Appunti di Matematica Generale, docente Samuele Riccarelli

Formulario

1. Tavole di Appartenenza

• A ∈ A
• A ∉ B
• A ∉ B ∩ B
• A / B ∉ C(A)

Topologia

• ▭ = Insieme chiuso
• ▢ = Insieme aperto
• ▱ = Insieme né aperto né chiuso

Calcolo Combinatorio

D _m x _k se la cifra si può mettere in 3 posti, poi devo moltiplicare x3.

Se divido poi moltiplico.

Se ho due calcoli separati poi li sommo.

Teoremi Degli Zeri

• f(x) in [a, b]

Campo di Esistenza

• f(x) = x² + 3 C.E.: ℝ
• f(x) = log x x > 0
• f(x) = x + 2 x + 2 > 0
• f(x) = 3x + 2 C.E.: ℝ
• f(x) = 1/x + 2 x ≠ -2

Integrali

• ∫a dx = ax + c
• ∫x^m dx = x^m+1 / m+1 + c
• ∫e^x dx = e^x + c
• ∫e^kx dx = e^kx / k + c
• ∫a^x dx = a^x / log_e a + c
• ∫1/x dx = log |x| + c

• ∫u'(x) v(x) dx = [u(x) v(x)] - ∫u(x) v'(x) dx

• ∫f(x) dx
• x = g(t)
• dx = g'(t) dt

Vettori

x ⊥ v sse X₁V₁ + X₂V₂ + X_mV_m = 0

x / / v sse ( X₁ / λ, X₂ / λ, X_m / λ ) = λ

x · v = (x₁v₁) + (x₂v₂) + (x_mv_m)

x ⋀ v = ( X₁ ⋀ V₁, X₂ ⋀ V₂, X_m ⋀ V_m )

X ⋀ III = ( √x₃ * x₂ * √v + X₁ * x_m ) cos x̂

X ⋀ VI = ||X|| * ||VI||

Serie per ricavare dati di un vettore ignoto da uno noto

Matrice ( A_m,m+1 + B_m,m+1 ) = m - m₁ m_n m_m m_m+1

B X = ( Y₁x₁ + Y₄x₃ + 2X₃ + Y₄X₂ ) = (22, 3)

Y₂X₂ + Y₁X₄ + 2X₂ = 22

U X = Y₃X₁ + U X₃ + 2 = 4

U ( X₁ + 2X₃ ) = 4

Taylor

P_n (X, X₀) = p(X₀) + f₁(x₀) - (x - x₀) + f₁(X₀) + (x-x₁)²/1! + f² (X) + (X₀ - X₀)³/2! + fⁿ (X₀) ∴ ⁿ/_m

Calcolo Differenziale

1. f'
2. (x₀ + b) = f(x₀) + f'(x)_x . h

Derivate

• f(x) = a² f'(x) = a² . log a
• f(x) = e² f'(x) = e^x
• f(x) = log_ax f'(x) = 1/x log a
• x(x) = log·x f'(x) = 1/x
• f'(x) = x ²
• f'(x) = 1/2√x
• f'(x) = 1/x (x)

f(x) = F × g(x)

F(x)= f(x) - g₁ (x)

f'(x) = e^x × ln ² × x

f''(x) = √-(log x) g(x)

1. F(x) = 1/log_log(x)

F(x) = f(x) g(x) - f'(x) · g(x)

f(x) = f'(x) [g'(x)] ^g(x)-2

F

Formula Equazione di II Grado

1. y = bx² + bx + c
2. x = -b ± √ ₂ - 4ac / 2a

Logica Proposizionale

Proposizione

Un enunciato di cui possiamo affermare con certezza la verità o la falsità. Esempio: "B è il non numero pari".

Forma Proposizionale

Un enunciato di cui non possiamo affermare con certezza la verità o la falsità. Esempio: "x è un numero pari".

Connettivi Logici

(p e q sono proposizioni semplici)

• Negazione ¬p = non p

Negata la proposizione.

Tabella di Verità

p ¬p V F F V
• Disgiunzione ∨

p ∨ q = q ∨ p = p o q

p ∨ q è vera se almeno una delle due proposizioni è vera.

Tabella di Verità

p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F
• Congiunzione ∧

p ∧ q = q ∧ p = p e q

p ∧ q è vera se entrambe le proposizioni sono vere.

Tabella di Verità

p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F
• Implicatione ⇒

p ⇒ q se p, allora q

p è sufficiente per verificarsi q, q è il necessario per verificarsi di p.

p: Implicante

Sono bosciano

q: Implicato

Sono italiano

p ⇒ q se sono bosciano, allora sono italiano V

Tabella di Verità

p q p ⇒ q V V V V F F F V V F F V

Se l'implicante è falso, l'impianto è vero.

• Proprietà di assorbimento
• Proprietà di idempotenza
• Proprietà distributiva
• Leggi di De Morgan

Insieme delle parti, P(A)

Dato un insieme A, si definisce P(A) "l'insieme formato da elementi tutti" possibili sottoinsiemi di A.

• A = {a, b, c}
• P(A) = { {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, ∧ }

Cardinalità #A

Dato un insieme A si definisce #(A) il numero di elementi contenuti in A.

• A = {a, b, c}
• #(A) = 3

Prodotto cartesiano A×B

Date due insiemi A e B, si definisce A×B l'insieme costituito da tutte le possibili n-ple (oppure terne) ecc. (a, b) tali che a è un elemento del primo insiemi, b sia un elemento del secondo insiemi e così via.

• A = {a, b, c}
• B = {x, y}

Non valgono proprietà commutativa e associativa

• A = {1, 2, 3}
• B = {0, b, c}
• A×B ≠ B×A
• (A×B)×C ≠ A×B×C
• A×B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}
• B×A = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2), (a, 3), (b, 3), (c, 3)}
• A×A = A²

Se cambia il dominio, il codominio o la relazione tra X e f(x), cambia anche la funzione.

f(x) è un valore chiamato IMMAGINE di X.

l'immagine di f(a) = 1

l'immagine di f(b) = 2

X è detta VARIABILE INDIPENDENTE

Y=f(x) è detta VARIABILE DIPENDENTE (da x).

CONTROIMMAGINE è l'insieme di tutte le X ∈ D tale per cui f(x) = y. {y} = {X ∈ A | f(x) = y}

IMMAGINE DI UN INSIEME

E = {1, 2, 3}

f(E) = {y ∈ C | f(x) = y con x ∈ E}

f(E) = {a, c}

CONTROIMMAGINE DI UN INSIEME

G = {c}

f⁻¹(G) = {X ∈ D | f(x) ∈ G}

f⁻¹(G) = {2, 3}

FUNZIONE SURRIETTIVA O SURGETTIVA

Una funzione è detta surriettiva se ∀ y ∈ C ∃ x ∈ D | f(x) = y → se il codominio è completo

FUNZIONE INIETTIVA

Una funzione è detta iniettiva se ∀ (x₁, x₂) ∈ (A x A) con x₁ ≠ x₂ si ha f(x₁) ≠ f(x₂).