Appunti modulo B metodi matematici per l'economia - parte 1

Modulo B - I^a parte

LIMITI

es:

y = ¹/_x-1

N D

D

→ -^N/₀ → ±∞

(-∞, 1) ∪ (1, +∞)

lim_x→0 ¹/_x = 0

lim_x→+∞ ¹/_x = 0

lim_x→0 ¹/_x = 0

limx→1- 1/x-1 = 1- = -∞

lim_x→+∞ ¹/_x-1 = 0

limx→1+ 1/x-1 = 1+ = +∞

DEFINIZIONE DI LIMITE

Sia f: A ⊆ ↠ R e x₀ un punto di accumulazione di A. Si dice che la funzione ha per limite l per x→x₀ se dato qualunque intorno U(l, ε) esiste sempre un intorno V(x₀, δ) tale che ∀ x ≠ x₀, x ∈ A ∩ V, si ha

f(x) ∈ U(l, ε)

lim_x→x0 f(x) = l

• x₀ può essere un numero finito o anche ±∞
• l può essere un numero finito o anche ±∞
• non necessariamente la soluzione è definita in x₀
• δ è in generale dipendente da ε, ossia δ = δ(ε)

1. Sia f: [a, b] → R. Allora

   lim_x→x0 f(x) = l

   se ∀ ε > 0 esiste un intorno completo U(x₀, δ) tale che ∀ x ≠ x₀,

   x ∈ [a, b] ∩ U(x₀, δ) si ha f(x) ∈ U(l, ε). Ovvero

   f(x) - l | < ε

   l - ε < f(x) < ε + l

2

Sia f: [a, b] -> R, allora

lim_{x -> x0} f(x) = +∞

se per ogni M₀ grande a piacere esiste un δ > 0 tale che ∀x ≠ x₀ e

|x - x₀| < δ vale f(x) > M

3

Sia f: [a, +∞) -> R, allora

lim_{x -> +∞} f(x) = l

se ∀ε > 0 esiste un numero k tale che per ogni x > k si ha

|f(x) - l| < ε

4

Sia f: [a, +∞) -> R, allora

lim_{x -> +∞} f(x) = +∞

se per ogni numero M₀ grande a piacere esiste un numero k tale

che, per ogni x > k, si ha

f(x) > M

LIMITE DESTRO e LIMITE SINISTRO

Si dice che l è il limite destro (o sinistro) della funzione f(x) per x -> x₀

e si scrive

lim_{x -> x0⁺} f(x) = l o lim_{x -> x0^-} f(x) = l

Se in corrispondenza di x = x₀, scelto arbitrariamente, si può sempre determinare un intorno destro (o sinistro) U di x₀ per il quale

∀x ∈ U ∩ [a, b] vale |f(x) - l| < ε

es. lim_{x → 2⁺} 3^1/(x-2) = 1/3⁰ = 3^∞1/3⁰ = 0⁻

es. lim_{x → 2⁻} 3^1/(x-2) = 3_∞ = ∞

es. lim_{x → 3⁻} ln(9-x²) = ln(9-9) ln 0 = -∞

es. lim_{x → 3} (3 + 1/x²) = (3 + 0 + 0) = 3

es. lim_{x → +∞} 3x²+1/2x² = (3 + 1/∞)/(2 + 1/∞) = 3/2

es. lim_{x → +∞} x² - 16/5x²+1 = (1 - 16/x²)/(5 + 1/x²) = 1/5x = 0

es. lim_{x → ±∞} 1 - 10x²/4x² - 1 = -10/4 = -5/2

es. lim_{x → 5} x² - 25/x² - 5 = (x-5)(x+5)/x(x-5) = x + 5/x = 10/5 = 2

es. lim_{x → 2} x³-8/x²-4 = (x-2)(x²+2x+4)/(x+2)(x-2) = (4 + 4 + 4)/4 = 3

es. lim_{x → 25} √x - 5/x - 25 = (√x - 5)(√x+5) = 1/√x+5 = 1/√5 + 5 = 1/10

es. lim_{x → 3⁺} √x² - 9/x² - 9 = √x-3/(x² - 9)/(√x-3) = x-3/(x-2)(x-3) = x-3/(x+3)(x-3) = 1/0⁺ = ∞

es. lim_{x → 0} √1+x - √1-x/x = √1+x + √1-x/√1+x - √1-x = 1+x - (1-x)/x = 2x/x(√1+x + √1-x) = 2/√1+1 = 2/2 =1

