Appunti modulo A metodi matematici per l'economia - parte 1

METODI MATEMATICI PER L'ECONOMIA

Modulo A - I parte

L'INSIEME DEI NUMERI REALI

• N = {0, 1, 2, 3, ...} → naturali o interi positivi
• Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} → naturali interi o relativi
• Q → numeri razionali o frazioni
  • periodici → le cifre si ripetono dopo la virgola fino all'infinito, es. 3.333...
  • non periodici → le cifre dopo la virgola sono finite, es. 3.5
• I → numeri irrazionali o non periodici, es. π, √2
• R → numeri reali, razionali e irrazionali

RETA DEI NUMERI REALI

|x| = { x con x > 0; -x con x < 0 } → "modulo di x" oppure "valore assoluto di x"

OPERAZIONI NEGLI INSIEMI

• • e 0 → elemento neutro di +
• -a è l'opposto di a = a + (-a) = 0
• 1 → elemento neutro di ×
• a^-1 → il reciproco di a
• R → un CAMPO perché in esso sono rispettate tutte le proprietà di somma (algebrica) e prodotto

• 1D = R → retta dei numeri reali
• 2D = R² → piano cartesiano
• 3D = R³ → piano tridimensionale

Spazio Vettoriale Reale

Sia V un insieme di enti qualsiasi x, y, z, ... a R, il campo reale.

Si dice che V è uno spazio vettoriale (o lineare) sul campo R:

1. se sono definite in V:
• le operazioni di somma algebrica e relative proprietà
• le operazioni di prodotto scalare e relative proprietà
2. lo scalare è un numero e R, es. numero 5 = scalare 5

x₁ asse x = ascisse; x₂ asse y = ordinate

Due vettori sono uguali se e loro componenti sono uguali

sono uguali

non sono uguali

x̅ = y̅ ↔ x₁ = y₁; x₂ = y₂

Somma tra Vettori

I vettori devono avere lo stesso numero di componenti, entrambi 2 o 2 componenti.Entrambi in R² entrando in R³Entrambi in 2D o entrambi in 3D

Prodotto Scalare

• ∀ k ∈ R

Una matrice quadrata si dice diagonale se ha nulli gli elementi che non appartengono alla diagonale principale.

\[ \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array} \]

\[ a_{ij} = 0 \text{ con } i \neq j \]

Se sulla diagonale principale o sono degli zero non ci interessa, l'importante è che fuori dalla diagonale principale siano tutti zero.

es.

\[ A = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \]

e una matrice diagonale

Una matrice diagonale con tutti gli elementi appartenenti alla diagonale principale pari a 1, si dice matrice identica (o unitaria).

\[ A = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \]

e una matrice identica (o unita).

\[ a_{ii} = 1 \quad i = 1, 2, \ldots, n \\ a_{i j} = 0 \quad \text{se } i \neq j \]

Una matrice quadrata si dice triangolare superiore (o inferiore) se ha nulli tutti gli elementi al di sotto (o al di sopra) della diagonale principale

\[ A = \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_{nn} \end{array} \]

\[ a_{ij} = 0 \quad \text{se } i > j \]

triangolare superiore

\[ A = \begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ \vdots & \ldots & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{array} \]

\[ a_{ij} = 0 \quad \text{se } i < j \]

triangolare inferiore

* es.

\[ A = \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 7 \end{array} \]

* es.

\[ A = \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -7 \end{array} \]

Scrivere il vettore V come combinazione lineare dei vettori:

z = α ·

| 1 || 3 |

+ β ·

| 2 || 2 |

| 1 || 3 |

| 2 || 2 |

| 4 || 5 |

x + β2 · 4 - α · 4 - β2 · 5

x3 = β2 - 3β2 = 0

α = 2β = 4

z =

| 4 | + | 2 | +

| 5 |

Siano dati i vettori:

| 2k || 1 |

| 0 || 1 |

| 1 || 1 |

| 0 |

2k = αk = α1 + 2ββ = α

k = 2k + 2

2k - k = 2 → k = 2

z =

| 2k || -k |

| 4 | + | 1 || 0 |

Sottomatrice

È una matrice ottenuta eliminando alcune righe e colonne di A.

Una sottomatrice principale di A ∈ ℜ_h,n è una sottomatrice la cui diagonale principale è costituita da elementi della diagonale principale di A.

A =

es.

A =

Sottomatrici principali di A:

è considerata sottomatrice principale anche la matrice stessa.

Determinante

Solo per le matrici quadrate.

Può essere considerato come un'operazione possibile tra le matrici.

Si definisce determinante di una matrice N ∈ ℜ_n,n una funzione che associa ad ogni matrice di ordine n un numero appartenente a ℜ.

Si indica:

* Il determinante della matrice prodotto di due matrici quadrate è uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici (Teorema di Binet).

det (A·B) = det (A) · det (B)

* Il determinante di una matrice non cambia se agli elementi di una linea della matrice si aggiungono o sottraggono gli elementi di una linea parallela moltiplicati per uno scalare:

=

Osservazioni

* Il determinante di una matrice triangolare (superiore o inferiore) e diagonale è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale.

* det (A+B) ≠ det (A) + det (B)

* det (A^k) = [det (A)]^k con k > 1

* det (A·B) = det (A) · det (B)

es.

A = ^-1 3 2 5 6 -2 4 3 -2 6 4 10

0 ≤ r(A) ≤ min (3, 4)1 ≤ r(A) ≤ 3

 -1 3 2       -1 3 5 6 -2 4 0   ->   6 -2 3 = 0 -2 6 4 10       -2 6 10

3 2 5 4 3 3 4 10

-1 3 0   ->   c (A) = 2 6 -2 -2

es.

      1     1    2 x = {-3} y = {-1} z = { 5}  -3      2

Accostando vettori si ottiene la matrice:

A = [1 1 2 2 -3 -4 -3 2 5]

det(A) = -30

vettori sono linearmente indipendenti

r(A) = 3, che è uguale al numero di colonne (così al numero di vettori dati)

es.

      1     2     [ 7] x = {-2} y = {1} z = { -4}   1 , -1 , [ 1]

A = [1 2 7 2 1 -4 1 -1 1]

det(A) = 0

vettori linearmente dipendenti

se 1, det(A) ≠ 0, i vettori sono linearmente indipendentise 1, det(A) = 0, i vettori sono linearmente dipendenti