Appunti modulo A metodi matematici per l'economia - parte 2

Modulo A - II^a parte

Gli spazi reali ℝ e ℝ²

ℝ = insieme numeri reali

Intervalli limitati

Dati due numeri a, b con a < b, si distinguono 4 intervalli limitati:

• aperto: a < x < b → (a, b)
• chiuso: a ≤ x ≤ b → [a, b]
• aperto a destra: a ≤ x < b → [a, b)
• aperto a sinistra: a < x ≤ b → (a, b]

* a e b sono estremi dell'intervallo

* |b-a| è la lunghezza dell'intervallo

Es.

• 2 < x < 3 → intervallo aperto → (2, 3)
• 2 ≤ x ≤ 3 → intervallo chiuso → [2, 3]
• 2 ≤ x < 3 → intervallo aperto a destra → [2, 3)
• 2 < x ≤ 3 → intervallo aperto a sinistra → (2, 3]

Intervallo topologico = porzione della retta reale: le parenti sono intervalli topologici.

Intervalli illimitati

Se M è un numero reale qualsiasi, gli insiemi sotto si chiamano:

Intervalli illimitati

• {x | x ∈ ℝ, x ≤ M} → (M, +∞]
• {x | x ∈ ℝ, x ≥ M} → (M, +∞)
• {x | x ∈ ℝ, x ≤ -M} → (-∞, -M]
• {x | x ∈ ℝ, x < -M} → (-∞, -M)

INTORNO

Un intorno completo di un numero reale (o di un punto) c è un qualsiasi intervallo aperto che contenga c.

In particolare gli intervalli aperti di centro c sono intorni di c e si chiamano intorni circolari di c.

es.

X = ]2, 5[

{x ∈ X x < 5_MINORANTE

MAJORANTE

• - ogni y | ∀x ∈ X con y ≥ x
• 4, 5, 6, 7, ...

MINORANTE

• - ogni y | ∀x ∈ X con y ≤ x
• 6, 3, 1, 0, -1,...

es.

(-∞, 10)

MAGGIORANTE: 10, 11, 12, ...

MINORANTE: non è ammesso perché non c'è niente più piccolo di -∞

es. (-∞, +∞) = R

MAGGIORANTE e MINORANTE non ammessi

ESTREMI SUPERIORE E INFERIORE

Estremo superiore = il più piccolo dei maggioranti

Estremo inferiore = il più grande dei minoranti

es. (-2, 6) e [5, 7]

Estremo superiore = 6 | 7

Estremo inferiore = -2 | 5

es. (-∞, 10)

Estremo superiore = 10

Estremo inferiore non esiste in questo caso ⇒ per definizione est. inf. = -∞

C è PUNTO INTERNO ad E se esiste un suo intorno tutto contenuto in E.

C è PUNTO ESTERNO ad E se esiste un suo intorno tutto contenuto in E^c.

C è PUNTO DI FRONTIERA per E se non è né interno né esterno, ossia se in ogni intorno di C vi sono punti di E e punti di E^c.

C è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per E se in ogni intorno di C vi sono infiniti punti di E.

C è PUNTO ISOLATO per E se appartiene ad E e se esiste un suo intorno nel quale l'unico punto di E è c stesso.

Nota Bene!

• C interno ad E ⇒ C ∈ E , C ∈ di accumulazione per E
• C esterno ad E ⇒ C ∉ E
• C isolato ⇒ C ∈ E, C ċ è di frontiera

Esempi:

Es. E = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x ≤ 3 ∨ x = 4}

x = 4 è punto isolato, x = 1, x = 3, x = 4 sono punti di frontiera.

1 < x < 3 sono punti di accumulazione, 1 < x < 3 sono punti interni.

Es. E = {x ∈ ℝ | x = -3 ∨ -1 < x < 2 ∨ x > 4 }

-3 punto isolato e punti interni

-1 < x < 2 punti di accumulazione

punti interni -1 < x < 2, x > 4 ( x ≠ -3 )

punti di accumulazione -1 < x < 2, x > 4

punto isolato x = -3

punti di frontiera x = -3, x = 1, x = 2, x = 4

Es. E = {x ∈ ℝ | -6 < x < 1/4 ∨ x = 6 }

punti interni -6 < x < 1/4 ∨ x = 6

punto isolato x = 6

punti di accumulazione -6 < x < 1/4

punti di frontiera x = -6, x = ¹/₄, x = 6

1. f(x) = e^x; f: R → R⁺; biiettiva

2. f(x) = x²; f: R → R; brettiva

3. f(x) = ln x; f: R⁺ → R; biiettiva

4. f(x) = -√x = x^1/2; f: [0,∞) → R cres. e suriettiva, max iniettiva

Rappresentazione delle funzioni

• Mediante la loro espressione analitica:
  • y = e^x, y = ln x, y = x² e^nx
• Mediante il grafico, ossia “l’insieme dei punti (x, f(x))” ottenuti al variare di x.

