Appunti Matematica generale, docente Valentina Guizzi

LOGICA PROPOSIZIONALE

Definizione

Una proposizione P è un'affermazione per la quale è sempre possibile stabilire se essa vera o falsa.

Es.: "x è un numero naturale maggiore di 2" → proposizione.

"Anche ieri ha piovuto" → NO proposizione.

"Ci sono punti int che fanno una sola retta" → proposizione (tutti loro assioma).

• Connettivo logico:

Somma logica: è una proposizione che risulta vera quando almeno una delle due proposizioni P, Q è vera.

Es.:

P: "x è 15 anni".

Q: "x ha meno di 15 anni".

P ∨ Q → "x non ha più di 15 anni".

Qs:

P₃: x=-15°

Q₃: x ≠ +-15°

P_∨Q: x ≠ +-15°

Es.: Raccogliendo al prodotto:

P: (x-2)⁰

Q: (x-1)⁰

P ∨ Q: (x-2)(x-1)⁰

PRODOTTO LOGICO: è una proposizione che risulta vera quando entrambe le proposizioni P e Q risultano vere.

Es.:

P: x è divisibile per 4.

Q: x è divisibile per 2.

P ∧ Q: x è divisibile sia per 4 che per 2.

NEG: è una proposizione che risulta vera quando P è falsa.

Es.:

P: x ≤ 2

¬P: x ≥ 2

IMPLICAZIONE LOGICA

P → Q (implica Q^a)

• P: Q è vero solo se è vero anche Q è vera
• E₁: x divisibile per 2
• E₂: x divisibile per 4
• P₁ se x divisibile per 4
• Q₁ = x divisibile per 2

P₁ è condizione sufficiente per Q

P viceversa, Q è condizione necessaria per P

Inversa, P → Q equivale a (∀Q) → ∀P

Equivalentemente P → Q e non P sono equivalenti

P ⟺ Q (o anche per P condizione necessaria e sufficiente per Q)

TEOREMA

Il teorema è in una forma enunciata P → Q dove P indica detta tesi e a tesi la dimostrazione del teorema la verifica dell’implicazione.

1. Multiprowd nel tipo di dimostrazione diretta (Note) (una convertita)

1. Suppore vera l’ipotesi e detta come calcolie caratteristi, si decorma che A è vera.
2. Suppone vera P e si analizzano tutti i sottoposti per arrivare ad una contraddizione.

Esempi:

1. Teorema se a e b sono numeri pari, allora a + b sono pari. Dimostrazione: Teorema ∀ a, b / 2…
2. Teorema se p è un numero proprio allora 1/p è un numero proprio. Dimostrazioni: Test 1/p 8,20

TEORIA DEGLI INSIEMI

Notazioni

• A, B, X insiemi
• a, b, x, y elementi
• a ∈ A appartenen
• x ∉ A 'non appartenere'

Quantificatori

• ∃ esiste
• ∀ per ogni

• B = { 3... 3, 4 }
• Disegnare parte costitutiva coeheretico B ⊆ E { N, | 4 x 5 }
• B = {{ P nota ivi... }}

A `è un'indeterminata ` B ⊆ x ∈ a ⊆ A allora a ∈ B

Conclusione:

• ∅ C A ∀ A
• A = B ⟺ A ⊆ B, { A = B, B ⊆ A, P ∈ A Q }

Incontro vuoti: A incrementar perdita di B, B₁ A o C A allora a ∉ B₁

_{Z ⊆ Q, i, j, k, l ∈ Z}

Osservazione: N, Z, Q non hanno limiti inferiori all’inizio. X, Y, Z ∈ Q

INISIEMI LIMITATI CONT. Q

• E_s: [−√5, √5] ∩ Q

Delimitazione: Un insieme A ⊆ Q si dice limitato superiormente sse

Osservazione: A, C ⊆ N non è limitato superiormente (antisimmetria) ⇒ ∃ C, ? ∃ C, ? M ∉ C, a ∈ M, ∀a ∈ C

1. a_i+1⁻ⁿ + c, ∀ x ∈ Q | x < 3^H, x < 3
2. ∃ α1 ∈ X, ? ∀ α < 3, ∃ (−5, 33), (−√5, √3) ⊆ Q

Se:

1. ∃ a ∈ A, I_n , 0 f(x₂)

   f si dice non crescente se x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ⪰ f(x₂)

   Una funzione si dice monotona su un I se è strettamente crescente o decrescente oppure non crescente o decrescente su I

   TRASFORMAZIONI DI GRAFICI

   1. Traslazione lungo l’asse delle y

      • Nota G(f(x)): rappresentazione y = f(x) + k

   2. Traslazione lungo l’asse delle x

      • Nota G(f(x)): rappresentazione y = f(x - k)

   3. Ribaltamento rispetto all’asse delle x

      • Nota G(f(x)): rappresentazione y = -f(x)

   4. Ribaltamento rispetto all’asse delle y

      • Nota G(f(x)): rappresentazione y = f(-x)

   5. Modulo

      • Nota G(f(x)): rappresentazione y = |f(x)|
      • f(x) = { f(x) x≥0, -f(x) x<0 }
      • Nota G(f): rappresentazione y = f(|x|)
      • f(x) = { f(x) x≥0, f(-x) x<0 }

   Serie Numeriche

   Sia a_n una successione.

   Viaggio delle somme parziali di a_n dubitiamo fin.

   S_n:

   Definizione: le serie a_n si dicono convergenti se lim S_n = S indice lim a_n = 0.

   Teorema (condizione necessaria per la convergenza di una serie):

   Se la serie ∑ a_n è convergente allora lim a_n = 0.

   Osservazione:

   La condizione lim a_n = 0 è necessaria ma non sufficiente. Esistono serie divergenti con termine generale che tende a zero.

   Esempio: Valutare la convergenza della serie

   lim a_n = 1/2 ≠ 0 - La serie non converge.

   Teorema (criterio di Cauchy - condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie):

   Una serie ∑ a_n è convergente se e solo se:

   ∀ε

   Osservazione (controesempio):

   Poiché lim 1/n ≠ 0, ma la serie non è convergente per ε: