Appunti, Microonde, Cicchetti, Parte 1

MICRONDE APPUNTI

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LEZIONE NUMERO DI PAGINE

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Lezione 3

Consideriamo la seguente struttura

Definiamo:

• PE: pareti elettriche ideale indicate da una linea continua, per le quali vale n × E = 0.
• PM: pareti magnetiche ideali indicate da una linea tratteggiata, per le quali vale n × H = 0.

Ora consideriamo una regione esterna alle sorgenti del campo e in (correnti elettriche e magnetiche espresse nelle) le equazioni di Maxwell in regime armonico in mezzi omogenei ed isotropi assumeremo la forma

• ∇ × E = jωμ H
• ∇ × H = jωε E

Nello studio delle microonde ci si riferisce spesso a strutture guidanti in cui interessa la propagazione dell'energia in una determinata direzione concorde con l'asse z consideriamo un sistema di coordinate curvilinee ortogonali in generale (u, v, z) scelto nella maniera più opportuna per rappresentare la struttura.

nel seguente modo (semplificando Z_a(z) dalle 1^o e Z_a(z) dalle 3^o):

∇ x e_t (q₁, q₂) = j ωμ h_z (q₁, q₂) Z_a (z) 1^o

∇ x h_t (q₁, q₂) = j ωε e_z (q₁, q₂) Z_a (z) 3^o

Siamo quindi riusciti a scindere il problema tridimensionale in uno monodimensionale e uno bidimensionale. Per ottenere la soluzione tridimensionale uso le:

{

E_t (q₁, q₂, z) = e_t (q₁, q₂) Z_a(z)

H_t (q₁, q₂, z) = h_t (q₁, q₂) Z_a(z)

Che risolviamo partendo dalle equazioni scalari:

_∂/_∂z Z_c(z) = -H₁ Z_c(z) 1'

_∂/_∂z Z_a(z) = H₂ Z_a(z) 2'

Basso la derivata rispetto a z della 1°:

(_∂/_∂z)² Z_c(z) = _∂/_∂z (-H₁ Z_c(z))

(_∂/_∂z)² Z_c(z) = H_{1 ∂}/_∂z Z_c(z)

(_∂/_∂z)² Z_c(z) = H₁ (-H₁ Z_c(z))

(_∂/_∂z)² Z_c(z) = -H₁² Z_c(z)

Quindi:

Z_c(z) = P₁ e^-H₁z + P₂ e^+H₁z

dove H₂ = d₂ + jβ₂.

Ora per Z_a(z) da la:

Z_a(z) = ₁/_{H2 ∂}/_∂z Z_c(z) = -₁/_H2

• H₂ P₁ e^-H₁z + H₂ P₂ e^+H₁z

= P₁ e^-H₁z - P₂ e^+H₁z

Allora da:

• Z_c(z) = P_c e^+H_zz + P_i e^-H_iz
• Z_a(z) = P_c e^-H_iz + P_z e^H_iz

q_z = Costante di attenuazione

h_β = Costante di propagazione

della divergenza nel seguente modo:

• ^t × _e = -j_{w u h}^t 1^o
• − ^t × _h = -j_{w u e} 2^o
• ^t · _e = 0 3^o
• ^t · _h = 0 4^o

Ora andiamo la forma che assumono queste

equazioni nel caso d’onde TE TM e TEM.

Abbiamo già visto il caso di onde TE:

_h = 0_h = 0

Allora le 6 equazioni si scrivono nel seguente modo:

• ^t × _e = -j_{w h}^t 1^o
• − k_z ẑ × _e = -j_{w hz} 2^o
• ^t · _h = 0 3^o
• ẑ × (ẑ × _h − k_{z h}) = j_{w et} 4^o
• ^t · _e = 0 5^o
• ^t · _h − k_zh = 0 6^o

Tracciamo il rotore della 1^a cambiando segno:

^t × [ẑ × (ẑ × _ht) + _t × ẑ × _e] = j_w ẑ · ^t × _e

Uso la 1^a equazione ^t × _e = -j_{w ht} ẑ e l'identità

Ottengo:

₂e₁ + t₂t₂e₂ = t²₂

Quindi:

₂e₂ - (t²₁t²₂)e₂ = 0

₂e₂ - t²₁t²₂ = 0

(A)

Che è l'equazione di governo o di funzione.

Ora voglio trovare x = b. Riscrivo la A equazione nel

H_T q_t × x = jωc e_t

x × H_T = jωc e_t

t₂

che moltiplico vettorialmente a destra per x la 2^a

equazione cambiando di segno:

x × ₂ e₁ x t₂ × e₂

= jωm q_t × x × x = jωm q₁ × x

che osservo che se Ψ =

{₂ e₁}

q(x), x lo.

Quindi:

₂e₂ + t₂e_t = jωm q_t × x

(6.2)

_t = _⟂ × _t (1)

Moltiplico vettorialmente a sinistra per ⟂ la 1^a equazione:

-_t⟂ × ⟂ × _t = j⍵ϵ ⟂ × _t

_t⟂ = j⍵ϵ ⟂ × _t

_t = ^j⍵ϵ/_t ⟂ × _t (2)

Quindi per la (1) e la (2) ho:

^_z/_j⍵ϵ = - ^j⍵ϵ/_z

_z² = j⍵ϵj⍵ϵ = -_t² => _t² = 0

Bneltra:

_t² = - ⍵²µϵ

All'interno della µ e della ϵ possono essere presenti le parti immaginarie Abbiamo allora per _t

_t = j⍵ ^√µϵ (il segno negativo è per l'onda regressiva)

Sostituco in (1) e (2)

_t = ^{-j⍵ √µϵ}/_j⍵µ ⟂ × _c = √^ϵ/_µ ⟂ × _t

_t = ^{j⍵ √µϵ}/_-j⍵µ ⟂ × _c = - √^ϵ/_µ ⟂ × _c

Concluso