FUNZIONI DEFINITE A TRATTI

es.

f(x) =

• (x² + 1) per x ≤ 0
• (3x + 1) per x > 0

Perché in alcuni tratti del suo dominio, la funzione ha un certo comportamento e in altri tratti ha un comportamento diverso.

es.

f(x) =

• 1 per 0 < x < 1
• 2 per x = 1
• 3 per x > 1

Una funzione è continua quando, per disegnarne il grafico, non devo mai staccare la penna dal foglio.

Per verificare che la funzione sia continua devo calcolare il limite destro e il limite sinistro. Se lim_x→x0⁺ = lim_x→x0⁻ → f(x) è continua

Una funzione continua può essere a tratti.

Una funzione discontinua può essere a tratti.

es.

f(x) =

• (2x + 5) x < 3
• (10x - 19) 3 ≤ x < 5
• (x² - 21) x ≥ 5

in 3 f(x) è continua

in 5 f(x) è discontinua

lim_x→3^- 2x + 5 = lim_x→3⁺ 10x - 19 = 6 + 5 = 30 - 19 = 11 = 11

lim_x→5^- 10x - 19 = lim_x→5⁺ x² - 21 = 50 - 19 = 25 - 21 = 31 ≠ 4

f(x) = ^{x2 - 2x + 2}/_x

m = lim_x→∞ [f(x) - mx + q] = lim_x→∞ ^{(x2 - 2x + 2) - x2}/_x

lim_x→∞ -2x + 2 = -∞

q = lim_x→∞ [f(x) - mx] = lim_x→∞ ^{x2 - 2x + 2}/_x - mx = 0

y = mx + q = y = x - 2 ASE = obliquo

m ≠ 0

e q = 0. se m = 0/∞ non c'è AS obliquo

DERIVATE

RAPPORTO INCREMENTALE

Sia y_i = f(x) con y: I ⊆ ℝ → ℝ una funzione reale di variabile reale e

mano x₀, x₀ + Δx ∈ I

Δx = incremento della variabile indipendente

Δx = x - x₀ = h

Δy = incremento della funzione

Δy = Δf = f(x₀ + h) - f(x₀)

^Δy/_Δx = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

e detto RAPPORTO INCREMENTALE di f in x₀ relativo all'incremento h

es. y = 3x + 3x² + 6x

D: (-∞, +∞)

y' = 6x² + 6x + 6

6x² + 6x + 6 > 0

x = -b ± √4-1

Δ ≤ 0

x = 0

sempre crescente

es. y = x⁴ - 2x²

D: (-∞, +∞)

y' = 4x³ - 4x

(CE: ln x > 0 , x > 0)

4x(x² - 1) ≥ 0

4x < 0

0x

x = 0 e max

(CE: ln x > 0 , x > 0)

D: (0, +∞)

y = ^{ln x}⁄_e^x

y' = ^{_-xexln x.ex}⁄_(e^x)² = ^{ex(-x1ln x)}⁄_e²x > 0

¹⁄_x ln x ≥ 0

es. y = ^{4x2 + 1}⁄_x

D: (∞, 0) 0, (0, +∞)

y' =^{8x·x - (4x2 + 1)}⁄_x - ^{8x2 - 4x2 - 1}⁄_x² > 0

4x² ≥ 0 - x² ≥ ¹⁄₄ ⇒ x = ¹⁄₂ x ≠ 12

x²> 0 - x ≠ 0

-¹⁄₂ 0 ¹⁄₂

max min

zero non appartiene al dominio