Appunti modulo B metodi matematici per l'economia - parte 2

Modulo B - II parte

Funzioni in due variabili

Rivedi la teoria nel Modulo A-II parte.

Continuità

Una funzione f: A ⊆ R² → R viene detta continua in (x_o, y_o) ∈ A se

    lim_{(x,y) → (xo,yo)} f(x,y) = f(x_o,y_o)

ossia per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che

    f(x,y) ∈ I(f(x_o,y_o), δ) per ogni (x,y) ∈ A ∩ I((x_o,y_o), ε)

Noi studiamo solo funzioni continue, non dobbiamo verificare la continuità, lo sono a prescindere.

Teorema di Weierstrass

Sia f: A ⊆ R² → R una funzione continua in A. Allora f ammette massimo e minimo in ogni sottoinsieme compatto di A. Un insieme compatto è un insieme chiuso e limitato.

es. f(x,y) = x-2y

S: {(x,y): x≥0, y≥0, x+y≤3, 3y-3x≤4}

Determiniamo max e min di f nell'insieme S.

1. Disegno S e capisco se è compatto

∴ S è compatto

∴ La funzione ammette max e min perché vale Weierstrass

2) Rappresento le curve di livello

f(x,y) = x - 2y

l_f(k) = {f(x,y) = x - 2y = k}

x - 2y = k → y = x/2 - k/2

se k = 0 → y = x/2

se k = 1 → y = x/2 - 1/2

se k = 2 → y = x/2 - 1

3)

Grazie la curva di livello che è tangente alla zona in un solo punto

• Punti di tangenza: (0,3) (0, 3/2)
• Devo guardare la direzione delle curve di livello al variare del parametro k

Il max è il punto più in basso sul foglio perché è il più in alto nella direzione della freccia

Il min è il punto più in alto sul foglio perché è il più in basso nella direzione della freccia

4)

Sostituisco le coordinate dei punti di tangenza nella funzione per trovare k con valori liv.

min (0,3) → f(0,3) = x - 2y = k → 0 - 2*3 = -6 = k

max: (0, 3/2) → f(0, 3/2) = x - 2y = k → 0 - 2 * 3/2 = 3 = k

es f(x,y) = 4x - y

S = {(x, y); x² + y² ≤ 9}

circonferenza C(0,0) R = 3

l_g(k) = {g(x,y) = 4x - y = k}

4x - y = k → y = 4x - k

se k = 0 → y = 4x

se k = 1 → y = 4x - 1

se k = -1 → y = 4x + 1

tangenza: (0,3) e (0,-3)

max: y = 4x - √3/√17

min: y = 4x + 3√17

{x² + y² = 9} ∩ x* (4x - k) = 9 ∩ x² +16x² + k² - 8x = 9

y = 4x - k

17x² - 8x + k² = 0

Δ = 0: b² - 4ac = 0 → 64k² - 68(k - 9) = 0

64k² - 68k² + 68*9 = 0

-4k² + 68 = 0

k² = 17.9

k = ± 3√17

• Un punto (x₀, y₀) ∈ A in cui f è derivabile parzialmente si dice stazionario se ∇f (x₀, y₀) = 0 per che annullano tutte le derivate parziali prime
• Punti regolari: punti in corrispondenza dei quali almeno una derivata parziale prima è diversa da zero
• Punti critici: punti stazionari e punti in corrispondenza dei quali almeno una derivata parziale prima non esiste
• Un punto stazionario (x₀, y₀) di f se non è né max né min, è detto punto di sella
• Gli eventuali punti di minimi o massimi vanno ricercati fra i punti che annullano le derivate parziali prime

es. f(x,y) = √(1 - x² - y²)

1 - x² - y² ≥ 0 → x² + y² ≤ 1

D: {(x, y) ∈ &R;, x² + y² ≤ 1}

• ∂f/∂x = 1/2 (1-x²-y²)^-1/2 (-2x) = 0
•       -2x     o
•     -   2 √   ^{1 - x2 - y2}
• ∂f/∂y = 1/2 (1-x²-y²)^-1/2 (-2y) = 0
•       -2y     o

∂f/∂x = -2x = 0 → (x=0)

∂f/∂y = 2y+0 → (y=0)

il punto (0,0) è punto stazionario

Il massimo in questo caso è facile da trovare in quanto essendo una radice l’argomento non può essere ≤ 0

se sostituisco il punto (0,0) nella f trovo √ 1 = 1 che è il estremo dei

dominio quindi è massimo il P(0,0)

Tutti i punti che rendono (1 - x² - y²) = 0 sono punti di minimo.

