetto di .

derivata parziale

Ricordiamo che una funzione di una variabile è derivabile in un

→

f : I R

punto se

∈

x I

0 −

f (x + h) f (x )

0 0 ∈

∃ lim R

h

h→0 3

oppure equivalentemente se −

f (x) f (x )

0 ∈

∃ lim R

−

x x

x→x 0 0

In modo analogo possiamo denire il concetto di per funzioni a più

derivata

variabili, però sorge un problema: rispetto a quale variabile deriviamo se la

funzione presenta più di una variabile?

Per questo, per le funzioni in più variabili, si denisce il concetto di de-

, ossia la derivata rispetto ad una sola variabile e trattando le

rivata parziale

altre come costanti.

Formalizziamo il tutto dando alcune denizioni.

Sia con sottoinsieme

Denizione. →

f : Ω f = f (x , x , . . . , x ) Ω

R, 1 2 n

di una funzioni in più variabili e sia .

n ∈

y Ω

R

Diremo che è derivabile parzialmente in rispetto alla variabile

f y x i

(con ) se:

i = 1, . . . , n −

f (y + h) f (y) (1.1)

∈

∃ lim R

h

h→0

Ove è il vettore nullo tranne nell'i-esima componente

h = (0, . . . , h , . . . , 0)

i

(quella in base al quale si deriva) e .

∈

y = (y , y , . . . , y ) Ω

1 2 n

Dunque mettendo insieme queste informazioni nella 1.1 si ottiene che è

f

derivabile parzialmente in un punto rispetto alla variabile se:

y x i

−

f (y , . . . , y + h , . . . , y ) f (y , . . . , y , . . . , y ) (1.2)

1 i i n 1 i n ∈

∃ lim R

h

→0

h i

i

Se il limite nella 1.2 esiste ed è un numero reale si pone:

−

∂f f (y , . . . , y + h , . . . , y ) f (y , . . . , y , . . . , y )

1 i i n 1 i n

(y) := lim

∂x h

→0

h

i i

i

e dicesi di in rispetto ad .

derivata parziale f y x i

Diremo che è derivabile in un punto se f è derivabile parzialmente

∈

f y Ω

in rispetto a tutte le variabili .

y x i

Diremo che è derivabile parzialmente in se è derivabile parzialmente

f x i

rispetto alla variabile .

∀y ∈ Ω x i

Diremo che è derivabile in se è derivabile parzialmente ∀y ∈

f Ω f Ω

rispetto a tutte le variabili .

x i

In particolare studiamo le derivabilità delle funzioni in 2 ( ) e 3 ( )

x, y x, y, z

variabili. 4

1.1.1 Derivate parziali di funzioni a 2 variabili

Una funzione di due variabili è del tipo

tale che

2

⊂ →

f : Ω f = f (x, y)

R R

In questo caso possiamo derivare rispetto alla variabile e rispetto alla

x

variabile .

y

Per quanto detto nella 1.2, è derivabile in un punto rispetto

∈

f (x , y ) Ω

0 0

alla variabile se:

x −

f (x + h, y ) f (x , y )

0 0 0 0

∃ ∈

lim R

h

h→0

mentre è derivabile in rispetto a se:

(x , y ) y

0 0 −

f (x , y + h) f (x , y )

0 0 0 0

∃ ∈

lim R

h

h→0

E in tal caso porremo ∂f

∂f (x , y ), (x , y )

0 0 0 0

∂x ∂y

le derivate parziali rispetto a e nel punto .

x y (x , y )

0 0

1.1.2 Derivate parziali di funzioni a 3 variabili

Una funzione di due variabili è del tipo

tale che

3

⊂ →

f : Ω f = f (x, y, z)

R R

In questo caso possiamo derivare rispetto alla variabile , rispetto alla varia-

x

bile e rispetto a .

y z

Per quanto detto nella 1.2, è derivabile in un punto ∈

f (x , y , z ) Ω

0 0 0

rispetto alla variabile se:

x −

f (x + h, y , z ) f (x , y , z )

0 0 0 0 0 0

∃ ∈

lim R

h

h→0

è derivabile in rispetto a se:

(x , y , z ) y

0 0 0 −

f (x , y + h, z ) f (x , y , z )

0 0 0 0 0 0

∃ ∈

lim R

h

h→0

mentre è derivabile in rispetto alla variabile se:

(x , y , z ) z

0 0 0 −

f (x , y , z + h) f (x , y , z )

0 0 0 0 0 0

∃ ∈

lim R

h

h→0 5

E in tal caso porremo

∂f ∂f ∂f

(x , y , z ), (x , y , z ), (x , y , z )

0 0 0 0 0 0 0 0 0

∂x ∂y ∂z

le derivate parziali rispetto a , e nel punto .

x y z (x , y , z )

0 0 0

1.1.3 Derivate parziali seconde

Una volta capito il concetto di derivata parziale di una funzione, è facile

denire ricorsivamente le derivate parziali seconde rispetto a più variabili.

