Algebra e Geometria - appunti intero corso, anno 1°

Enunciato ....................................................................................................................................................... 6

Dimostrazione ............................................................................................................................................... 6

Funzioni, dominio e codominio, immagine e controimmagine ......................................................................... 6

Funzioni ......................................................................................................................................................... 6

Dominio ......................................................................................................................................................... 6

Codominio ..................................................................................................................................................... 7

Immagine ....................................................................................................................................................... 7

Controimmagine ............................................................................................................................................ 7

Funzioni iniettive, suriettive e biettive .............................................................................................................. 7

Iniettive .......................................................................................................................................................... 7

Suriettive ....................................................................................................................................................... 7

Biettive ........................................................................................................................................................... 7

Proprietà ........................................................................................................................................................ 7

Inversa di una funzione biettiva ........................................................................................................................ 7

Funzione identica .............................................................................................................................................. 7

Composizione di funzioni .................................................................................................................................. 7

Proprietà ........................................................................................................................................................ 7

Numeri primi e coprimi ..................................................................................................................................... 8

Numeri primi ................................................................................................................................................. 8

Proprietà .................................................................................................................................................... 8

Numeri coprimi .............................................................................................................................................. 8

Proprietà .................................................................................................................................................... 8

Relazione modulo n e insieme delle classi di resto modulo n ........................................................................... 8

Relazione modulo n ....................................................................................................................................... 8

Classi di resto modulo n ................................................................................................................................ 8

Insieme delle classi modulo n ........................................................................................................................ 8

Operazione, elemento neutro e elementi invertibili ......................................................................................... 8

Operazione .................................................................................................................................................... 8

Proprietà .................................................................................................................................................... 8

Elemento neutro ............................................................................................................................................ 8

Elementi invertibili ........................................................................................................................................ 8

Struttura algebrica ............................................................................................................................................. 8

ℤn

Elementi invertibili in ................................................................................................................................... 8

Semigruppo, monoidi e gruppi, esempi numerici e non (monoide delle parole, gruppo delle permutazioni) 9

Semigruppi ..................................................................................................................................................... 9

Monoidi ......................................................................................................................................................... 9

Gruppi ............................................................................................................................................................ 9

Esempi ........................................................................................................................................................... 9

Monoide delle parole .................................................................................................................................... 9

Gruppo delle permutazioni ........................................................................................................................... 9

Definizione di sottogruppo .............................................................................................................................. 10

Anelli, proprietà distributiva e esempi (anello degli interi modulo n) ............................................................ 10

Proprietà distributiva ................................................................................................................................... 10

Esempi ......................................................................................................................................................... 10

Omomorfismi tra strutture algebriche ............................................................................................................ 10

Teorema di Binet ............................................................................................................................................. 10

Inversa di una matrice ..................................................................................................................................... 10

Proprietà ...................................................................................................................................................... 10

Calcolare l’inversa ........................................................................................................................................ 10

Metodo 1 ................................................................................................................................................. 10

Metodo 2 ................................................................................................................................................. 11

Definizione di spazio vettoriale ed esempi ...................................................................................................... 11

Regole .......................................................................................................................................................... 11

Esempi ......................................................................................................................................................... 11

Sottospazi vettoriali ......................................................................................................................................... 11

Proprietà ...................................................................................................................................................... 11

Esempi ......................................................................................................................................................... 11

Combinazione lineare ...................................................................................................................................... 11

Insieme linearmente dipendenti e indipendenti ............................................................................................. 12

Linearmente dipendenti .............................................................................................................................. 12

Calcoli ...................................................................................................................................................... 12

Linearmente indipendenti ........................................................................................................................... 12

Proprietà .................................................................................................................................................. 12

Criterio di indipendenza lineare .............................................................................................................. 12

Sottospazi generati .......................................................................................................................................... 12

Spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo .............................................................................................. 12

Basi e dimensione di uno spazio vettoriale ..................................................................................................... 12

Basi .............................................................................................................................................................. 12

Proprietà .................................................................................................................................................. 12

Dimensione .................................................................................................................................................. 12

Dimensione di un sottospazio ......................................................................................................................... 12

2 2

Lo spazio vettoriale R e sua rappresentazione nel piano cartesiano, sottospazi vettoriali di R ................... 13

Matrice associata, autovalori, autovettori e autospazi ................................................................................... 13

Matrice associat