Qui l’insieme è chiuso e abbiamo usato l’ottimizzazione libera trovando un unico punto stazionario.

Ma per il teorema di Weierstrass io devo avere un max e un min perchè l’insieme è chiuso.

Con l’ottimizzazione libera in un insieme chiuso mi parla dei punti stazionari.

Attenzione!

VALORE MASSIMO

valore che la funzione assume nel punto di massimo

Prendo le coordinate di M e le sostituisco nella funzione f(x,y)

f(²⁄₃,²⁄₃) =²⁄₃ - ( ²⁄₃ )² =²⁄₃ - ²⁄₉ = ⁴⁄₉ > ^-3⁄₂ ( ^-3⁄₂ )= ^-9⁄₄ ( ^-3⁄₂ ) = ¹⁄₂

SE IL VINCOLO È LINEARE, IL METODO DI SOSTITUZIONE È IL PIÙ SEMPLICE

Es

f(x,y): y² - 2x²

g(x,y): x² + y² = 1 o y² = 1 - x²

h(x) = 1 - x² - 2x² = 1 - 3x²

h(x) > 0 → 6x > 0 → x < 0

se x = 0   y² = 1   x = 0   y² = 1   y = ±1   y = 1   y = -1

f(0,1 ) - f(0, -1)     y² - 2x²    (±1)² - 0 = 1

NON È FINITO!

• Il vincolo è una circonferenza , un insieme chiuso e limitato , perciò vale il Teorema di Weierstrass (esiste un massimo e un minimo).

No: il minimo non l'abbiamo trovato

• (L'uguaglianza y² - 1 - x² vale solo se 1 - x² ≥ 0 (perché y² ≥ 0 !))
• 1 - x² ≥ 0     x² ≤ 1     -1 ≤ x ≤ 1

-1     0     1

per -1 < x < 1 non ci serve bene

x = 1 e x = -1 come punti di minimo perché sono compresi.

se x = 1 y² = 1 - x² y² = 0 y = 0

se x = -1 y² = 1 - x² y² = 0 y = 0

• ( 2, 0 )      ( -2, 0 ) COORDINATE DEI PUNTI DI MINIMO

f(1,0) - f(1,0) = y² - 2x² = 0² - 2 = (±1)² = -2 = valore che assume importa minino nel punto del minimo

Formula di Taylor per funzioni di due variabili relativa al punto (x₀, y₀)

Sia f(x, y) definita in un aperto A di R² ivi continua insieme alle sue

derivate parziali di ordine 2 incluse allora,

f(x₀ + h, y₀ + k) ≈ f(x₀, y₀) + [f_x(x₀, y₀)h + f_y(x₀, y₀)k] +

+ (1/2) [f_xx(x₀, y₀)h² + f_yy(x₀, y₀)k² + 2 f_xy(x₀, y₀)hk] +

o (h² + k²)

Funzioni Concave e Convesse

Un insieme A ⊂ R² convesso se per

ogni coppia di punti appartenenti ad A, anche

il segmento che li unisce appartiene ad A.

Una funzione f: A ⊂ Rⁿ → R con A convesso, viene detta convessa su A, se

per ogni coppia di punti P₀ (x₀, y₀) e P₁ (x₁, y₁) appartenenti ad A il segmento

che congiunge P₀ e P₁ giace al di sopra della superficie definita da f

o al più coincide con essa.

Se il segmento di estremi P₀ e P₁ giace tutto al di sopra di f eccetto che nei

punti (x₀, y₀) e (x₁, y₁), f è strettamente convessa. Una funzione f si

dice concava (strettamente concava) se f è convessa (strett. convessa).

Teoremi

• f è convessa su A se e solo se per ogni (x, y) ⊂ A si ha:

f_xx(x, y) ≥ 0 e det H(x, y) ≥ 0

• f è concava su A se e solo se per ogni (x, y) ⊂ A si ha:

f_xx(x, y) ≤ 0 e det H(x, y) ≤ 0

Senza gli uguali → tratta di strettamente concava o convessa