  Il grafico è qualcosa di qualitativo e mai quantitativo

Classificazione delle funzioni

• Algebriche:
  • Razionali ➔ Intere: xⁿ, x⁵, x³
  • ➔ Fratte: 1/x²
  • Irrazionali ➔ Intere: √x⁴
  • ➔ Fratte: 1/√x
• Trascendenti:
  • Logaritmiche ➔ log^x
  • Esponenziali ➔ e^x
  • Trigonometriche ➔ sen x

f(x)

f(-x)

simmetrico rispetto all'asse y

-f(x)

simmetrico rispetto all'asse x

f(|x|)

ribalto ciò che ho f(y neg oppure ribalto ciò che ho fatto l'asse x

mantenço ciò che ha x pos e successivamente lo ribalto rispetto all'asse y

y = ln x

y

f(|x|)

(dove essere essere simmetrico)

solo ciò che ho x positiva anche dall'altra

f(x)

niente solo ciò che ho x postivo

f(|x|)

FUNZIONI COMPOSTE

Assegnate le funzioni f: A → B e g: X → Y con f(A) ⊆ X si definisce la FUNZIONE COMPOSTA

g(f(x)) = g°f si legge "g composto f"

g(f(x)) = g(t)

f: A → B → Y

g°f: A → Y

f(x) = x³

g(x) = √x

→ g(f(x))

g(f(x)) = √x³

es. g(f(x)) = ln(3/x)

x = 3/x → ln(3/x)

Raramente che siano ben definite ma in generale vale che

g(f(x)) ≠ g°f une f(g(x)) ≠ f°g

ma in generale vale che

g°f ≠ f°g

es. f(x) = e^x

g(x) = 1/√x

g(f(x)) = √e^x

f(g(x)) = e^1/x

√e^x ≠ e^1/x

es. f(x) = 3x - 1

g(x) = -2x + 4

g(f(x)) = -2(3x - 1)/6x + 2 + 4/6x + 6

3(-2x + 4) - 1/6x + 12 - 1/6x + 11

f(g(x)) = -6x + 6

es. f(x) = x² - 1

g(x) = 2x^-1/2

g(f(x)) = 2e^{-1/2 x-1}

f(g(x)) = 4e^{x-1 x}

Sia f: D → R una funzione tale che f(x) = ln(x+2). Allora:

1. f non è invertibile
2. f non è neanche iniettiva (esiste x₀ ∈
3. f è iniettiva (e sconfesso) se f⁻¹(x)
4. f è invertibile (ora niente sappiamo delle espressioni analitiche dell'inversa)

f è invertibile e f⁻¹(x) = eˣ

ln(x+2)

ln(1/3)x²

ln(x+2) → è iniettiva → è invertibile → è suriettiva

y = ln(x+2)

eʸ = eˣ⁺²

eʸ = x+2

x = 3√y⁻¹

f⁻¹

y =

x = y ₃√

3y = x

f⁻¹

x = ³√(y-1)

f⁻¹ → y= ³√x-1

y = 3x-3

y - (1/3) = x+1

es

f(x,y) = -x -4e^y +5

Indicare quale dei seguenti grafici rappresenta il luogo dei punti del piano x y in cui f(x, y) ≥ 5

1. -x -4e^y +5 ≥ 5
2. -x -4e^y ≥ 0
3. -4e^y ≤ x
4. 4e^y ≥ x
5. e^y ≥ ¼ x
6. ln e^y = ln (¼ x)

y ln e = ln (¼ x)

y = ln (¼ x)

1. Poni la funzione ≥5
2. Disegna il grafico

es

Indicare quale dei grafici rappresenta le curve di livello della funzione:

f(x,y) = y + 4x² - 2x + 8

0 = y + 4x² - 2x + 2

y = -x² + 2x - 2

Presa con c₂

es

f(x,y) = -3x² - 4y²

Quale dei punti appartiene alla curva di livello di f che passa per il punto (-3,4)?

-3(3)² - 4(-4)² = -91

-3(-3)² - 4(4)² = -91

P (-3,4)

Due punti si trovano sulla stessa curva di livello se danno lo stesso valore della quota della fun.