Appunti per la prova scritta di Analisi II

Perciò l'integrale in 3.1 diventerà:

ZZZZ ·f (x, y)dxdy = f (x + aρ cos(θ), y + bρ sin(θ)) abρ dρdθ0 0FD

Ove è il trasformato di mediante la trasformazione .F D φ3.1.6 Area di insiemi con gli integrali doppi

Attraverso gli integrali doppi è possibile calcolare l'area di un insieme .⊂D Ω

Precisamente: ZZ (3.4)A(D) = dxdyDossia l'area dell'insieme è semplicemente l'integrale doppio su dellaD Dfunzione costante unitaria 2∀(x, ∈f (x, y) = 1 y) R273.2 INTEGRALI TRIPLI

Sia , e sia . Vogliamo calcolare3⊂ → ⊂f : Ω f = f (x, y, z) G ΩR R ZZZ (3.5)f (x, y, z)dxdydzGCome nel caso degli integrali tripli, mettiamoci nel caso più semplice, ossiaquando è un parallelepipedo.GEsso allora potrà essere

descritto nel seguente modo:3{(x, ∈ | ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ }G = y, z) a x b, c y d e z fRessendo . Oppure in notazione compatta:∈a, b, c, d, e, f R × ×G = [a, b] [c, d] [e, f ]In questo caso l'integrale in 3.5 diventa:f d b Z ZZZZZ f (x, y, z)dx dy dzf (x, y, z)dxdydz = e c aG3.2.1 Integrali doppi su domini normaliRicordiamo che, per quanto riguarda le funzioni a due variabili, ci sono duetipi di domini normale: rispetto all'asse e rispetto all'asse .x yPer le funzioni di tre variabili abbiamo sei tipi di domini normali Gè normale al piano con:ˆ G (x, y)normale all'asse oppure 2⊂D xR normale all'asse . 2⊂D yRnormale al piano con:ˆ G (x, z)normale all'asse oppure 2⊂D xR normale all'asse . 2⊂D zRnormale al piano con:ˆ G (y, z)normale all'asse oppure 2⊂D yR normale all'asse 2⊂D zR 28Ad esempio il dominio: 3{(x, ∈ | ∈ ≤ ≤G = y, z) (x, y) D, α(x, y) z β(x,

Rè un dominio normale in rispetto al piano e in cui è un dominio3 (x, y) DRnormale in rispetto all'asse .2 xR
In questo caso l'integrale in 3.5 diventa: ! !b δ(x) β(x,y)ZZZ Z Z Zf (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dy dxG a γ(x) α(x,y)chiamata in .formula di riduzione 3RVediamo ora alcune particolare sostituzioni che si usano per calcolare gliintegrali tripli.3.2.2 Sostituzione in coordinate cilindricheUn avente per base il cerchio di centro e raggio e di altezzacilindro (0, 0) rè descritto dall'insieme:h 3 2 2 2{(x, ∈ | ≤ ≤ ≤G = y, z) x + y r , 0 z h}RSi utilizzano le quando bisogna integrare su un insiemecoordinate cilindricheche rappresenta un cilindro o una parte di esso.G Si pone la sostituzione:  x = ρ cos(θ) (3.6)y = ρ sin(θ)z = zcon .∈ρ > 0, 0 < θ < 2π < z RLa

trasformazione dunque è: φ(ρ, θ, z) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ), z)e la matrice Jacobiana relativa a questa trasformazione è:
  -ρcos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) ρ cos(θ) 0 0 0 1  

da cui si ricava lo Jacobiano
det(J(ρ, θ, z)) = ρ cos(θ) + ρ sin(θ) = ρ(cos(θ) + sin(θ)) = ρφ

Perciò l'integrale in 3.5 diventerà:
∫∫∫ f(x, y, z)dxdy = f(ρ cos(θ), ρ sin(θ), z) ρ dρdθdz

Dove è il trasformato di mediante la trasformazione φ.
Possiamo osservare che qualora l'insieme coincida esattamente con il cilindro avente per base il cerchio di centro e raggio e di altezza h, allora il trasformato di mediante la trasformazione è un parallelepipedo:
{ (ρ, θ, z) | 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ h }

0 z h}Ovviamente si può generalizzare mediante le sostituzioni in 3.2 qualora la base del cilindro sia un qualsiasi cerchio di centro e raggio .(x , y ) r0 03.2.3 Sostituzioni in coordinate sfericheSi utilizzano le sostituzioni in quando bisogna integrare coordinate sferiche su un dominio che rappresenta una sfera o parte di essa.GRicordiamo che una sfera di centro e raggio è descritta dal seguente (0, 0, 0) rinsieme: 3 2 2 2 2{(x, ∈ | ≤ }G = y, z) x + y + z rRSi pone la sostituzione  x = ρ sin(ϕ) cos(θ) (3.7)y = ρ sin(ϕ) sin(θ)z = ρ cos(ϕ)con .ρ > 0, 0 < θ < 2π, 0 < ϕ < πLa trasformazione dunque è:ϕ(ρ, θ, ϕ) = (ρ sin(ϕ) cos(θ), ρ sin(ϕ) sin(θ), ρ cos(ϕ))e la matrice Jacobiana relativa a questa trasformazione è: −ρsin(ϕ) cos(θ) sin(ϕ) sin(θ) ρ cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ) sin(θ) ρ sin(ϕ) cos(θ)

bisognacoordinate sferiche cilindricheintegrare su un dominio che rappresenta un ellissoide o parte di esso.

GRicordiamo che l'ellissoide di centro e semiassi di lunghezza è (0, 0, 0) a, b, cdescritto dal seguente insieme:

2 22 y zx3 ≤{(x, ∈ | + + 1}G = y, z) R 2 2 2a b c

Mediante le sostituzioni fatte in 3.7 e in 3.3 si può integrare lungo un ellis-soide.

313.2.5 Integrazione per liE' possibile usare la tecnica dell' quando il dominio èintegrazione per li Gdel seguente tipo: 3{(x, ∈ | ∈ ≤ ≤