Incominciamo con il caso in cui vogliamo derivare parzialmente due volte una

funzione rispetto alla stessa variabile .

x i

Allora si denisce di in un punto

derivata parziale seconda ∈

f y Ω

rispetto alla variabile come la derivata parziale rispetto ad della derivata

x x

i i

parziale di rispetto ad e quindi:

f x i 2 ∂ ∂f

∂ f (y) := (y)

2

∂x ∂x ∂x

i i

i

Si parla, invece, di quando si deriva due volte

derivate parziali miste f

rispetto a due variabili distinte . In tal caso si ha:

x , x

i j

2 ∂ ∂f

∂ f (y) := (y)

∂x ∂x ∂x ∂x

i j i j

2 ∂ ∂f

∂ f (y) := (y)

∂x ∂x ∂x ∂x

j i j i

Si ha che se le derivate parziali miste sono funzioni continue, allora non im-

porta l'ordine di derivazione poiché esse coincidono in ogni punto (

Teorema

):

di Schwartz 2 2

∂ f ∂ f

=

∂x ∂x ∂x ∂x

i j j i

Tuttavia l'uguaglianza non è garantita se le derivate parziali miste non sono

continue. 6

1.1.4 Gradiente di una funzione

Sia una funzione ad n variabili. Supponiamo che sia derivabile

→

f : Ω f

R

in , ossia ricordiamo che deve essere derivabile parzialmente rispetto a

Ω f

tutte le variabili e in ogni punto di .

Ω

Si denisce di , e si indica con , come il vettore avente per

gradiente ∇f

f

componenti le derivate parziali di rispetto ad ogni variabile, ossia:

f

∂f ∂f ∂f

∇f = , ,...,

∂x ∂x ∂x

1 2 n

Osserviamo, quindi, che il gradiente è un vettore aventi n componenti.

Nel caso in cui è una funzione di due variabili , il

2

⊂ →

f : Ω (x, y)

R R

suo gradiente sarà:

∂f

∂f

∇f (x, y), (x, y)

(x, y) = ∂x ∂y

Mentre per una funzione di tre variabili , il suo

2

⊂ →

f : Ω (x, y, z)

R R

gradiente sarà:

∂f ∂f ∂f

∇f (x, y, z) = (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)

∂x ∂y ∂z

Il gradiente di una funzione è un operatore essenziale per determinare i punti

di massimo o minimo di una funzione in più variabili.

7

1.2 MASSIMI E MINIMI

Sia con sottoinsieme di una funzione ad n variabili.

n

→

f : Ω Ω

R R

Supponiamo che sia derivabile in .

f Ω

Siamo interessati a determinare gli eventuali punti di massimo o minimo

di . Abbiamo che se è un punto di max o min per ,

∈

f (x , x , . . . , x ) Ω f

1 2 n

allora ∇f (x , x , . . . , x ) = 0

1 2 n

Pertanto i punti di max o min vanno ricercati tra i punti nel quale il gradiente

della funzione è nullo.

Tuttavia non vale il viceversa, ossia se non è detto

∇f (x , x , . . . , x ) = 0

1 2 n

che il punto è un punto di max o min in .

(x , x , . . . , x ) Ω

1 2 n

1.2.1 Matrice Hessiana

Sia con sottoinsieme di una funzione ad n variabili. Suppo-

n

→

f : Ω Ω

R R

niamo che sia derivabile in no al secondo ordine, ossia che esistano le

f Ω

derivate parziali seconde e miste di .

f

Si denisce di la seguente:

matrice Hessiana f 2 2

2 ∂ f ∂ f

∂ f 

 (x) (x) ... (x)

2 ∂x ∂x ∂x ∂x

∂x n

1 2 1

1

2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f

(x) (x) ... (x)



 (1.3)

22

∂x ∂x ∂x ∂x

∂x 

 n

.. .. ..

2 1 2

H (x) =

f 

 . . . 

