Appunti per intero di Istituzioni di Matematiche

INSIEMI

• TUVOLARI UN'INSIEME (1 - 1)
• NOVI CARATTERISTICA PROPRIETA
• ASCENDENTE (F, X)
• GRECO

Intervalli di R

• SOTTINSIEMI DI R
• (-∞, a)
• (0, +∞)
• (0, b)
• [a, b]
• [0, +∞)

• (-∞, +∞)
• UN CARRO (R - S)

Insieme di numeri reali

• RAZIONALI
• INCLUSIONI (EV. RIPETIZIONE)
• ANCHE NON PERIODICI
• TRASPARENZA
• DIVISIONE
• INTERI
• RELATIVI
• ALLOCAZIONE (+)
• SOTTIN:
• NATURALI

Un sottoinsieme I ⊆ R è un intervallo se ∀ x,y∈ I, ∀ z ∈ R con x ≤ z ≤ y ⇒ z ∈ I

8. Buchi R. a,b ∈ R z x b c z x b ∃ sempre ∈ R l z c c b

9. Irrazionale = un numero che non sarà mai la soluzione di un'equazione algebrica

10. Teorema di Q⁴ = non esiste alcun numero razionale (p/q) il cui quadrato è uguale a 2

Estremo superiore inf A ⊆ R su di A k non vuoto (H>I) di R. Si dice che M è maggiorante di A ⇔ ∀ a ∈ A, M ≥ a. M₀, M è il minorante di A se M ≤ a

Insieme superiormente limitato o maggiorato = Se A possiede dei maggioranti/minoranti si dice che A è maggiorato superiormente limitato o minorato o inferior. l limitato o minorato inferiore o superiormente limitato o minorato

Insieme maggiorato ΔFA = S n/n+1 ∗ n ∈ N ≥ {5/2, 3/2, 3/4,...{⊆ maggiorato da 1, quindi: ∀ n n/n+1 ≤ 1

Se un insieme A contiene uno dei suoi maggioranti si dice che A ammette massimo, se H ∈ A

Teorema di completezza => se A ⊆ R ≠ ∅ e maggiorato allora ∀! (ed è unica) a^∗ ∈ R q = sup A

Δ A ≤ n/n+1 ↓ 1,2,3...- ∗  Ξ ∗ {5/2, 3/2, 5/3, 3/6,...}

Massimo di A = (1) Se A ⊆ R ammette e massimo ⇒ ∀ k, max sup ere = sup Δ= max A

(2) Se A ⊂ R l, che non superiore e, Si p A e A sup A = A supp A = max A

11/10/2019

PROPRIETÀ FUNZIONI

• INIEZIONE
• SURIETTIVA
• BIETTIVA

INF ± niesima iniettiva

• f: X ₁ ¹, X ₂ ∈ D => f(x₁) = f(x₂)
• FI(g)x = f(x)_sup y ∈ e F(x₁) + G

[f(x₁) > f(x₂)] ⇔ x₁ >x₂

∀ x₁, x₂ ∈ D

STRETT. CRESC.

[f(x₁) < f(x₂)] ⇔ x₁ <x₂

∀ x₁, x₂ ∈ D

`,

[f: (x₁) ∃ x₂ ∈ TD f: TFL

f(x)g(x) = yf(x)g(x)= y

Funzioni Elementari

Logaritmo

α < 1 α > 1

Monotona decrescente

• α > 0 x < 1

Monotona crescente

• R Dominio f(x) = α^x

Potenza

• Proprietà: f(x) = x^n

Dominio R

f(x) = x^n

Funzione Pari

• f(-x) = f(x)

Funzione Dispari

• f(-x) = -f(x)

1. Es. ∃₀ ∈ ℕ= ⨢

   s.t. > ⨢ 〉 ⟹ 〉 ₀⨢5

   〉 ✕= ⌊₀⨢ ⨢ 5⌋⨢1

2. DIMO. TEOREMA

   Sia ⭢ ∈ ℝ se >ℓ So che ∃ = ₀()