 

 2 2

2 ∂ f ∂ f

∂ f (x)

(x) (x) ... 2

∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

n n

1 2 n

Ove è un punto generico di .

x = (x , x , . . . , x ) Ω

1 2 n

Osserviamo che la matrice 1.3 può essere scritta in forma compatta come:

2

∂ f

H (x) = (x)

f ∂x ∂x

i j i,j=1,...,n

La matrice Hessiana è simmetrica poiché

2 2

∂ f ∂ f

=

∂x ∂x ∂x ∂x

i j j i

8

1.2.2 Ricerca di massimi e minimi

Sia ove è un sottoinsieme di o .

2 3

→

f : Ω Ω

R R R

Ci concentreremo a trovare i punti di massimo o minimo in funzioni di 2

o 3 variabili.

Funzioni di 2 variabili

;

1. Calcolare il gradiente della funzione ∂f

∂f

∇f (x, y), (x, y)

(x, y) = ∂x ∂y

2. Imporre il gradiente uguale a 0 e quindi risolvere il sistema:

∂f

 (x, y) =0

∂x

 ∂f (x, y) =0

 ∂y

3. Dal sistema precedente otterremo dei punti P (x , y ), . . . , P (x , y )

1 1 1 n n n

che saranno i candidati punti di massimo o minimo. Calcoliamo la

matrice Hessiana di nei punti ;

f P , . . . , P

1 n

4. Sia la matrice Hessiana di calcolata nel punto , allora

A = H (P ) f P

i f i i

si ha che:

è denita positiva, allora è un punto di minimo;

ˆ A P

i i

è denita negativa, allora è un punto di massimo;

ˆ A P

i i

è indenita, allora è un punto di sella;

ˆ A P

i i

è semidenita positiva (o semidenita negativa), non si può

ˆ A i

concludere nulla sulla natura di .

P i

Osserviamo che la matrice Hessiana di (nel caso di due variabili) è:

f 2

2 

 ∂ f

∂ f (x, y) (x, y)

2

∂x ∂x∂y

H (x, y) = 



f 

 2 2

∂ f ∂ f

(x, y) (x, y)

2

∂y∂x ∂y

Nel caso di 2 variabili, possiamo capire immediatamente quando la matrice

Hessiana è denita positiva (o negativa), indenita o semidenita positiva (o

negativa) e precisamente: 9

e il primo elemento di , allora è

ˆ det(H (P )) > 0 H (P ) > 0 H (P )

f i f i f i

denita positiva e quindi è un punto di minimo;

P i

e il primo elemento di , allora è

ˆ det(H (P )) > 0 H (P ) < 0 H (P )

f i f i f i

denita negativa e quindi è un punto di massimo;

P i

allora è indenita e quindi è un punto di

ˆ det(H (P )) < 0 H (P ) P

f i f i i

sella; allora è semidenita positiva (o negativa) e

ˆ det(H (P )) = 0 H (P )

f i f i

quindi non si può concludere nulla sulla natura di .

P i

Funzioni di 3 variabili

;

1. Calcolare il gradiente della funzione ∂f ∂f

∂f

∇f (x, y, z), (x, y, z), (x, y, z)

(x, y, z) = ∂x ∂y ∂z

2. Imporre il gradiente uguale a 0 e quindi risolvere il sistema:

∂f

 (x, y, z) =0

∂x









 ∂f (x, y, z) =0

∂y







 ∂f

 (x, y, z) =0

∂z

3. Dal sistema precedente otterremo dei punti P (x , y , z ), . . . , P (x , y , z )

1 1 1 1 n n n n

che saranno i candidati punti di massimo o minimo. Calcoliamo la

matrice Hessiana di nei punti ;

f P , . . . , P

1 n

4. Sia la matrice Hessiana di calcolata nel punto , allora

A = H (P ) f P

i f i i

si ha che:

è denita positiva, allora è un punto di minimo;

ˆ A P

i i

è denita negativa, allora è un punto di massimo;

ˆ A P

i i

è indenita, allora è un punto di sella;

ˆ A P

i i

è semidenita positiva (o semidenita negativa), non si può

ˆ A i

concludere nulla sulla natura di .

P i

Osserviamo che la matrice Hessiana di (nel caso di tre variabili) è:

f 2 2

2 ∂ f

∂ f ∂ f 

 (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)

2

∂x ∂x∂y ∂x∂z 

 

 2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f

H (x, y, z) = (x, y, z) (x, y, z) (x, y, z) 



f 2

∂y∂x ∂y ∂y∂z 

 

 

 2 2 2

∂ f ∂ f ∂ f

(x, y, z) (x, y, z) (x, y, z)

2

∂z∂x ∂z∂y ∂z

10

1.2.3 Massimi e minimi vincolati

A volte sorge la necessità di trovare i massimi e minimi di una funzione,