   ∀ ≥ |−| ≤ ⨢ ⟹ ∃ ⭢ ℕ ()

   Prendo _* = max ℤ⦇|₁-|,....|-|,|₁⨢ ⟩

3. Sia ⭢ ⭢2_⨢⟹ ∃ ⨢ ≥ ̅ () : |−| ⟹

   −⨢− < ⨢

1. PER _⨢⨢ ⟹ ALLO ⭢

Calcolo di limiti di successioni

Teorema 1

Teorema 2

Teorema 3

Non sono definiti se combinati (8)

• 0: 0
• 0: +∞
• 0: -∞
• +∞: 0
• +∞: +∞
• -∞: 0
• -∞: -∞

Operazioni in R= R ∪ {-∞ ; +∞}

si b ∈ R

• ±∞ ± b = ±∞
• ±∞ ± ±∞ = ±∞
• +∞ x b = +∞
• -∞ x b = -∞
• ±∞ x ±∞ = ±∞

23/10/2019

Intorni di Raggio r

Def. Se x₀ ∈ ℝ, r > 0, intorno di raggio r → U(r) = {x ∈ ℝ: |x - x₀| < r}

U₊(x₀, r) → ∃ x ∈ ℝ: x > x₀, |x - x₀| < r

U_-(x₀, r)

Doppia notazione → U(x₀, r)

Quindi U(x₀), qualunque intorno contenente x₀

→ U(x₀, r) → intorno contenente x₀ e raggio r

Intorno Bucato

U(x₀) ∖ {x₀} &intorno; che non include punto x₀.

Def. Punto di Accumulazione

A ⊂ ℝ, un punto P è detto "di accumulazione" per insieme A se per ogni (UP) esistono elementi di A, diversi da P, che vi sono contenuti.

∀ U(p), A ∩ U(p): ∃ p' ≠ ∅. Equivalente ∃ almeno un x ∈ P contenuto in A ∩ U(p)

Def. di Limite

Sia f: D → ℝ e p un punto di accumulazione per D. Si dice che f(x) ha limite uguale ad L per x → p (x tendente a p): lim f(x) = L, se ∀ x_n ∈ D ∖ {p}

x → p

Si dice che (f(x_n)) ≥ 0. Quindi lim f(x_n) = L se per ogni intorno V(ε) si ha che f(x_n) ∈ V(ε)

Discontinuità I Specie

f(x) = [x] → parte intera di x*

(∀ x ∈ ↠ ∃! n ∈ &Z; n ≤ x < n+1)⇐ [x] = n

x → y _{p/  p+}

Se f è continua ⇒ lim_x→y f(x) = f(y)

Se f è continua ⇒ lim_x→x0 f(ϕ(x)) = f(lim_x→x0 ϕ(x)) ⇔ lim_x→x0 f(ϕ(x))-:f(x)

Se p è continua; lim_x→x0 f(ϕ(x))-:f(ϕ(x))Çossia fϋ è continua

Teorema di Weierstrass

Sia f: [a,b] → ℝ continua → f ammette max e min in [a,b]

Importante che l'intervallo sia chiuso, infatti se f(x) = ¹⁄ₓ su (0,1] ha minimo, ma non ha massimo.

Osservazioni

1. Se f [a,b] → ℝ continua → assume tutti i valori compresi tra il suo valore max e min. Imp_f = [min(i>f(x)), max f(x)]
2. f monotone Sia (a,b) ⊆ ℝ aperto (limitato o no). Ogni funzione monotona f: (a,b) → ℝ Ammette limiti → lim f(x) x→b^- lim f(x) e inf f(x) x→a⁺lim f(x) = sup f(x)

F. monotone e inversi

Sia I ⊆ ℝ intervallo e f continua su I, f: I → ℝ

1. f è iniettiva ↔ f è strett. monotona
2. Se f è strett. monotona su I, allora L'inverso f⁻¹: f(I) → ℝ è strett. monotone

Non è detto che una funzione continua ammette interv. aperti in int. aperti, mentre è vero caratteristica per interv. chiusi → Weierstrass